L elettromagnetismo nella ricerca per l energia da fusione nucleare di plasma d idrogeno

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1 L elettromagnetismo nella ricerca per l energia da fusione nucleare di plasma d idrogeno Roberto Cesario cesario@frascati.enea.it Associazione EURATOM-ENEA sulla Fusione Centro Ricerche ENEA Frascati

2 Sommario del corso integrativo di Progetto di antenne Discussioni generali Fonti energetiche primarie e sviluppo sostenible. L origine di ogni forma di energia risiede nel fatto che l Universo nascente era molto ordinato È possibile trovare una fonte primaria sostanzialmente nuova? Le quattro forze fondamentali della natura e Trasformazioni spontanee e non spontanee Trasformazioni non spontanee come fonti primarie di energia? La fusione nucleare di plasmi di idrogeno La più grande impresa scientifica e tecnologica mai intrapresa Il tokamak. Principali problemi: L isolamento termico della colonna di plasma Funzionamento inregime continuo del futuro reattore a fusione Nozioni di elettromagnetismo applicato Il plasma. Concetto di tempertura. Effetto di schermatura dei potenziali. Comportamento collettivo del plasma Moto di singole particelle in campi elettromagnetici. Modello di plasma come fluido. Onde nei plasmi. Onde quasielettrostatiche. Relazione di dispersione di onde di lower hybrid (LH) Propagazione ed assorbimento di onde LH. Il Landau damping Lanciatori a griglia di guide d onda rettangolari in macchine tokamak R Cesario

3 A partire da poche decine di chilometri dalla terra troviamo sempre meno materia aggregata come atomi e molecole e sempre più aggregata come fluido di particelle cariche e neutre: questo è lo stato fondamentale di aggregazione di plasma: - ionosfera, vento solare L interno e le atmosfere delle stelle, le nebulose gassose e la maggior parte dell idrogeno interstellare sono plasmi Esempi di plasmi sulla terra: fulmini, plasmi, alcuni tipi di fiamme. Perché lo stato di plasma è così poco diffuso sulla terra? R Cesario

4 Il rapporto delle densità di ioni e di neutri di una data specie gassosa è data dall espressione: n i T 3 / 2 " e $ U i kt n n n i n i n n " Per l azoto atmosferico in condizioni normali: n n m -3 U i 14 ev (azoto) k = J/ o K 1eV = J R Cesario

5 Il plasma è un gas di particelle cariche che esibisce un comportamento collettivo La forza di Coulomb tra le regioni A e B decresce con r 2. Tuttavia per un dato angolo solido (cioè per Δ r /r = costante) il volume di plasma in B che influenza A aumenta con r 3. Pertanto ci si aspetta che anche regioni di plasma lontane facciano sentire il loro effetto in A.

6 Il concetto di temperatura Funzione di distribuzione delle velocità di un gas di particelle Ipotesi: 1. lo scambio di momento ed energia tra le particelle (rigide) avviene solo mediante urti elastici. 2. Si è atteso un tempo sufficientemente lungo perché l equilibrio termodinamico sia stato raggiunto.

7 Il concetto di temperatura Funzione di distribuzione delle velocità di un gas di particelle La densità di particelle con velocità comprese fra v x e (v x + dv x ), v y e (v y + dv y ), v z e (v z + dv z ) all equilibro è dato da: v y Spazio delle velocità A dv xdvy n(v) = f (v)dv x dv z dv z v dv z Funzione di distribuzione (incognita) v x v z Poiché le velocità sono distribuite a caso in tutte le direzioni a causa degli urti tra le particelle: la f(v) ha lo stesso valore su tutti i punti della superficie della sfera di raggio v f ( v)dv x dv z dv z " f ( v)dv x dv z dv z

8 Urto nello spazio Caso non v 2 =0 y v 2 m 2 m 1 v 1 Parametro d urto s α 1 α 2 x Conservazione della quantità di moto m 1 v 1 = m 1 v 1 cos" 1 + m 2 v 2 cos" 2 0 = "m 1 v 1 sin 1 + m 2 v 2 sin 2 v 1

9 Il concetto di temperatura Funzione di distribuzione delle velocità di un gas di particelle Traccia della determinazione di f(v) effettuata da Maxwell Spazio delle velocità 1. 1) Si considerano i casi in cui prima dell urto le particelle si trovano rispettivamente in A e B. 1.2) Tra tali urti si considerino quelli che avvengono in modo che la linea formata dai centri delle particelle urtanti abbiano coseni direttori compresi entro determinati limiti. Il numero dei diversi tipi di urti che avvengono nel tempo dt si può esprimere mediante la funzione n(v) = f (v)dv x dv z dv z (non ancora stabilita). Se si integra l espressione di questo numero considerando tutti i possibili punti B nello spazio delle velocità e tutti i valori dei coseni direttori della direzione d urto si può esprimere il numero di particelle che escono dall elemento A. v z B dv z dv y dvx v v y v A dv xdvy dv z v x 2.) Con un procedimento analogo, si considerino i casi in cui dopo l urto le particelle si trovano rispettivamente in A e B. Integrando per qualsiasi punto B e su tutte le direzioni di incidenza si può esprimere, ancora mediante f(v), il numero di particelle che entrano nell elemento A nel tempo dt. Uguagliando il numero di particelle che nel tempo dt entrano nell elemento A e vi escono, Maxwell ricavò l espressione della funzione di distribuzione, che ha la forma: n( v) " f (v)dv = Ae 1 mv 2 2 kt v 2 dv

10 Il concetto di temperatura Funzione di distribuzione delle velocità di un gas di particelle La funzione di distribuzione (fdd) di Maxwell rappresenta la distribuzione delle velocità delle particelle in uno stato stazionario. Essa rappresenta anche la distribuzione più probabile, in quanto la trattazione meccanico-statistica di Gibbs pervenne alla stessa espressione di quella trovata per primo da Maxwell. Uguagliando il numero di particelle che nel tempo dt entrano nell elemento A e vi escono, Maxwell ricavò l espressione della funzione di distribuzione, che ha la forma: n( v) " f (v)dv = Ae 1 mv 2 2 kt v 2 dv

11 Il concetto di temperatura La funzione di distribuzione di Maxwell nel caso unidimensionale ha la forma: f (v) = Ae " 1 2 mv 2 kt Questo può essere interessante per trattare il caso di un gas di elettroni costretti da un forte campo magnetico uniforme a muoversi solo lungo una determinata direzione

12 Il concetto di temperatura La funzione di distribuzione di Maxwell nel caso unidimensionale ha la forma: f (v) = Ae " 1 mv 2 2 kt Problema. Dimostrare che la costante A è espressa da: A = n m 2"kT Si usi la definizione: n = $ " f (v)dv Traccia. Ricordare l importante integrale: " 2 $ dx = 2% e - x 2

13 Il concetto di temperatura La funzione di distribuzione di Maxwell nel caso unidimensionale ha la forma: $ " f (v) = Ae " 1 mv 2 2 kt Per definizione: n = f (v)dv < E >= Energia media $ " 1 2 mv2 f (v)dv $ " f (v)dv Definendo: v th = 2kT m y = v v th Dimostrare che l energia media vale: < E >= 1 4 mv th 2 = 1 2 kt

14 Il concetto di temperatura La funzione di distribuzione di Maxwell nel caso unidimensionale ha la forma: $ " f (v) = Ae " 1 mv 2 2 kt Per definizione: n = f (v)dv < E >= < E >= Energia media $ " 1 2 mv2 f (v)dv $ " 1 2 mav th f (v)dv Integrando per parti: $ e "y 2 y 2 dy = $ ye "y 2 % ydy = " 1 2 ( 2 e"y y & ' ) " " Av th $ " $ " e "y 2 y 2 dy e "y 2 dy Definendo: v th = 2kT m * " " $ " e"y dy = 1 2 " y = v v th Dimostrare che l energia media vale: $ " e "y 2 dy < E >= 1 4 mv th 2 = 1 2 kt

15 Il concetto di temperatura La funzione di distribuzione di Maxwell nel caso unidimensionale ha la forma: $ " f (v) = Ae " 1 mv 2 2 kt Per definizione: n = f (v)dv < E >= Energia media $ " 1 2 mv2 f (v)dv $ " f (v)dv Definendo: v th = 2kT m Per kt = 1eV T=11600 o K (1eV = J k = J/ o K) y = v v th Dimostrare che l energia media vale: Bisogna però riflettere che elevate temperature non vogliono dire necessariamente molto calore! < E >= 1 4 mv th 2 = 1 2 kt Esempio: il plasma nella ionosfera ha valori tipici di 0.05eV >500 o K, ma alla densità tipica presente di 10 5 cm -3 la quantità di calore corrispondente è estremamente piccola

16 Il concetto di temperatura n(v) m -3 T=0 o C Idrogeno T=10 o C T=500 o C n( v) " f (v)dv = 4n m 2kT $e% 1 mv 2 2 kt v 2 dv T=1000 o C v (km/s) In tre dimensioni: < E >= 3 2 mv th = 3 2 kt

17 Caratteristica del plasma di schermare potenziali elettrici Ipotesi: plasma illimitato in cui applichiamo (idealmente) una differenza di potenziale M m " Gli elettroni si ridistribuiscono tendendo a neutralizzare il potenziale formando un guscio di cariche. La regione limite di tale guscio è caratterizzata dal fatto che particelle con energia kt e non riescono ad essere trattenute dal debole potenziale residuo:

18 Caratteristica del plasma di schermare potenziali elettrici Determiniamo lo spessore dello schermo di potenziale griglia Ipotizziamo una griglia piana perfettamente trasparente a cui è applicato un potenziale statico immersa in un plasma illimitato

19 Caratteristica del plasma di schermare potenziali elettrici Determiniamo lo spessore dello schermo di potenziale Equazioni di Maxwell in unità cgs elettrostatiche " E = 4$ " E = $ %B %t " B = 0 c 2 " B = $4% &j &t + &E &t " = µ = 1

20 Caratteristica del plasma di schermare potenziali elettrici " E = 0 E = "$ " E = 4$ " 2 = $4%e(n i $ n e ) Determiniamo lo spessore dello schermo di potenziale Equazione di Poisson (numero di carica elettrica: Z=1) griglia

21 Caratteristica del plasma di schermare potenziali elettrici " 2 = $4%e(n i $ n e ) Ioni immobili: n i = n " Funzione di distribuzione di Maxwell in presenza di un potenziale qφ " f ( v) = Ae 1 2 mv2 +q kt e Determiniamo lo spessore dello schermo di potenziale

22 Caratteristica del plasma di schermare potenziali elettrici " 2 = $4%e(n i $ n e ) Ioni immobili: n i = n " Funzione di distribuzione di Maxwell in presenza di un potenziale qφ " f ( v) = Ae si ottiene: 1 2 mv2 +q kt e n e = n " e Ponendo q = - e ed integrando su v ricordando che: n = e k$ e Relazione di Boltzmann $ " f (v)dv

23 Caratteristica del plasma di schermare potenziali elettrici " 2 = $4%e(n i $ n e ) Ioni immobili: n i = n " Funzione di distribuzione di Maxwell in presenza di un potenziale qφ " f ( v) = Ae si ottiene: 1 2 mv2 +q kt e n e = n " e e k$ e Ponendo q = - e ed integrando su v ricordando che: n = Relazione di Boltzmann $ " f (v)dv Problema. Dimostrare la relazione di Boltzmann Traccia: " 2 $ dx = 2% e - x 2

24 Caratteristica del plasma di schermare potenziali elettrici " 2 = $4%e(n i $ n e ) Ioni immobili: n i = n " Funzione di distribuzione di Maxwell in presenza di un potenziale qφ " f ( v) = Ae si ottiene: 1 2 mv2 +q kt e n e = n " e e k$ e Ponendo q =-e ed integrando su v ricordando che n = $ " f (v)dv " 2 = 4$n % (e e k& e '1) Per e" kt e <<1 griglia

25 Caratteristica del plasma di schermare potenziali elettrici " 2 = $4%e(n i $ n e ) Ioni immobili: n i = n " Funzione di distribuzione di Maxwell in presenza di un potenziale qφ " f ( v) = Ae si ottiene: 1 2 mv2 +q kt e n e = n " e e k$ e Ponendo q =-e ed integrando su v ricordando che n = $ " f (v)dv " 2 = 4$n % (e e k& e " 2 $ 4%n & e 2 '1) Prendendo solo il termine lineare k' e Per e" kt e <<1 si ottiene: e. " 2 k& = 4$n % (e e e '1) = 4$n % + 1 ( e + 0 * - 0 k& e 2 ) k& / e, $ x % " " 0 e D kt " D e 4$ne 2 Lunghezza di Debye " D (cm) 740 kt (ev) n(cm -3 )

26 Caratteristica del plasma di schermare potenziali elettrici griglia " = " 0 e x $ D " 2 = 4$n % (e e k& e " 2 $ 4%n & e 2 '1) Prendendo solo il termine lineare k' e Per e" kt e <<1 si ottiene: e / " 2 &' = 4$n % (e e e (1) = 4$n % + 1 ) e, &' e 2 *&' 0 e - $ x % " " 0 e D kt " D e 4$ne 2 Lunghezza di Debye

27 Caratteristica del plasma di schermare potenziali elettrici griglia " = " 0 e x $ D Il potenziale non schermato residuo a grandi distanze dalla griglia è dell ordine: kt e /e " 2 = 4$n % (e e k& e " 2 $ 4%n & e 2 '1) Prendendo solo il termine lineare Su distanze k' e Per e" kt e <<1 si ottiene: Per T e =0 il guscio di Debye è infinitamente piccolo e / " 2 &' = 4$n % (e e e (1) = 4$n % + 1 ) e, &' e 2 *&' 0 e - $ x % " " 0 e D x >> " " 2 D " 2 $ 0 = $4%e(n i $ n e ) n i " n e " n kt " D e 4$ne 2 Lunghezza di Debye quasineutralità

28 Caratteristica del plasma di schermare potenziali elettrici " E = 0 E = "$ " E = 4$ " 2 = $4%e(n i $ n e ) (Z=1) Equazione di Poisson Approssimazione di plasma: n molti problemi di elettromagnetismo nei plasmi si assume che valendo la condizione di quasineutralità: " E 0 n i " n e " n pur " 2 = $4%e(n i $ n e )

29 Esempi di plasmi n (m -3 ) kt (ev) Spazio interplanetario Ionosfera Fiamme Esperimenti di fusione Plasmi di fusione

30 Plasma = gas di particelle cariche (+ -) che esibisce un comportamento collettivo. E lo stato di aggregazione della materia più antico e diffuso in natura Condizioni determinanti lo stato di plasma: " D kt e 4$ne << L, N 2 D " 4 3 n$ 3 D %1400T 2 n, >>1 " p coll >1 Il significato lo vedremo dopo Problema: calcolare λ D, N D per la ionosfera terrestre in cui n=10 6 cm -3, kt e =0.1eV " D (cm) 740 kt (ev) n(cm -3 )

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39 Il plasma è lo stato di aggregazione della materia prodotto più antico È anche lo stato aggregazione che permane su escursioni di densità enormi R Cesario R Cesario

40 Il plasma è lo stato di aggregazione della materia prodotto più antico È anche lo stato aggregazione che permane su escursioni di densità enormi Rapporto tra le densità di materia aria/ acqua 10-3 solido / acqua 10 Come è fatta la materia visibile? R Cesario R Cesario

41 Il plasma è lo stato di aggregazione della materia prodotto più antico È anche lo stato aggregazione che permane su escursioni di densità enormi Rapporto tra le densità di materia aria/ acqua 10-3 solido / acqua 10 nana bianca / acqua stella di neutroni / acqua Intervallo di densità in cui un plasma può esistere: Come è fatta la materia visibile? R Cesario R Cesario

42 Come è fatta la materia visibile? Il plasma: stato di aggregazione originario della materia La differenza tra un solido, un liquido e un gas sta nella differente energia interna delle sue molecole Stati della materia 4 o 3 o 2 o 1 o U 0 solidi U U N-1 <E < U N liquidi gas U 2 U 3 U 4 U plasma T (gradi centigradi) R Cesario R Cesario

43 Sommario delle nozioni considerate Discussioni generali Fonti energetiche primarie e sviluppo sostenible. L origine di ogni forma di energia risiede nel fatto che l Universo nascente era molto ordinato È possibile trovare una fonte primaria sostanzialmente nuova? Le quattro forze fondamentali della natura e Trasformazioni spontanee e non spontanee Trasformazioni non spontanee come fonti primarie di energia? La fusione nucleare di plasmi di idrogeno La più grande impresa scientifica e tecnologica mai intrapresa Il tokamak. Principali problemi: L isolamento termico della colonna di plasma Funzionamento inregime continuo del futuro reattore a fusione Il plasma. Concetto di tempertura. Effetto di schermatura dei potenziali. Comportamento collettivo del plasma Moto di singole particelle in campi elettromagnetici. Modello di plasma come fluido. Onde nei plasmi. Onde quasielettrostatiche. Relazione di dispersione di onde di lower hybrid (LH) Propagazione ed assorbimento di onde LH. Il Landau damping Lanciatori a griglia di guide d onda rettangolari in macchine tokamak R Cesario