La buca di potenziale di. e altri problemi di trasmissione e riflessione

Transcript

1 La buca di potenziale di altezza della presente finita opera. e altri problemi di trasmissione e riflessione 1 Buca di potenziale finita: caso classico v Non è permessa, in particolare, la riproduzione v anche parziale Per l autorizzazione a riprodurre in parte 0 a 0 o ain tutto la presente opera è richiesto il permesso Classicamente: scritto dell autore (E. Silva) momento p qualunque (può avere qualunque velocità) posizione energia totale pari a E = p 2 /2m 0 (nella buca) o E = p 2 /2m (fuori dalla buca). All interno della buca: se 0 < E < 0: come nella buca infinita, particella confinata nella scatola. Se E = 0 la particella è in quiete. 2

2 ψ() = 0, a Perché non è proibito trovare la particella fuori dalla buca ( buca infinita) La fdo Non Stati è legati permessa, o stati di in diffusione, particolare, la riproduzione E > 0: stati anche di diffusione; parziale a seconda del valore dell energia della presente E opera. 0 > E > 0 : stati legati. Autofunzioni: risolvere (separatamente nelle varie regioni) l equazione di Schrödinger non dipendente dal tempo: con le seguenti condizioni per le soluzioni: 1 deve essere continua nei punti di discontinuità dell energia potenziale; se non lo fosse, in quei punti la densità di probabilità sarebbe indeterminata. 2 d /d deve essere continua nei punti di discontinuità dell energia potenziale; se non lo fosse, avrei delle divergenze nell eq. di Schr., nel termine: 3 Stati legati Enrico stati Silva legati: - proprietà 0 > E > intellettuale 0 non ceduta < a della presente < a opera. > a dove l, sono reali (verificare). 4

3 Stati legati: < a stati legati: 0 > E > 0 < a Non è permessa, in particolare, Soluzione la riproduzione generale anche (verificate): parziale diverge per -> < a : 5 Stati legati: > a stati legati: 0 > E > 0 > a Non è permessa, in particolare, Soluzione la riproduzione generale anche (verificate): parziale diverge per -> + > a : 6

4 Stati legati: a < < a stati legati: 0 > E > 0 < Enrico a Silva - proprietà intellettuale non ceduta Non è permessa, in particolare, Soluzione la riproduzione generale anche (verificate): parziale 7 Stati legati: spettro delle energie stati legati: 0 > E > 0 < Non aè permessa, in particolare, la < ariproduzione anche parziale > a Uguagliando in a e in a le funzioni trovate e le loro derivate, ottengo equazioni trascendenti fra i coefficienti l e. per corrispondenti autofunzioni pari (C=0) per corrispondenti autofunzioni dispari (D=0) 8

5 Stati legati: spettro delle energie stati legati: 0 > E > 0 Enrico per Silva corrispondenti - proprietà autofunzioni intellettuale pari (C=0) non ceduta per corrispondenti autofunzioni dispari (D=0) Si trova che, indipendentemente dalla larghezza e dalla profondità della buca, esiste sempre uno stato legato (ed è pari) Si noti che le autofunzioni (e quindi la densità di probabilità) si estendono fuori dai confini della buca: classicamente è inspiegabile. Questo effetto è particolarmente evidente per energie prossime alla cima della buca (verificate con i simulatori). Simulazioni: Sez. 2.3 (Sez. 2.4 nella versione CD) 9 Stati di diffusione Enrico stati Silva di diffusione: - proprietà intellettuale E > 0 non ceduta < a della presente < a opera. > a dove l, k sono reali (verificare). Attenzione: E > 0 10

6 Stati di diffusione: a < < a E > 0 < Enrico a Silva - proprietà intellettuale non ceduta Non è permessa, in particolare, Soluzione la riproduzione generale anche (verificate): parziale dentro la buca: esattamente come per gli stati legati 11 Stati di diffusione: > a E > 0 > a Non è permessa, in particolare, Soluzione la riproduzione generale anche (verificate): parziale Per l autorizzazione a riprodurre < a in parte o in tutto la presente > a avendo supposto che, nella regione più a destra, non vi sia una particella proveniente da +. 12

7 Stati di diffusione: spettro delle energie E > 0 Uguagliando Per l autorizzazione ora in a e in a riprodurre le funzioni in trovate parte o e in le tutto loro derivate, la presente ottengo delle equazioni opera che è richiesto impongono il permesso delle relazioni scritto dell autore fra i coefficienti (E. Silva) A, B, C, D, F. Non trovo limitazioni sulle energie: spettro continuo, analogamente alla particella libera. 13 Trasmissione e riflessione E > 0 Una particella Non è incidente permessa, sulla in particolare, buca (da sinistra) la riproduzione con E > 0 anche può essere parziale trasmessa (e questo è il solo possibile della risultato presente classico), opera. ma può anche essere riflessa. Ricordando: Per l autorizzazione a riprodurre in parte o in < tutto a la presente > a si può calcolare il coefficiente di trasmissione: e il coefficiente di riflessione: 14

8 Trasmissione e riflessione Coefficiente di trasmissione Si ha T=1 (buca trasparente) per (...)=n, ovvero: nota: corrispondono alle energie della buca infinita Simulazioni: Nota: quando la buca è molto profonda T-> 0. La particella viene riflessa da una buca profonda!!! (Höhe: altezza; Wellenlänge: lunghezza d onda; Schärfe: acutezza; Breite: larghezza) 15 Il gradino di potenziale 16

9 Gradino di potenziale positivo: caso classico v v () = 0 per > 0 v () = 0 per < 0 Enrico Silva - proprietà intellettuale -v non ceduta 0 opera è richiesto il permesso Classicamente: scritto dell autore (E. Silva) la particella è dotata di momento p qualunque (può avere qualunque velocità) e posizione, ha energia totale pari a E = p 2 /2m. Se E > 0, la particella procede nella zona > 0. Se E < 0, la particella viene riflessa indietro Gradino positivo di potenziale () = 0 per > 0 () = 0 per < 0 0 Quantisticamente: ragioniamo sulla fdo. 0 Similmente alla buca di potenziale finita, consideriamo stati di diffusione a sinistra (particella incidente e riflessa) e a destra (trasmissione). Supponendo di inviare numerose particelle, possiamo disinteressarci dell evoluzione temporale e considerare gli stati stazionari (anche se non fisici, si potrà comunque costruire un flusso di particelle con essi) 18

10 Gradino positivo () = 0 per > 0 () = 0 per < 0 0 Per < 0l autorizzazione a riprodurre > in 0 parte o in tutto la presente 0 Condizioni al contorno: 1 continua in 0. 2 d /d continua in 0. Notare: k 2 k 1, la lunghezza d onda varia. Controllate con il simulatore. Sez. 2.2 (Sez. 2.3 per la versione CD) 19 Trasmissione e riflessione Usando le condizioni al contorno, si ha per la frazione delle particelle incidenti Non che è permessa, viene: in particolare, la riproduzione anche parziale Per l autorizzazione a riprodurre 0 in parte o in tutto la presente riflessa: opera R = B 2 2 è richiesto il permesso scritto trasmessa: A 2 = k 1 k 2 k dell autore (E. Silva) 1 + k 2 0 Note: 1] T F 2 / A 2 : questo sarebbe la trasmissione delle densità di probabilità, mentre noi dobbiamo imporre che sia R+T = 1 per la corrente di probabilità: nella regione 2 la velocità è differente dalla regione 1, in particolare k 2 /k 1 = v 2 /v 1. 2] se E< 0, k 2 è immaginario puro, e R = 1. Ciò non vuol dire che () 2 sia nulla per >0: esiste una densità di probabilità non nulla per >0, ma che decresce esponenzialmente. Controllate con i simulatori. 20

11 Trasmissione e riflessione 0 Nota: T F 2 / A 2 : questo sarebbe la trasmissione delle densità di probabilità, mentre noi dobbiamo imporre che sia R+T = 1 per la corrente di probabilità: nella regione 2 la velocità è differente dalla regione 1, in particolare k 2 /k 1 = v 2 /v 1. Analogia 1: corrente elettrica, in cui ho la conservazione di j = v, non. Analogia 2: propagazione di un onda fra due tratti di corda tesa con differenti masse per unità di lunghezza (e quindi velocità di propagazione differenti) 0 21 Riflessione e trasmissione per un pacchetto d onde incidente su un potenziale a gradino: Sez. 1.5 (Sez. 1.4 versione CD) Per l autorizzazione Analogia: riflessione a riprodurre da in una parte Da o alta in tutto a bassa la velocità presente opera è richiesto discontinuità il permesso di densità scritto su dell autore (E. Silva) una corda tesa (da bassa densità ad alta densità): analogo del gradino positivo. Animation courtesy of Dr. Dan Russell, Kettering University 22

12 Gradino di potenziale negativo: caso classico v v per > 0 () = 0 per < 0 0 opera è richiesto il permesso Classicamente: scritto dell autore (E. Silva) la particella è dotata di momento p qualunque (può avere qualunque velocità) e posizione, ha energia totale pari a E = p 2 /2m. Se E > 0, la particella procede comunque nella zona > Gradino negativo di potenziale per > 0 () = 0 per < 0 0 Quantisticamente: ragioniamo sulla fdo. 0 Similmente alla buca di potenziale finita, consideriamo stati di diffusione a sinistra (particella incidente e riflessa) e a destra (trasmissione). Supponendo di inviare numerose particelle, possiamo disinteressarci dell evoluzione temporale e considerare gli stati stazionari (anche se non fisici, si potrà comunque costruire un flusso di particelle con essi) 24

13 Gradino negativo per > 0 () = 0 per < 0 Per < 0l autorizzazione a riprodurre > in 0 parte o in tutto la presente 0 Condizioni al contorno: 1 continua in 0. 2 d /d continua in 0. Notare: k 2 k 1, la lunghezza d onda varia. Controllate con il simulatore. Sez Trasmissione e riflessione Usando le condizioni al contorno, si ha per la frazione delle particelle incidenti Non che è permessa, viene: in particolare, la riproduzione anche parziale riflessa: opera è richiesto il permesso scritto trasmessa: dell autore (E. Silva) 0 Ho particelle riflesse anche per E > 0 Nota: T F 2 / A 2 : questo sarebbe la trasmissione delle densità di probabilità, mentre noi dobbiamo imporre che sia R+T = 1 per la corrente di probabilità: nella regione 2 la velocità è differente dalla regione 1, in particolare k 2 /k 1 = v 2 /v 1. 26

14 Trasmissione e riflessione 0 Nota: T F 2 / A 2 : questo sarebbe la trasmissione delle densità di probabilità, mentre noi dobbiamo imporre che sia R+T = 1 per la corrente di probabilità: nella regione 2 la velocità è differente dalla regione 1, in particolare k 2 /k 1 = v 2 /v 1. Analogia 1: corrente elettrica, in cui ho la conservazione di j = v, non. Analogia 2: propagazione di un onda fra due tratti di corda tesa con differenti masse per unità di lunghezza (e quindi velocità di propagazione differenti) 27 Riflessione e trasmissione per un pacchetto d onde incidente su un potenziale a gradino negativo: opera è richiesto Analogia: il permesso riflessione scritto da una dell autore (E. Silva) discontinuità di densità su una corda tesa Da bassa ad alta velocità (da alta densità a bassa densità): analogo di un gradino negativo Animation courtesy of Dr. Dan Russell, Kettering University 28