Enrico Silva - diritti riservati - Non è permessa, fra l altro, l inclusione anche parziale in altre opere senza il consenso scritto dell autore

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1 Onde Definizione Tipi di onde Anatomia : Onde: richiami frequenza Enrico e Silva periodo - proprietà intellettuale non ceduta Non lunghezza è permessa, d onda in particolare, e numero d onda la riproduzione anche parziale ampiezza Per fase l autorizzazione a riprodurre in parte o in tutto la presente opera velocità è richiesto il permesso scritto dell autore (E. Silva) Trasporto di energia L equazione delle onde Interferenza Diffrazione Onde stazionarie Onde elettromagnetiche

2 Perturbazione che si propaga con velocità finita Compie lavoro, e quindi possiede e Enrico Silva - proprietà intellettuale può cedere non energia ceduta Superficie dello stagno imperturbata Direzione del moto dell onda Onde viaggianti Perturbazione: in generale (in una sola dimensione) ψ(x, t) Consideriamo una perturbazione viaggiante il cui profilo non si deformi (moto non dispersivo) Enrico Silva - proprietà Esempio: intellettuale una perturbazione non ceduta su una corda tesa Non è permessa, v in particolare, la riproduzione anche parziale Deve essere: t = 0 Per l autorizzazione a riprodurre in parte ψ(x o 0 in, t tutto = 0) la = presente ψ(x 0 + vt, t) opera è richiesto il permesso scritto dell autore Per ogni x (E. Silva) 0 Quindi: x 0 x ψ(x, t) = ψ + (x vt) x 0 + vt t > 0 x rappresenta un onda viaggiante nella direzione positiva delle x. (onda progressiva) Esercizio: verificare sostituendo i valori dell esempio

3 Onde viaggianti () v t = 0 Esattamente alla stessa maniera, se l onda viaggia nella direzione negativa delle x, sarà xenrico 0 x Silva - proprietà intellettuale non ceduta Non è permessa, in particolare, la riproduzione ψ(x, t) = ψ anche (x + parziale vt) t > 0 (onda regressiva) Per l autorizzazione x a riprodurre in parte o in tutto la presente x 0 vt In generale, un onda potrà essere una combinazione sia di onde regressive che progressive. L espressione più generale è quindi: ψ(x, t) = ψ + (x vt) + ψ (x + vt) Le! determinano la forma della perturbazione ondosa. L argomento (detto a volte fase) individua se l onda è viaggiante o meno: solo le funzioni di argomenti x ± vt sono onde viaggianti. Onde: rappresentazione analitica Le funzioni che descrivono un onda soddisfano l equazione delle onde: ψ x Non è permessa, in particolare, = 1 ψ v la t riproduzione anche parziale La perturbazione Per l autorizzazione può essere a riprodurre vettoriale, in per parte cui o l equazione in tutto la presente delle onde è: ψ = 1 ψ v t ovvero tre equazioni scalari. In un determinato problema, la forma della perturbazione (soluzione) è determinata dalla soluzione dell equazione delle onde con le opportune condizioni al contorno, che pertanto definiscono interamente il problema.

4 Onde piane La perturbazione può dipendere anche dalle altre coordinate spaziali. Ad esempio, rappresenta Per l autorizzazione un onda progressiva a riprodurre che in si parte propaga o in lungo tutto la direzione presente x. In questo caso, opera per è richiesto ogni x 0 fissato, il permesso la fase scritto rimane dell autore inalterata (E. al Silva) variare di y e z: il piano x=x 0 è equifase. Una tale onda è detta onda piana. Se a(y,z)=cost, l onda è detta piana uniforme. Nello spazio 3D, un onda piana che si propaghi nella direzione può essere rappresentata come: ψ( k r vt) k Sovrapposizione Quando due onde si propagano nella stessa regione di Enrico spazio, Silva la perturbazione - proprietà intellettuale risultante è non la somma cedutadelle due Non è permessa, onde in (principio particolare, di sovrapposizione): la riproduzione anche parziale Infatti la perturbazione risultante soddisfa ancora l equazione delle onde. Esercizio: determinare in questo caso la velocità della perturbazione risultante.

5 Onde armoniche Consideriamo un onda progressiva sinusoidale: N.B.: ogni onda ragionevole può essere studiata in termini di sovrapposizione di onde sinusoidali (Fourier) [ ( x ψ(x, t) = A cos[k(x vt) + φ] = A cos π λ t ) ] + φ = A cos(kx ωt + φ) T fase Enrico dell onda Silva - proprietà intellettuale non ceduta A : ampiezza.! [A]: dipende dalla grandezza fisica quando la fase dell onda varia di!, T : periodo.! [T] = s l onda si riproduce identicamente " : pulsazione. Per l autorizzazione! ["] = rad s 1 legata a alla riprodurre frequenza da in " parte = #$ o con in [$] tutto = s 1 la = Hz presente % : lunghezza d onda. [%] = m k : numero d onde. opera è! richiesto [k] = m 1 il permesso scritto velocità dell autore dell onda (E. Silva) v = ω/k = λν & : costante di fase.! [&] = rad % cresta T Acos& ventre istantanea al tempo t = 0 x A evoluzione temporale a x fissato t (o anche t = ± nt. Discutere.) (o anche x ± n%. Discutere.) TravelWaves.swf Non è permessa, L animazione in particolare, riporta l evoluzione la riproduzione del profilo anche parziale della spaziale presente dell onda. opera. Per l autorizzazione Si noti il grafico a riprodurre temporale in che parte viene o in tracciato tutto la presente e opera che è richiesto riguarda il la permesso posizione scritto di un dell autore punto specifico. (E. Silva) L animazione è reperibile su:

6 Rappresentazione complessa [ ( x ψ(x, t) = A cos[k(x vt) + φ] = A cos π λ t ) ] + φ = A cos(kx ωt + φ) T Funzioni Non è sinusoidali permessa, in particolare, la riproduzione Ampiezze anche parziale Esponenziali immaginari Ampiezze complesse ψ(x, t) = Ae i[k(x vt)+φ] = Ae i[π( x λ t T )+φ] = Ae i(kx ωt+φ) = Āeikx e iωt = N.B.: le grandezze fisiche sono le parti reali. ψ(x)e iωt Intensità In generale, gli strumenti (inclusi i nostri sensi) sono sensibili all intensità, e non al campo. Intensità istantanea locale: I(x, t) Re{ψ(x, t)} per onde piane monocromatiche: Per l autorizzazione a riprodurre in parte = A o cos in tutto (kx la ωt presente + φ) Intensità media: I 1 T T 0 Re{ψ(x, t)} dt per onde piane monocromatiche: = A

7 Onde stazionarie Consideriamo due onde armoniche, di uguale ampiezza e fase ψ + (x, t) = Āeikx e iωt iωt Progressiva: = ψ(x)e Regressiva: Non è permessa, in particolare, ψ (x, la riproduzione t) = Āeikx e +iωt +iωt anche = parziale ψ(x)e L onda Per risultante l autorizzazione è la somma a riprodurre delle due onde in parte (principio o tutto di sovrapposizione): la presente... oppure la loro differenza (la differenza equivale a una somma con diversa fase relativa: verificare) Le dipendenze temporale e spaziale sono disaccoppiate: l onda si presenta con un profilo in cui in alcuni punti!=0 sempre (nodi), e dove creste e ventri evolvono l uno nell altro con periodo T. standwave.swf Non L animazione è permessa, riporta in particolare, l evoluzione la riproduzione di un onda anche stazionaria, parziale composta da due della onde presente sinusoidali, opera. progressiva e Per regressiva, l autorizzazione di uguale a riprodurre ampiezza, in riflesse parte o da in pareti tutto la rigide. presente opera Un sistema è richiesto fisico il che permesso corrisponde scritto a dell autore questa situazione (E. Silva) è l oscillazione di una corda vibrante fissata agli estremi. Esercizio: determinare perché nella riflessione l onda si capovolge. L animazione è reperibile su:

8 Onde stazionarie: armoniche. Consideriamo una corda vincolata a due estremi rigidi (pareti) distanti L. Si possono instaurare solo alcune onde stazionarie: Non L è permessa, in particolare, la riproduzione anche parziale λ/ λ 3λ/... etc etc. Onde stazionarie fra due estremi vincolati devono avere: λ = L n, n = 1,, 3... Interferenza

9 Interferenza La formazione di onde stazionarie è solo un aspetto del fenomeno generale della interferenza delle onde. Ogniqualvolta due onde con fase differente si sovrappongono si ha interferenza. Richiamo: Per l autorizzazione nel senso più generale, a riprodurre la fase in parte è il termine o tutto negli la presente esponenziali: opera è richiesto il permesso ( scritto dell autore (E. Silva) x k(x vt) + φ = π λ t ) + φ = kx ωt + φ T L interferenza prenderà varie forme: onde stazionarie (viste poco fa) battimenti... Interferenza: esempio Consideriamo due onde armoniche viaggianti, di uguale ampiezza e fase iniziale differente per '&: ψ 1 (x, t) = Non è permessa, in Āeikx e iωt iωt = ψ(x)e particolare, la riproduzione anche parziale ψ (x, t) = Āei(kx+ φ) della presente e iωt opera. = ψ(x)e iωt e +i φ opera L onda è richiesto risultante il permesso ψ(x, t) scritto = ψ 1 (x, dell autore t) + ψ (x, (E. t) Silva) è: ψ(x, t) = ψ(x)e iωt ( 1 + e i φ) = ψ(x)e iωt e i φ cos φ interferenza L ampiezza varia del termine cos φ e i φ ha modulo 1: è solo un termine di fase comune.

10 Interferenza: esempio (cont) ψ(x, t) = ψ(x)e iωt ( 1 + e i φ) = ψ(x)e iωt e i φ cos φ interferenza Non è φ permessa, = (n + in 1)π particolare, onde la sfasate riproduzione di mezza anche lunghezza parziale d onda onda risultante: nulla. φ = nπ onde in fase ampiezza doppia intensità istantanea quadrupla Le onde stazionarie possono essere considerate come sovrapposizioni di onde sfasate di "t (controllate). N.B.: è una differenza di fase variabile nel tempo. Interferenza Sovrapposizione di due onde armoniche di uguale ampiezza, con fase relativa variabile. L animazione riporta il profilo spaziale dell onda risultante Enrico Silva al - variare proprietà della intellettuale fase relativa. non ceduta Il valore Non della è permessa, fase è riportato in particolare, sulla circonferenza la riproduzione goniometrica anche parziale in verde. Con fase n# l interferenza è completamente costruttiva. animazione reperibile su: Con fase di (n+1)# l interferenza è distruttiva.

11 Interferenza: battimenti Due onde; stessa ampiezza e fase iniziale; pulsazioni (= sia frequenze che numeri d onda in mezzi non dispersivi) differenti: Per l autorizzazione a riprodurre in parte oπin tutto la presente δω opera è richiesto il permesso scritto dell autore (E. Silva) t ψ(x, t) = ψ1 (x, t) + ψ (x, t) π ω0 definendo: ω1 + ω ω1 ω δω = ω0 = si ha: ψ(x, t) = A ei(k0 x ω0 t) cos(δk x δω t) Esercizio: verificare Battimenti: un esempio Battimenti generati da due sorgenti sonore: 440 Hz 44Non Hz è permessa, in particolare, la riproduzione anche parziale insieme ψ(x, t) = ψ (x)e iω0 t ω1 + ω ω1 ω δω = ω0 = cos(δω t) π δω t π ω0 p.es. in x=0. Esercizio: contare il numero di massimi sonori in cinque secondi. Quanti sono? a che frequenza corrispondono? Discutere. L esempio è tratto da un animazione reperibile su:

12 Velocità di fase e velocità di gruppo Due onde; stessa ampiezza e fase iniziale; pulsazioni differenti: Non è permessa, in particolare, la riproduzione ω 0 = ω 1 + ω anche parziale con: della presente δω opera. = ω 1 ω Per l autorizzazione a riprodurre in parte o in tutto la presente si definiscono: velocità di fase: velocità di gruppo: ψ(x, t) = Āei(k 0x ω 0 t) cos(δk x δω t) Se il mezzo è non dispersivo, ovvero v non dipende da k, si ha: e si verifica subito che altrimenti... Velocità di gruppo 1 t = 0 s 0 x Non è -1 permessa, in particolare, la riproduzione anche parziale - Per l autorizzazione a riprodurre in parte ψ(x, o t) in = tutto ψ(x)e la presente iω0t cos(δω t) opera è richiesto il permesso scritto dell autore (E. Silva) x t = 1 s v g = m/s ω 0 = ω 1 + ω δω = ω 1 ω

13 Applet GroupVelocity.html Non è permessa, in particolare, = 1 (unità la riproduzione arbitrarie) anche parziale Applet reperibile su: Pacchetti d onda

14 Posizione vs. numero d onda Onda armonica (a t=0). Infinitamente estesa. Lunghezza d onda % 0. Numero d onda k 0 ="/% 0 Non è permessa, in particolare, y la riproduzione anche parziale x Ampiezza k Posizione completamente delocalizzata. Numero d onda completamente noto. k 0 dove si trova l onda è una domanda mal posta. qual è la lunghezza d onda è una domanda ben posta. Posizione vs. numero d onda () Si consideri un tratto, di lunghezza 'x, di onda armonica di lunghezza d onda % 0 (e numero d onda k 0 = " / % 0 ): Ampiezza y x opera è richiesto il 'x permesso scritto dell autore (E. Silva) Costruzione del pacchetto d onde mediante 'k somma di funzioni sinusoidali, ciascuna con k ampiezza dipendente da k: Fourier k 0 Onda localizzata < > distribuzione di numeri d onda con larghezza 'k. dove si trova l onda e qual è la lunghezza d onda sono domande non necessariamente ben poste.

15 Pacchetto d onda (cenni) Un pacchetto d onda è immaginabile come una somma (infinita) di onde del tipo: Enrico dove Silva la somma - proprietà viene intellettuale effettuata pesando non ceduta Non opportunamente è permessa, in particolare, i vari contributi la riproduzione a diverso k, anche ovvero: parziale Ψ(x, t) = Per l autorizzazione 1 + a(k)e i(kx ωt) a riprodurre dk π in parte o in tutto la presente opera è richiesto il con permesso (Fourier): scritto a(k) dell autore = 1 + (E. Silva) e ikx Ψ(x)dx π Attenzione: " = "(k) non è una costante. Se a t = 0 (ovvero "(k)t = 0 nell equazione sopra) il pacchetto ha una certa forma, questa in generale cambia al trascorrere del tempo, quando interviene il termine "(k)t. In un pacchetto d onda con numero d onda k0 (lunghezza d onda) sufficientemente ben definito, le a(k) saranno funzioni piccate attorno al valore di k 0 desiderato. Pacchetto d onda gaussiano (cenni) Ψ(x, t) = 1 π + a(k)e i(kx ωt) dk con dà una misura Enrico dell allargamento Silva - proprietà del pacchetto intellettuale nello spazio non k: ceduta σk = (k k ) in spazio Per reale, l autorizzazione attorno al valor a medio riprodurre x, è: σ in parte o x = (x x ) in tutto la presente A t = 0, si dimostra che L allargamento (quadratico medio) del pacchetto Esercizio: verificare usando le definizioni sopra con t = 0. con indeterminazione quindi un pacchetto largo in k è localizzato in x, e viceversa.

16 Pacchetto d onda gaussiano (cenni): dispersione Ψ(x, t) = 1 π + a(k)e i(kx ωt) dk con A t # 0, poiché (in Enrico generale) Silva si ha -" proprietà = "(k), allora intellettuale ogni non ceduta componente Non di Fourier è permessa, si propaga in particolare, con velocità la (di riproduzione fase) anche parziale v f = "/k diversa: la Per forma l autorizzazione del pacchetto evolve a riprodurre nel tempo. in parte o in tutto la presente In particolare, il pacchetto diverrà più largo ( disperso ) spazialmente, relativamente alla posizione media (la posizione iniziale è in x = 0): x(t) = v g t = dω dk t k0 Alcuni esempi di discussioni si trovano su: Animazioni 1.3 e1.4 su: Evoluzione di un pacchetto gaussiano Ψ(x, t) = 1 + a(k)e i(kx ωt) dk π

17 Diffrazione Diffrazione Un onda che incontri un apertura la oltrepassa e si allarga, ovvero diffrange, nella zona oltre la barriera. Più è stretta l apertura, o maggiore è %, maggiormente si sparpaglia l onda. diffrazione da apertura apertura più ampia apertura più ampia Principio di Huygens Ogni punto di un fronte d onda può essere pensato come una sorgente puntiforme di onde con stessa fase, frequenza, ampiezza. L insieme di queste onde costituisce una nuova figura di interferenza. È un fenomeno usuale: il suono si propaga dietro gli angoli. Esercizio: discutere perché negli impianti stereo o home theater vi sono almeno due diffusori, destro e sinistro, per i medi e gli acuti, mentre si usa un solo subwoofer per i bassi profondi?)

18 Diffrazione Il fenomeno della diffrazione riguarda anche: diffrazione da apertura diffrazione da un ostacolo diffrazione da angolo Principio di Huygens Ogni punto di un fronte d onda può essere pensato come una sorgente puntiforme di onde con stessa fase, frequenza, ampiezza. L insieme di queste onde costituisce una nuova figura di interferenza. Diffrazione su uno specchio d acqua Onde diffondono attraverso un apertura: Onde di maggiore % sono maggiormente diffratte. Aperture maggiori diffrangono in misura minore

19 Riassunto Fenomeni ondulatori. Definizioni. Rappresentazione analitica. Onde progressive e regressive. Onde armoniche. Onde stazionarie. Interferenza Battimenti Pacchetti d onda: velocità di fase e di gruppo. Diffrazione ψ(x, t) = ψ + (x vt) + ψ (x + vt) ψ(x)e iωt ψ(x, t) = ψ(x) cos(ωt) ψ(x, t) = ψ(x)e iωt e i φ cos φ