27. Equazione delle onde

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1 27. Equazione delle onde L equazione lineare delle onde ha un ruolo importante nella meccanica dei continui ed equivale alla approssimazione delle piccole oscillazioni per i sistemi discreti: un esempio tipico è costituito dalla corda elastica discussa nel precedente capitolo. La propagazione di un onda in un mezzo omogeneo è una semplice traslazione con velocità costante di un disturbo iniziale. La presenza di termini dispersivi e dissipativi nelle equazioni provocano uno sparpagliamento ed una attenuazione del segnale. La presenza di termini non lineari porta a fenomeni nuovi, come la perdita di unicità, che richiedono una reinterpretazione della soluzione. Sotto opportune condizioni gli effetti dispersivi e non lineari si bilanciano dando luogo, per particolari condizioni iniziali, a soluzioni di tipo traslatorio chiamate onde solitarie oppure solitoni PROPRIETÀ GENERALI Consideriamo un mezzo omogeneo e isotropo e sia η(x, y, z, t) una componente del campo di spostamento rispetto alla configurazione di equilibrio definito come nel caso della corda elastica. La configurazione di equilibrio è data da η(x, y, z, t) = ed i piccoli moti attorno ad essa soddisfano l equazione delle onde o di D Alambert η 1 c 2 2 η t 2 = (27.1.1)

2 Equazione delle onde c dove c é una opportuna costante che dipende dalle caratteristiche meccaniche del mezzo Per piccoli moti si intende che le condizioni iniziali sono tali che lo spostamento η rimane ad ogni istante limitato e sufficientemente piccolo perché le potenze superiori alla prima possano essere trascurate come infinitesimi di ordini superiore nelle equazioni del moto esatte. Come le equazioni scritte nel precedente capitolo possono essere considerate una approssimazione di piccole oscillazioni intorno alla posizione di equilibrio stabile per una qualunque corda non lineare, così anche la equazione delle onde può essere considerata per un sistema continuo non lineare una approssimazione per piccoli moti attorno ad una configurazione di equilibrio stabile definita da η =. La (27.1.1) generalizza ai mezzi continui la equazione per le piccole oscillazioni attorno ad una posizione di equilibrio stabile di un sistema meccanico a un numero finito di gradi di libertà. Una soluzione della equazione delle onde è definita se si specificano le condizioni iniziali η η(x, y, z, ) = η (x, y, z), t = v (x, y, z) (27.1.2) t= ed eventuali condizioni al contorno del tipo di Dirichelet, oppure di Neumann (derivata normale nulla) η(x, y, z, t) =, su Σ (27.1.3) η (x, y, z, t) =, su Σ (27.1.4) n sulla frontiera Σ del dominio D in cui l equazione è definita. Le equazioni (27.1.3) e (27.1.4) estendono le condizioni di estremo fisso e di estremo libero, date per la corda unidimensionale, e corrispondono a spostamento nullo e tensione nulla sulla frontiera rispettivamente. Se D è l intero spazio R 3 allora o non si impongono condizioni oppure si richiede che η si annulli rapidamente con la distanza dall origine affinché l energia sia finita. In taluni problemi le condizioni al contorno si esprimono assegnando il valore di η o della sua derivata normale sulla frontiera come funzione del tempo. Se le condizioni iniziali sono η (x), v (x) e le eventuali condizioni al contorno sono assegnate su piani normali all asse x, la soluzione di (27.1.1) non dipende nè da y nè da z e soddisfa 2 η x η c 2 t 2 = (27.1.5) nota come equazione delle onde unidimensionale. Se il mezzo non è omogeneo ma le sue proprietà dipendono solo da x allora vale ancora (27.1.5) con c = c(x). La equazione (27.1.5) verrà analizzata in dettaglio perché è possibile scrivere la soluzione generale e sviluppare l analisi di Fourier per le onde stazionarie, estendendola al caso in cui la velocità di propagazione c non sia costante.

3 c Soluzione unidimensionale SOLUZIONE UNIDIMENSIONALE Quando il mezzo è omogeneo e illimitato la scelta di nuove variabili u = x + ct, w = x ct (27.2.1) semplifica la equazione delle onde (27.1.4). Infatti tenendo conto che 2 η x 2 = 2 η u η w η u w, 1 c 2 2 η t 2 = 2 η u η w η u w l equazione delle onde (27.1.5) diventa (27.2.2) La soluzione generale è data da 2 η u w = (27.2.3) η(x, t) = f(u) + g(w) = f(x ct) + g(x + ct) (27.2.4) con f e g funzioni arbitrarie, che risultano fissate dalle condizioni iniziali per t = f(x) + g(x) = η (x), g (x) f (x) = v (x) c dove con f, g indica la derivata di f, g rispetto al loro argomento. (27.2.5) η t x Figura Onda progressiva.

4 Equazione delle onde c Integrando la seconda equazione (27.2.5) g(x) f(x) = 1 c si ottiene un sistema lineare in f e g la cui soluzione è f(x) = 1 { η (x) 1 x } v (x )dx 2 c x v (x )dx (27.2.6) g(x) = 1 2 { η (x) + 1 c x v (x )dx } Sostituendo in (27.2.4) si ha infine η(x, t) = 1 { η (x ct) + η (x + ct) c Se v (x) = cη (x) si ha g = e la soluzione x+ct x ct v (x )dx } (27.2.7) (27.2.8) η(x, t) = η (x ct) (27.2.9) rappresenta un onda progressiva, vedi figura Il valore di η nel punto x all istante iniziale si mantiene in tutti i punti della retta x = x + ct (27.2.1) Nella figura illustriamo come la propagazione corrisponda, in questo caso, ad una traslazione della condizione iniziale η (x). Se v (x) = cη (x) allora f = e la soluzione η(x, t) = η (x + ct) rappresenta un onda regressiva; il valore iniziale in un punto x si propaga in tutti i punti della retta x = x ct. Nel piano (x, t) le rette x = ±ct vengono dette rette caratteristiche, vedi figura x x t t Figura destro). Caratteristiche: per velocità di propagazione costante (lato sinistro), variabile (lato

5 c Onde stazionarie 519 Nel caso in cui la velocità non sia costante si le rette caratteristiche diventano curve di equazione x dx x c(x = ±t ( ) ) Lungo queste curve, che definiscono implicitamente le traiettorie x = x(x, t) percorse con velocità c(x), la fase di un onda, la cui ampiezza vari poco, si mantiene costante, vedi paragrafo ONDE STAZIONARIE Una classe importante di soluzioni è quella con η(x, t) = Acos[k(x ct) + α] = Re [ae ik(x ct) ], a = Ae iα (27.3.1) e corrisponde alla scelta f(x) = Acos(kx+α), g(x) =. Nel seguito useremo la notazione complessa sottintendendo che la soluzione è data dalla sua parte reale. La costante k è detta numero d onda e con ω si indica la frequenza. La relazione con la lunghezza d onda ed il periodo, che definiscono la periodicità spaziale e temporale è data da η(x + λ, t) = η(x, t), η(x, t + T) = η(x, t) (27.3.2) k = 2π λ, T = 2π ω, ω k = λ T = c (27.3.3) e la soluzione, detta onda monocromatica, si scrive nella forma η = ae i(kx ωt) (27.3.4) η λ 2 λ x Figura Onde sinusoidali.

6 Equazione delle onde c Data la linearità della equazione, la somma di funzioni sinusoidali con diversi numeri d onda è ancora soluzione. Una sovrapposizione continua di soluzioni è rappresentata dall integrale + η(x, t) a(k)e ik(x ct) dk (27.3.5) dove l ampiezza a(k) si determina invertendo rispetto alla condizione iniziale mediante la formula seguente η (x) = + a(k)e ikx dk (27.3.6) a(k) = 1 + e ikx η (x)dx (27.3.7) 2π La condizione perché gli integrali convergano e l inversione sia ben definita è che l integrale di η (x) 2 sia convergente. La soluzione generale di un onda non progressiva si scrive η(x, t) = + [a(k)e ik(x ct) + b(k)e ik(x+ct) ] (27.3.8) Serie di Fourier Un onda che si propaga in un mezzo limitato è soggetta a condizioni al bordo (27.1.3) o (27.1.4) e e si dice stazionaria. Nel caso unidimensionale la soluzione η risulta periodica sia in t sia in x se si impone che si si annulli agli estremi di un segmento η(, t) = η(l, t) =. Infatti i vincoli sulla soluzione generale (27.2.4) sono espressi da f( ct)+g(ct) =, f(l ct)+g(l+ct) = f( ct) = f(2l ct) (27.3.9) La funzione f(x) è periodica con periodo 2L e g(x) = f( x) implica che la soluzione η(x, t) è espressa da η(x, t) = f(x ct) f( x ct), (27.3.1) L onda in questo caso si dice stazionaria ed imponendo le condizioni iniziali si vede che è sempre una combinazione di onde progressive e regressive. Nel caso dell onda sinusoidale la condizione di periodicità è soddisfatta per 2Lk = 2πn con n intero; il numero d onda e frequenza possono assumere soltanto una successione discreta di valori espressi da k n = π n L, ω n = ck n = π nc L ( ) e le corrispondenti lunghezze d onda e periodi sono λ n = 2π k n = 2L n, T n = 2π = 2L ω n nc ( )

7 c Onde stazionarie 521 La soluzione (27.3.1) con f(x) = C 2 cos(k nx + γ) è data da η(x, t) = C 2 ( ) cos[k n (x ct)+γ] cos[k n (x+ct) γ] = C sin(k n x)sin(ω n t γ) ( ) e risulta periodica in x con periodo λ n ed in t con periodo T n. La soluzione più generale corrispondente ad una f(x) periodica di periodo 2L che è rappresentabile come sovrapposizione delle soluzioni ( ) η(x, t) = C n sin(k n x)sin(ω n t γ n ) = n=1 sin(k n x)[a n cos(ω n t) + B n sin(ω n t)] ( ) dove A n = C n sinγ n, B n = C n cos γ n. Le costanti A n e B n sono determinate dalle condizioni iniziali di cui risultano i coefficienti di Fourier, η (x) = n=1 A n sin(k n x), v (x) = n=1 attraverso le condizioni di ortogonalità Il risultato è A m = 2 L L ω n B n sin(k n x) ( ) n=1 2 L sin(k n x)sin(k m x)dx = δ mn ( ) L η (x)sin(k m x)dx, B m = 2 L v (x)sin(k m x)dx ( ) ω m L Sviluppo in autofunzioni Quando la velocità non è costante la soluzione si scrive sostituendo le funzioni sinusoidali con una altra base di funzioni ortogonali. Questa base si ottiene attraverso il metodo di separazione delle variabili consistente nel cercare una soluzione fattorizzata del tipo che sostituita nella (27.1.5) dà η(x, t) = ξ(x)τ(t) ( ) c 2 ξ d 2 ξ dx 2 = 1 d 2 τ τ dt 2 ( ) Poiché il primo membro è una funzione della sola x ed il secondo della sola t ciascuno di questi dovrà essere uguale ad una costante che indichiamo con ω 2. Ne segue che d 2 ξ dx 2 + ω2 c 2 (x) ξ =, d 2 τ dt 2 + ω2 τ = (27.3.2)

8 Equazione delle onde c dove la prima equazione va corredata dalle condizioni al contorno ξ() = ξ(l) =. Per verificare che ω 2 > moltiplichiamo entrambi i membri della prima equazione (27.3.2) per ξ e integriamo tra e L ω 2 L ξ 2 L c 2 dx + ξ d2 ξ L dx2dx = ω2 ξ 2 dξ dx + ξ c2 dx L L ( ) 2 dξ dx = ( ) dx dove il secondo termine nel lato destro dell equazione si annulla. Se c è costante la prima equazione (27.3.2) ammette come soluzione ξ n (x) = sin(πnx/l) e quindi ω assume i valori ω n = nπc/l. L equazione per τ, in questo caso, ha come soluzione τ n (t) = C n sin(ω n t γ n ) e la somma di ξ n (x)τ n (t) fornisce la soluzione generale che coincide con ( ). Se c è variabile la prima delle equazioni (27.3.2) ammette ancora una successione di soluzioni ξ n (x) che soddisfano le condizioni al contorno e che corrispondono ad una successione ω n di valori della frequenza. Le soluzioni ξ n corrispondenti alle frequenze ω n sono ortogonali nella seguente forma L ξ n (x)ξ m (x) dx c 2 (x) = δ nm ( ) Per provarlo basta scrivere le equazioni per due diverse frequenze d 2 ξ n dx 2 + ω2 n c 2 (x) ξ n, d 2 ξ m dx 2 + ω2 m c 2 (x) ξ m, ( ) moltiplicare la prima per ξ m la seconda per ξ n ed integrare dopo averle sottratte membro a membro. Si ha così L ( d 2 ξ n ξ m dx 2 ξ d 2 ) ξ L m n dx 2 dx = (ωn 2 ωm) 2 dx ξ n ξ m c 2 dx ( ) (x) ove il primo membro è nullo, come si verifica integrando per parti e tenendo conto delle condizioni al contorno. La soluzione generale si scrive η(x, t) = ξ n (x)[a n cos(ω n t) + B n sin(ω n t)] ( ) n=1 dove le costanti A n, B n si determinano imponendo le condizioni iniziali attraverso le relazioni di ortonormalità ( ) APPROSSIMAZIONE ICONALE Quando il mezzo è illimitato e non omogeneo si cercano soluzioni monocromatiche fattorizzando una dipendenza periodica dal tempo η(x, t) = A(x)e [iφ(x) ωt] = a(x)e iωt (27.4.1)

9 c Approssimazione iconale 523 Le funzioni A(x), Φ(x) sono reali; la prima è l ampiezza dell onda, la seconda la componente spaziale della fase Φ(x) ωt. La funzione complessa a(x) = A(x)e iφ(x) costituisce la componente spaziale dell onda e soddisfa l equazione delle onde stazionarie d 2 a dx 2 + k2 (x)a =, k(x) = ω c(x) (27.4.2) dove k(x) è il numero d onda k. Se l ampiezza A(x) varia molto lentamente rispetto alla fase Φ(x) si può mostrare che la velocità di propagazione della fase è c(x). I punti (x, t) dello spazio in cui la fase è uguale a quella in (x, ) sono sulla curva x = x(t) definita implicitamente da Φ(x) ωt = Φ(x ) (27.4.3) La velocità di propagazione ẋ è data da dx dt = ω ed identificandola con c(x) si ottiene la equazione iconale ( ) 1 dφ (27.4.4) dx ( ) 2 dφ k 2 (x) = (27.4.5) dx la cui soluzione Φ(x) è Φ(x) = ± x k(x )dx (27.4.6) I limiti di questa approssimazione si definiscono sostituendo a(x) = A(x)e iφ(x) in (27.4.2) ) (A + 2iA Φ AΦ 2 + iφ A + ω2 c 2 A e iφ = (22.4.7) e considerando le equazioni ottenute uguagliando a la parte reale ed immaginaria del coefficiente di e iφ ; dopo aver moltiplicato quest ultima per A, si ha A AΦ 2 + Ak 2 = A 2 Φ + 2AA Φ = (27.4.8) La seconda equazione esprime l annullarsi della derivata di A 2 Φ rispetto a x e posto A 2 Φ = A 2 k, dove le costanti A e k hanno stesse dimensioni di A e Φ, si ha ( ) 1/2 k A(x) = A Φ (27.4.9) (x)

10 Equazione delle onde c Sostituendo nella prima delle equazioni (27.4.8) e detto L = A 2 k si trova che l ampiezza soddisfa d 2 A dx 2 = L2 A 3 k2 (x)a (27.4.1) che è l equazione per il moto radiale di un oscillatore armonico bidimensionale con frequenza variabile k(x) e potenziale efficace V = 1 2 k2 (x)a 2 + L2 2A 2 ( ) ove A ed x prendono il posto della coordinata radiale e del tempo. Quando le proprietà del mezzo non variano sensibilmente su una lunghezza d onda, nella prima equazione (27.4.8) A /A è piccolo rispetto ai termini restanti e può essere trascurato. In questa approssimazione, che diventa esatta nel limite ω, la fase Φ soddisfa l equazione iconale (27.4.5) e la soluzione si scrive ( ) 1/2 x ) k η(x, t) = A cos( k(x )dx ωt + α k(x) x ( ) Per meglio chiarire il limite della approssimazione iconale detti c la ( velocità media e k il numero d onda medio, dividendo la prima delle (27.4.8) per ka 2 si ottiene A k 2 Φ 2 A k 2 c2 )=. Sotto le ipotesi fatte il c 2 primo termine è 1 come si vede riesprimendo la derivata seconda come differenza seconda ( A k 2A (2π) 2 ) λ 2 ( x) 2 A(x+ x) 2A(x)+A(x x) A(x) e scegliendo x λ. È quindi lecito uguagliare a zero la somma dei termini restanti poiché ciascuno di essi è di ordine 1. La variazione di A diventa trascurabile su di un tratto x=λ quando λ ossia ω e in questo limite (27.4.5) è esatta MECCANICA ONDULATORIA L equazione iconale (27.4.5) ha la stessa forma della equazione di Hamilton Jacobi per un punto che si muova sotto l azione di un potenziale V (x). ( ) 2 dw p 2 =, p(x) = [2m(E V (x)] 1/2 (27.5.1) dx Si può quindi identificare W con la funzione iconale, Φ con la fase dell onda, Φ ωt con la funzione W Et scrivendo W(x) Et = [Φ(x) ωt], W(x) = Φ(x) (27.5.2)

11 c Meccanica ondulatoria 525 dove è una costante di proporzionalità che ha le dimensioni di un azione poiché Φ è adimensionale. Le derivate rispetto a x e t stabiliscono relazioni di proporzionalità tra impulso e numero d onda, tra energia e frequenza p = W x = k, E = ω (27.5.3) Le superfici di fase costante e di azione costante sono dei piani perpendicolari all asse x che si propagano con la stessa velocità c(x) = ω k(x) = E p(x) (27.5.4) Si può notare che c(x) non coincide con la velocità di propagazione del punto sulla traiettoria. Quest ultima è infatti data da v = de/dp e non da E/p. Per un onda in un mezzo omogeneo la velocità v = dω/dk vien detta velocità di gruppo e differisce dalla velocità di fase, a meno che ω dipenda linearmente da k. Per le particelle si postula una equazione di cui la equazione di Hamilton-Jacobi (27.5.1) sia la approssimazione iconale. Scrivendo Ψ(x, t) = A(x)e i(w Et)/ = ψ(x)e iet/ (27.5.5) le equazioni (27.5.2) consentono di identificare la ψ(x) con la parte stazionaria a(x) della funzione d onda e di postulare la stessa equazione (27.4.2) d 2 ψ dx 2 + k2 (x)ψ = (27.5.6) Scrivendo k = p/ e riesprimendo p secondo (27.5.1) si ottiene l equazione di Schrödinger stazionaria per le onde materiali 2 d 2 ψ + V (x)ψ = Eψ (27.5.7) 2m dx2 Moltiplicando ambo i membri di (27.5.7) per e iet/ si ricava infine la equazione delle onde materiali dipendente dal tempo, che risulta una equazione del primo ordine anziché del secondo ordine in t come l equazione delle onde (27.1.5) 2 2m 2 Ψ + V (x)ψ = i Ψ x2 t (27.5.8) Quando si ha che ω = E/ e l approssimazione iconale costituita dalla equazione di Hamilton Jacobi diventa esatta. Questo significa che la descrizione delle onde materiali attraverso i corrispondenti raggi che sono le traiettorie classiche è esatta nel limite. L equazione di Schrödinger non è nata come divagazione matematica, ma è stata proposta in seguito agli esperimenti di diffrazione degli elettroni sui cristalli che misero

12 Onde non lineari c Figura Superfici di fase costante e raggi luminosi. in evidenza l esistenza di onde associate alle particelle. Il valore del costante di Planck determinato sperimentalmente = erg.sec è così piccolo che in qualsiasi sistema macroscopico la lunghezza d onda associata è praticamente nulla e l equazione iconale, ossia l equazione di Hamilton Jacobi, è esatta. Nel caso di un mezzo disomogeneo qualsiasi l equazione iconale e l equazione di Hamilton-Jacobi diventano (grad Φ) 2 k 2 = e (grad W) 2 p 2 =. Le superfici di fase Φ ωt costante e di azione W Et costante non sono più piani e le traiettorie delle particelle sono ortogonali ad esse, vedi figura Se n è la normale alla superficie in un punto, il gradiente di W risulta uguale all impulso pn della traiettoria passante per quel punto; la velocità di propagazione delle superfici di azione costante è invece v=ne/p. Le traiettorie delle particelle classiche, ortogonali alle superfici di azione costante, sono come i raggi luminosi, che, nella approssimazione iconale, risultano ortogonali alle superfici si fase costante. La descrizione della propagazione di un onda in termini di raggi è corretta solo se l approssimazione iconale è giustificata, vale a dire se sono assenti fenomeni di diffrazione. Per le onde elettromagnetiche si parla di limite dell ottica geometrica, per le onde di associate ad una particelle di limite classico ONDE DISPERSIVE In un sistema di oscillatori oltre all accoppiamento elastico tra primi vicini si possono introdurre delle forze dissipative ed accoppiamenti tra punti più lontani. I corrispondenti contributi nella equazione delle onde sono termini del tipo α η/ t, che chiamiamo dissipativi e derivate in x di ordine superiore al secondo, che chiamiamo termini dispersivi. Un semplice esempio di equazione con dissipazione è dato da 2 η t 2 + 2α η t + α2 η c 2 2 η x 2 = (27.6.1) Le soluzioni indipendenti da x sono quelle dell oscillatore con smorzamento critico. Posto η(x, t) = e αt u(x, t) si verifica che u(x, t) soddisfa la equazione delle onde (27.1.5) la cui

13 c Onde dispersive 527 soluzione generale è data da (27.2.4) e quindi η(x, t) descrive un segnale che si propaga con velocità c attenuandosi con legge esponenziale η(x, t) = e αt [f(x ct) + g(x ct)] (27.6.2) Per introdurre termini dispersivi nel modo più semplice possibile, notiamo che la soluzione per le onde progressive e regressive soddisfa una equazione del primo ordine data ( x + c 1 t )η = e da ( x c 1 t )η = rispettivamente. L equazione delle onde si riscrive fattorizzando i due corrispondenti operatori differenziali ( x 1 c t ) ( x + 1 c t ) η(x, t) = (27.6.3) Consideriamo l equazione delle onde progressive ove si aggiunga un termine dispersivo Le soluzioni sono esprimibili come integrale di Fourier η(x, t) = 1 η c t + η x + 3 η x 3 = (27.6.4) + a(k) i(kx ω(k)t) dk (27.6.5) dove ω(k), che definisce la legge di dispersione, si determina sostituendo (27.6.5) in (27.6.4). La legge di dispersione in questo caso è data da ω(k) = c(k k 3 ) (27.6.6) e la velocità di fase ω/k = c(1 k 2 ) è lineare in k 2 anziché costante. In questo caso si introduce un altra velocità detta velocità di gruppo, definita da v g = dω () (27.6.7) dk Se consideriamo un segnale con un picco pronunciato e che si annulla rapidamente per x ±, la velocità di gruppo è quella con cui si propaga il centro del picco, cioè la velocità di propagazione del segnale. Solo nel caso in cui non vi sia dispersione, allorché ω = ck la velocità di fase e quella di gruppo coincidono. Consideriamo un segnale gaussiano η (x) = exp[ (x x ) 2 /4σ 2 ] la cui trasformata di Fourier è ancora gaussiana La soluzione η(x, t) è data da a(k) = 1 + e ikx 1 4σ 2π 2 (x x ) 2 dx = σ e ikx σ 2 k 2 (27.6.8) π η(x, t) = σ + e σ2 k 2 +ik(x x ) iω(k)t dk (27.6.9) π

14 Equazione delle onde c Supponendo che la legge di dispersione sia quadratica ω(k) = kω ω 2 k 2 l integrale (26.7.8) si valuta esattamente e si ottiene 1 η(x, t) = exp ( (x x ω 1 t) 2 ) D(t) 4σ 2, D = 1 + i ω 2 D 2σ 2 t (27.6.1) Notiamo che η(x, t) 2 è una gaussiana di larghezza σ D (poiché Re D 1 = D 2 ) che cresce linearmente con t per t grande e la cui normalizzazione resta costante η 2 dx = 2π σ. La velocità di propagazione del segnale ω1 è la velocità di gruppo definita da (27.6.7). Questa coincide con la velocità di fase ω/k soltanto se non c è dispersione cioè se ω 2 = ; solo in questo caso il segnale iniziale trasla senza che la sua la forma risulti alterata. Se vi è dispersione ω 2 non solo la velocità di fase e di gruppo differiscono ma la larghezza della gaussiana aumenta col tempo. Quindi la dispersione determina uno sparpagliamento del segnale iniziale. Integrali gaussiani Dette α una costante reale e β una costante complessa valutiamo l integrale della funzione gaussiana f(x)=exp( α 2 x 2 +βx) riscrivendo l argomento nel modo seguente α 2 x 2 +βx= (αx β + presente che exp[ (αy+γ)2 ]dy= π α. Si ha così il seguente risultato ( ) + exp( α2 x 2 +βx)dx= π α exp β 2 4α 2 2α) 2 + β2 4α 2 e tenendo ONDE NON LINEARI Consideriamo l equazione delle onde progressive in cui la velocità dipende dalla ampiezza dell onda η t + c(η) η x = (27.7.1) La sua soluzione è definita implicitamente da η = f(x c(η)t) (27.7.2) dove f(x) è fissata dalla condizione iniziale f(x) = η (x). Infatti derivando η espressa da (27.7.2) si trova ( t η + c x η) = tc f ( t η + c x η), condizione che può essere soddisfatta solo se η(x, t) è soluzione di (27.7.1). Quindi se η è soluzione della equazione implicita (27.7.2), che la definisce, è anche soluzione della equazione delle onde (27.7.1). Se c(η) è una funzione crescente di η allora la parte del segnale di ampiezza maggiore si propaga più velocemente ed esiste un t oltre il quale si perde l unicità della soluzione come mostra la figura Ad esempio per una condizione iniziale η = (1+x 2 ) 1 la soluzione della equazione (17.7.1) con c(η) = η è data dagli zeri reali della equazione cubica η 3 t 2 2xtη 2 +(1+x 2 )η 1 = ; si passa da uno zero reale a tre zeri reali nella regione in cui si perde unicità.

15 c Onde non lineari 529 η t= t=t c t > t c t Figura Propagazione di onda non lineare. Solitoni Un fenomeno significativo si presenta quando nell equazione compaiono sia un termine non lineare sia un termine dispersivo. Infatti i loro effetti si possono compensare dando luogo alla propagazione di un segnale senza che si alteri la sua forma f(x ct) come nel caso delle onde lineari in un mezzo omogeneo. La differenza rispetto al caso lineare è che ciò avviene solo per particolari condizioni iniziali. Un modello per questo tipo di onde è l equazione di Korteweg-de Vries per lo spostamento η(x, t) del livello dell acqua in un canale poco profondo η η 6η t x + 3 η x 3 = (27.7.3) L equazione ammette soluzioni della forma η = f(x ct) se f soddisfa l equazione d dx ( cf 3f2 + f ) = (27.7.4) Se richiediamo che f(x) per x ±, la costante cui f 3f 2 cf è uguale risulta nulla e si ha f = dv df, V (f) = f3 c 2 f2 (27.7.5) Il potenziale V (f) di cui si mostra il grafico nella figura 2.7.2, ha due punti critici in f =, f = c/3 con V () = c, V ( c/3) = c. Se c > il potenziale ha un massimo nell origine e le soluzioni fisicamente accettabili sono quelle con energia E cui corrisponde una ampiezza finita dell onda. Le soluzioni f(x) corrispondenti a E < sono funzioni periodiche di x mentre la separatrice corrispondente a E = è non periodica. L equazione cui la separatrice soddisfa è data dall integrale primo dell energia E = f 2 2 f3 c 2 f2 = (27.7.6) Posto f(x) = c/(2ch 2 z) la soluzione corrispondente alla radice positiva è data da df x = f 2f + c = 2 dz = 2z (27.7.7) c c

16 Equazione delle onde c V V V f f c > c < da cui segue che z = x c/2 e quindi Figura Potenziale V (f) per equazione K.d.V. η = f(x ct) = c 2 1 ch 2 c 2 (x ct) (27.7.8) Se c < la soluzione corrispondente alla separatrice è un solitone descritto da (27.7.8), dove c è preso in valore assoluto, cui si aggiunge la costante c/3. Contrariamente alle soluzioni con E <, che si estendono su tutto l asse reale ed hanno un andamento periodico, la soluzione ora ottenuta è localizzata e trasla con velocità costante, proporzionale alla sua ampiezza, vedi figura Onde del tipo (27.7.7), dette solitoni, si osservano nei fluidi descritti dalla equazione (27.7.3). Esistono soluzioni più complesse della (27.7.3), dette multisolitoniche, che sono una sovrapposizione di solitoni; esse hanno la notevole proprietà che i solitoni mantengono la loro forma tranne che nel momento in cui si sovrappongono..6 y -1 6 t Figura Due solitoni di KdV di ampiezza diversa c=.5 e c=1 al tempo iniziale t= (curve a sinistra) e loro propagazione al tempo t=5. Il solitone di minore ampiezza è più lento (curva centrale), quello di ampiezza maggiore è più veloce (curva a destra). In ordinata y= η.