LA PROPAGAZIONE DELLE ONDE. Lezioni d'autore

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1 LA PROPAGAZIONE DELLE ONDE Lezioni d'autore

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3 Propagazione delle onde in un mezzo omogeneo e isotropo. Onde armoniche progressive (I) La luce, le onde radio, il suono, sono esempi di onde nello spazio che si propagano in tutte le direzioni e nello stesso modo, a causa delle proprietà del mezzo (omogeneità e isotropia). Anche ipotizzando (per un tempo breve) che l energia dell onda sferica non subisca attenuazioni (dovute al mezzo), per questioni puramente geometriche (aumento della superficie interessata dall onda) il flusso di energia si ridurrà rapidamente in funzione del quadrato della distanza della sorgente.

4 Propagazione delle onde in un mezzo omogeneo e isotropo. Onde armoniche progressive (II) Nel caso di un onda circolare che si genera su una superficie (come nel caso di onde sull acqua) il flusso dell energia decrescerà come l inverso della distanza. Per un onda ideale in una dimensione (lungo, ad esempio una corda), trascurando gli effetti del mezzo, l energia si propagherà mantenendo costante il valore iniziale.

5 Propagazione delle onde in un mezzo omogeneo e isotropo. Onde armoniche progressive (III) Ritornando all esempio di un'onda radio (diciamo televisiva) emessa da un antenna è chiaro il motivo (convogliare le informazioni con dissipazione minima) che porta a trasformare, nel punto di ricezione, l onda sferica o piana in un onda a una dimensione che viaggia all interno del cavo coassiale schermato (il filo di rame centrale dell antenna).

6 Propagazione delle onde in un mezzo omogeneo e isotropo. Onde armoniche progressive (IV) Noi qui parleremo, per semplicità, essenzialmente di onde unidimensionali. La loro idealizzazione avviene attraverso l introduzione di onde elementari che si propagano lungo la direzione x con velocità vf. L onda armonica ha una lunghezza d onda caratteristica e una frequenza f tali che f= vf. L equazione dell onda armonica è A=Amax sen[2 ( -1x-ft)], con A ampiezza dell onda.

7 Propagazione delle onde in un mezzo omogeneo e isotropo. Onde armoniche progressive (V) Se si rappresenta l onda al tempo t=0 essa non è limitata spazialmente ed è caratterizzata da un solo valore della lunghezza d onda. Il quadrato dell ampiezza è proporzionale all energia associata all onda armonica. Le caratteristiche di idealità dell onda sono evidenti.

8 Propagazione delle onde in un mezzo omogeneo e isotropo. Onde armoniche progressive (VI) Se si rappresenta l onda al tempo t=0 essa non è limitata spazialmente ed è caratterizzata da un solo valore della lunghezza d onda. Il quadrato dell ampiezza è proporzionale all energia associata all onda armonica. Le caratteristiche di idealità dell onda sono evidenti.

9 Propagazione delle onde in un mezzo omogeneo e isotropo. Onde armoniche progressive (VII) Rappresentazione di un onda armonica al tempo t=0

10 Propagazione delle onde in un mezzo omogeneo e isotropo. Onde armoniche progressive (VIII) Così dal punto di vista temporale (se poniamo x=0) la sinusoide non è limitata nel tempo ed ha una sola frequenza. In altre parole un onda armonica non è localizzata nello spazio e nel tempo e per essa valgono principi di incertezza classici (come abbiamo accennato a esempio nelle lezioni di acustica) sia spaziali che temporali.

11 Propagazione delle onde in un mezzo omogeneo e isotropo. Onde armoniche progressive (IX) Rappresentazione di un onda armonica per x=0

12 Il pacchetto di onde. Velocità di fase e velocità di gruppo (I) Sovrapponendo (sommando algebricamente) moltissime onde armoniche (ognuna con grandezze caratteristiche diverse) si può ottenere un onda limitata spazialmente: un pacchetto di onde. Evoluzione temporale di un pacchetto di onde

13 Il pacchetto di onde. Velocità di fase e velocità di gruppo (II) Per capire le proprietà dell insieme delle armoniche, limitiamoci per ora alla somma di due sole onde monocromatiche con uguale ampiezza. Nel caso del suono l interferenza, se le frequenze sono molto vicine, produce il fenomeno dei battimenti. Le due armoniche soddisfano alle equazioni: A1=Amax sen[2 ( -1x-f1t)] e A2=Amax sen[2 ( -1x-f2t)].

14 Il pacchetto di onde. Velocità di fase e velocità di gruppo (III) Utilizzando la formula di prostaferesi sen +sen =2sen[½( + )]cos[½( - )] si può esprimere la somma delle due ampiezze come: A=A1+A2= =Amax sen[2 ( -1x-f1t)] +Amax sen[2 ( -1x-f2t)]= =2Amax cos{ ( )x-(f1-f2)t)]} sen{ ( )x-(f1+f2)t)]}.

15 Il pacchetto di onde. Velocità di fase e velocità di gruppo (IV) L onda risultante ha una nuova lunghezza d onda che soddisfa la relazione: -1= ½ ) e una frequenza f pari alla semisomma di f1 e f2 (la media delle frequenze delle armoniche). L ampiezza massima dipende dal tempo secondo una funzione coseno, quindi, anche fissando un valore per x, è modulata, varia regolarmente nel tempo con una frequenza pari alla semidifferenza tra le frequenze iniziali.

16 Il pacchetto di onde. Velocità di fase e velocità di gruppo (V) Fenomeno dei battimenti: sovrapposizione di onde sinusoidali di frequenza molto vicina

17 Il pacchetto di onde. Velocità di fase e velocità di gruppo (VI) Un video : Clic

18 Il pacchetto di onde. Velocità di fase e velocità di gruppo (VII) Si può qui distinguere una velocità di fase, ricavabile dal termine seno, propria dell onda: vf= f= 1 2( 1+ 2)-1(f1+f2) e la velocità con cui viaggia l ampiezza dell onda (e quindi l energia) detta velocità di gruppo vg (ricavabile dal termine coseno): vg= 1 2( 2-1)-1(f1-f2).

19 Il pacchetto di onde. Velocità di fase e velocità di gruppo (VIII) I due valori della velocità di fase e della velocità di gruppo coincidono se 1f1= 2f2 ovvero se tutte le velocità di fase sono uguali. In questo caso il mezzo non discrimina le diverse onde armoniche, mentre in mezzi dispersivi i due valori possono essere diversi.

20 Il pacchetto di onde. Velocità di fase e velocità di gruppo (IX) Ritornando al caso del suono i battimenti sono prodotti da due diapason di frequenza leggermente diversa, le due note musicali viaggiano nell aria alla stessa velocità che non dipende dalla frequenza. I battimenti sono percepiti da tutti gli uditori, indipendentemente dalla posizione, sempre allo stesso modo.

21 Il pacchetto di onde. Velocità di fase e velocità di gruppo (X) Mentre nel caso della dispersione ottica: il passaggio di luce bianca (composta da moltissime onde monocromatiche) attraverso un prisma comporta la separazione delle componenti colorate proprio per la diversa velocità di fase delle onde all interno del vetro.

22 Il pacchetto di onde. Velocità di fase e velocità di gruppo (XI) Il viola si disperde più del rosso proprio perché la velocità aumenta con la lunghezza d onda (nel caso di velocità tutte uguali il raggio di luce non subirebbe una rifrazione, una maggiore deviazione comporta una velocità inferiore) Dispersione della luce attraverso un prisma

23 Onde marine (I) La descrizione della propagazione delle onde sulla superficie marina utilizza principalmente due schematizzazioni. La prima è quella di acque profonde. Se la lunghezza d onda è piccola rispetto alla profondità del fondale, il mezzo risulta dispersivo e la velocità di fase è funzione della lunghezza d onda. In tal caso viaggiano più velocemente le onde con maggiore lunghezza d onda.

24 Onde marine (II) La forma dell onda varia a causa delle diverse velocità delle componenti dell onda. Il secondo caso limite è quello delle acque basse, per le quali è piccolo il rapporto profondità lunghezza d onda. Allora tutte le onde armoniche viaggiano alla stessa velocità (proporzionale alla radice quadrata della profondità) e la forma risultante dell onda, se la profondità non cambia, è sempre la stessa.

25 Onde marine (III) Se si analizza una singola onda provocata da un movimento tellurico sottomarino (in realtà un terremoto provoca una serie di onde che a grande distanza dall epicentro presentano una serie di picchi e valli, il primo dei quali non è necessariamente il più intenso), si nota che il trasporto dell energia avviene su distanze dell ordine del migliaio di kilometri.

26 Onde marine (IV) Inizialmente l altezza dell onda è modesta (dell ordine del metro) e la sua velocità è elevata 800 km/h (le normali onde oceaniche provocate dal vento hanno velocità di 90 km/h e periodo dell ordine della decina di secondi, lunghezza d onda metri). In prossimità della terra emersa la velocità dell impulso, che per semplicità si suppone a forma di campana, diminuisce e l altezza dell onda aumenta.

27 Onde marine (V) Passaggio di un onda a forma di campana da una zona in cui viaggia a grande velocità a una a bassa velocità

28 Onde marine (VI) Gli tsunami (onde del porto) riflettono il principio di conservazione dell energia. L onda, non potendo più trasportare energia su uno spazio molto ampio (a causa della pendenza del fondo marino in prossimità della spiaggia), concentra l energia in un volume limitato con un abnorme aumento dell altezza, anche considerando la dissipazione dovuta alle turbolenze dell acqua col fondale marino.

29 Onde marine (VII) Vediamo lo stesso problema dal punto di vista della velocità di fase. Le onde anomale sulla superficie oceanica, causate dal terremoto, possono essere considerate come la sovrapposizione di un insieme di onde armoniche. I periodi variano tra 10 minuti e le due ore. Le lunghezze d onda possono superare i 500 kilometri. Per un terremoto che si è verificato a 5 km di profondità moltissime componenti delle onde sono comunque onde in acque basse.

30 Onde marine (VIII) Per tutte queste la velocità di fase è uguale alla velocità di gruppo. Indicando con h la profondità del fondale e g l accelerazione di gravità: vf=vg=(gh)½. Al diminuire della profondità del fondo marino la velocità di ogni singola armonica decresce, ma continua a valere l espressione: vf= f

31 Onde marine (IX) Nella figura sono riportati alcuni valori della velocità con il variare della profondità. Nella stessa figura si rappresenta il movimento locale dell acqua durante il passaggio dell onda a diverse altezze. Il moto sotto la superficie si trasforma da circolare a ellittico, via via più schiacciato, fino a diventare, in prossimità del fondo, rettilineo.

32 Onde marine (X) Propagazione di uno tsunami Osservando un treno d onde, fissando il punto di massima ampiezza dell onda, dove è concentrata l energia, si inizia a notare una sorta di riduzione della distanza tra le creste.

33 Onde marine (XI) Le creste davanti al treno d onde rallentano prima di quelle che seguono. I picchi si infittiscono e il primo tende a salire a causa di un effetto domino in cui l energia viene concentrata quasi totalmente sul picco. Non solo, a bassissime profondità, per opportuni valori, la base dell onda viaggia ora con una velocità inferiore a quella del picco, si produce così la caratteristica forma dell onda (il mezzo è dispersivo) che s infrange, con impeto distruttivo, sulla costa. Un muro d acqua alto trenta metri che si inoltra per centinaia di metri nell entroterra.

34 Onde marine (XII) Non più un onda (trasporto di energia), ma un flusso di materia dovuto alla discontinuità del passaggio acqua-spiaggia. Rappresentazione dell onda frangente dello tsunami

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