Moto vario nelle correnti a superficie libera Nozione elementare di onda In termini generali un'onda consiste nella propagazione di un segnale

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1 1 Moto vario nelle correnti a superficie libera Nozione elementare di onda In termini generali un'onda consiste nella propagazione di un segnale attraverso un mezzo (nella fattispecie un liquido) con una certa velocità di propagazione, detta anche celerità. Il segnale (qui una variazione di quota della superficie libera), può subire, nel corso della propagazione, variazioni di forma, intensità e celerità. Le onde possono essere classificate sulla base dei meccanismi fisiciche sottendono i diversi fenomeni di propagazione: onde elastiche onde acustiche onde elettromagnetiche onde di gravità (nei fluidi) onde di densità (nei fluidi non omogenei) Nell ambito delle onde appartenenti ad una delle classi menzionate si possono poi distinguere tipologie diverse sulla base della causa primaria della perturbazione: onde di gravità nei liquidi sono in particolare: le onde di mare(generate dall azione del vento sulla superficie libera) le onde di marea(generate dall attrazione lunare) le onde di piena nei corsi d acqua(generate dagli afflussi provenienti dalle diverse porzioni del bacino di alimentazione di un corso d acqua). 2

2 3 Equazioni del moto per onde lunghe Una classe molto importante di onde nei moti a superficie libera è quello delle onde lunghe, cioè delle cosiddette onde su acqua bassa (shallowwater), di grande rilievo per la loro applicabilità allo studio delle onde di piena nei corsi d acqua, delle onde di marea nonché della propagazione delle onde di mare sotto costa. Nell ipotesi di shallowwater si ammette che la componente verticale della velocità sia nulla, assumendo costanti - e pari al loro valore medio - le componenti orizzontali. Secondo la trattazione monodimensionale, le variabili dipendenti del problema, cioè la portata volumetrica Q (o la velocità media nella sezione U)ed il carico piezometrico h (o l area della sezione A o ancora la profondità della corrente Y) risultano ora funzioni di due variabili: il tempo t e la sola coordinata spaziale x. Ipotesi corrente gradualmente variata sezioni trasversali piane e verticali corrente monodimensionale (riferimento al punto di mezzo in condizioni di alveo pieno). alveo rigido Occorre dunque derivare la forma che il principio di conservazione della massa, cioè l equazione di continuità, ed il principio della quantità di moto assumono nel caso di 4 moto non stazionario.

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4 L equazione di continuità traduce matematicamente il principio per cui in un moto non stazionario un aumento della portata volumetrica in direzione s deve essere bilanciato da un abbassamento del pelo libero nel tempo e viceversa. 7 8

5 Risoluzione delle equazioni di De Saint Venant Sistema di due equazioni differenziali alle derivate parziali del primo ordine non lineari. La risoluzione del sistema richiede la conoscenza: delle condizioni iniziali nell intero tronco di due condizioni al contorno Una delle due condizioni al contorno è l andamento dell onda di piena nella sezione iniziale. Nel caso di corrente lenta l altra relazione è l andamento delle altezze d acqua nella sezione finale (oppure la relazione tra portate e livelli). 9

6 Propagazione delle onde di piena Può in particolare considerarsi una forma approssimata dell'equazione del moto, fondata su un ipotesi che fa riferimento al carattere lentamente variabile nello spazioeneltempotipicodelleondedipienadeicorsid acqua. Tale caratteristica consente di trattare il moto come una successione lentamente variabile nello spazio e nel tempo di moti uniformi con le caratteristiche istantanee e locali. In altre parole si assume che portata e area della sezione siano legate in ogni sezione ed in ogni istante dal legame caratteristico del moto uniforme. Ipotesi: - si trascurano i termini cinetici - canali prismatici con pendenza di fondo costante Tale schema equivale a due sostanziali approssimazioni: - da una parte viene trascurata l inerzia della massa fluida (accelerazione locale e convettiva) => Modello parabolico - dall altra si trascura il non parallelismo fra superficie libera e fondo, si confonde cioè la pendenza motrice con la pendenza del fondo, cosicché l'equazione del moto si traduce in un bilancio tra effetti gravitazionali associati alla pendenza del fondo e azioni tangenziali sul perimetro bagnato => Modello cinematico 11 Propagazione delle onde di piena 12

7 Modello parabolico 13 14

8 Modello cinematico 15 La tecnica delle differenze finiteimplica la discretizzazione. Si sostituiscono le equazioni differenziali, che si riferiscono a un qualsiasi punto del piano cinematico, con equazioni algebriche, che riferiscono a insiemi definiti di nodi di una griglia. Il passo temporale è costante, il passo spaziale dipende dal rilievo dell alveo. Il numero di nodi considerati in ogni equazione dipende dal tipo di approssimazione delle derivate che si adotta. La soluzione è il limite a cui tende la soluzione del sistema algebrico quando il passo temporale e il passo spaziale tendono a zero. Due metodi di soluzione: metodi espliciti e metodi impliciti. Entrambi i metodi comportano iterazioni dei calcoli. La differenza tra i due metodi si basa sul modo di approssimare le derivate parziali di Q e di h rispetto alla variabile x (coordinata curvilinea). Nei metodi impliciti le derivate spaziali sono approssimate con espressioni che contengono valori delle variabili ancora incogniti all istante a cui si riferisce il calcolo. I metodi impliciti sarebbero incondizionatamente stabili se i coefficienti fossero costanti. 18

9 Metodi espliciti Le derivate parziali delle variabili Q e h rispetto alla variabile x sono approssimate con espressioni in cui compaiono solo valori di Q e di h che al momento del calcolo sono noti. In pratica in uno schema di tipo esplicito i valori di tirante e velocità incogniti vengono determinati scrivendo le equazioni del De Saint Venantapprossimate alle differenze finite in modo tale da ottenere in ciascuna delle due equazioni una sola incognita: è quindi possibile risolvere il problema un nodo alla volta. Questo metodo però risulta INSTABILE, cioè gli errori, introdotti inevitabilmente all approssimare una derivata col rapporto incrementale, vengono amplificati nel procedere del calcolo agli istanti successivi. 19 Metodi impliciti Le derivate parziali delle variabili Q e h rispetto alla variabile x sono approssimate con espressioni in cui compaiono anche valori di Q e di h che al momento del calcolo sono ancora incogniti. I metodi impliciti consentono più facilmente la convergenza dei calcoli. Essi permettono di integrare numericamente le equazioni del De Saint Venantattraverso la scrittura di un sistema non lineare in cui ogni coppia di equazioni scritta in un nodo presenta un numero di incognite maggiore di due. Per tal motivo non è possibile determinare le incognite h e V in un punto se non risolvendo l intero sistema di equazioni (per tutte le sezioni discretizzatedel canale) per un assegnato istante. Tale caratteristica dei metodi impliciti comporta un notevole dispendio in termini computazionali ma di contro presenta il vantaggio che essi si presentano incondizionatamente stabili. 23

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19 Esempio 47 Esempio 48

20 Esempio 49 Esempio 50

21 Esempio 51 Esempio 52

22 Esempio 53 Esempio 54

23 Esempio 56 Esempio 57

24 Esempio 58 Esempio 59

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