Corso di Laurea Ingegneria Civile e Ambientale. Cenni di moto ondoso

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1 Corso di Laurea Ingegneria Civile e Ambientale UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI ENNA KORE FACOLTÀ DI INGEGNERIA E ARCHITETTURA Cenni di moto ondoso Complementi di Idraulica Ambientale Prof. Mauro De Marchis 30/04/2014

2 IL MOTO ONDOSO La presenza di azioni esterne (quali ad esempio quelle esercitate sui corpi idrici dal vento o determinate dall impatto delle correnti con superfici solide) determina sulle superfici libere l insorgere di increspature, di ampiezza molto variabile, note come onde. L azione della gravità e, nel caso di onde di piccolissima altezza ed elevata curvatura, della tensione superficiale, contrasta la tendenza della superficie libera a deformarsi sotto l azione delle forze esterne, determinando uno smorzamento delle oscillazioni dovute ai moti ondosi. come la sovrapposizione di un gran numero di sinusoidi caratterizzate da ampiezze e lunghezze d onda 3 30 aprile 2014 Cenni di moto ondoso

3 IL MOTO ONDOSO La presenza di azioni esterne (quali ad esempio quelle esercitate sui corpi idrici dal vento o determinate dall impatto delle correnti con superfici solide) determina sulle superfici libere l insorgere di increspature, di ampiezza molto variabile, note come onde. L azione della gravità e, nel caso di onde di piccolissima altezza ed elevata curvatura, della tensione superficiale, contrasta la tendenza della superficie libera a deformarsi sotto l azione delle forze esterne, determinando uno smorzamento delle oscillazioni dovute ai moti ondosi. Se ad esempio si sommano due funzioni sinusoidali aventi lunghezza d onda e ampiezza differente si ttiene una forza irregolare che può essere assimilata a quelle della superficie libera sotto effetto deformata da onde. Il modo più semplice per studiare il moto ondoso è quello di interpretarlo mediante una singola onda che può essere definita onda monocromatica 4 30 aprile 2014 Cenni di moto ondoso

4 Si definisce onda monocromatica un onda che può essere rappresentata mediante una semplice funzione sinusoidale, ossia mediante le funzioni seno o coseno, che si propaga su un fondale orizzontale. L: lunghezza dell onda, la distanza orizzontale tra due creste consecutive; h: distanza tra il fondo orizzontale e il livello medio marino, inteso come il livello indisturbato H: Altezza dell onda, la distanza verticale tra il cavo e la cresta. a: ampiezza dell onda. η: sopra elevazione del pelo libero rispetto il livello di quiete. Per lo studio delle onde è necessario risolvere le opportune equazioni differenziali del moto imponendo le condizioni al contorno aprile 2014 Cenni di moto ondoso

5 ONDE CLASSIFICAZIONE Le onde di mare possono essere classificate in base a diversi criteri. Tra i principali si annoverano: Onde di marea Le forze che le generano Onde di Vento Onde di Gravità Onde vive Onde lunghe La forma dell onda Sinusoidali Cnoidali Solitarie Random Il periodo o la frequenza 6 30 aprile 2014 Cenni di moto ondoso capillari (0-0.1s; >10Hz) Ultragravità (0.1-1 s; 1-10 Hz) Gravità (1-30 s; 0,033-1 Hz) Infragravità (30 s- 5 min) Lungo periodo (30 min-24h) Marea (> 24h)

6 ONDE CLASSIFICAZIONE Le onde di mare possono essere classificate in base a diversi criteri. Tra i principali si annoverano: Onde di marea Le forze che le generano Onde di Vento Onde di Gravità Onde vive Onde lunghe La forma dell onda Sinusoidali Cnoidali Solitarie Random Il periodo o la frequenza 7 30 aprile 2014 Cenni di moto ondoso capillari (0-0.1s; >10Hz) Ultragravità (0.1-1 s; 1-10 Hz) Gravità (1-30 s; 0,033-1 Hz) Infragravità (30 s- 5 min) Lungo periodo (30 min-24h) Marea (> 24h)

7 Si definisce onda monocromatica un onda che può essere rappresentata mediante una semplice funzione sinusoidale, ossia mediante le funzioni seno o coseno, che si propaga su un fondale orizzontale. Per lo studio del campo di moto generato da un onda monocromatica possono quindi introdursi le seguenti ipotesi semplificative: 1) moto irrotazionale (ossia rot(u)=0 dove u è il vettore velocità); 2) fluido incomprimibile (ρ=cost, essendo ρ la densità del fluido); 3) fluido ideale (viscosità dinamica nulla μ=0); 4) onda bidimensionale (in direzione y si considerano onde cilindriche, ossia identiche per piani paralleli di normale y) aprile 2014 Cenni di moto ondoso

8 Si definisce onda monocromatica un onda che può essere rappresentata mediante una semplice funzione sinusoidale, ossia mediante le funzioni seno o coseno, che si propaga su un fondale orizzontale. Per l ipotesi di moto irrotazionale sia V la velocità della particella, che nel generico istante t occupa il generico posto P, di coordinate cartesiane ortogonali x, y, z, la condizione che il moto sia irrotazionale equivale alla esistenza di una funzione ϕ (x, y, z t), di cui le tre derivate parziali ϕ/ x, ϕ/ y, ϕ/ z, forniscano le componenti v x, v y, v z della velocità v secondo gli assi. φ = u x i i Se il fluido è incomprimibile invece si ha: ui x i = aprile 2014 Cenni di moto ondoso

9 Si definisce onda monocromatica un onda che può essere rappresentata mediante una semplice funzione sinusoidale, ossia mediante le funzioni seno o coseno, che si propaga su un fondale orizzontale. ui x i = x i φ x i = 2 φ = 0 Equazione di LAPLACE Indichiamo u e w le componenti della velocità non nulle, in direzioni rispettivamente orizzontale e verticale, mentre le corrispondenti direzioni saranno indicate con x e z. L origine dell asse verticale verrà posta alla quota del livello indisturbato della superficie libera, per cui h indicherà l altezza delle onde, mentre la quota del fondo sarà pari a -h. η t φ x η x + φ z = 0 per z = η Condizione al contorno cinematica in superficie w t + u w x + w w z + 1 p ρ z + g = 0 Condizione al contorno cinematica in superficie aprile 2014 Cenni di moto ondoso Condizione al contorno sul fondo di impermeabilità

10 Si definisce onda monocromatica un onda che può essere rappresentata mediante una semplice funzione sinusoidale, ossia mediante le funzioni seno o coseno, che si propaga su un fondale orizzontale. w Essendo il fluido irrotazionale x = u z sulla superficie libera si trasforma in : e introducendo l equazione di continuità si ha che la condizione dinamica di pressione costante w t + u w x + w w z + 1 p ρ z + g = 0 w t u 2 z w 2 z + 1 p ρ z + g = 0 Considerando che per l esistenza del potenziale si ha: φ x = u e φ z = w φ t φ x φ z 2 + p ρ + gz = 0 φ t φ x φ z 2 + gη = aprile 2014 Cenni di moto ondoso

11 Per risolvere l equazione di Laplace:. ui = φ = φ = 0 xi xi xi 2 È quindi necessario imporre le seguenti condizioni al contorno w=0 sul fondo η t φ x φ t η x + φ z = 0 per z = η 2 φ x φ z 2 + gη = 0 sulla superficie libera sulla superficie libera φ(x, t) = φ(x + L, t) φ(x, t) = φ(x, t + T) condizioni di periodicità nello spazio x e nel tempo aprile 2014 Cenni di moto ondoso

12 Il sistema di equazioni ci consente di calcolare il potenziale φ e l elevazione η In particolare per onde stazionarie il sistema ammette la soluzione 0,6 t = 0 t = T/2 t = 0 0,4 0,2 t = T/8 t = 3T/8 t = T/8 η [m] 0 t = T/ ,2 t = 3T/8 t = T/8 t = 3T/8-0,4-0,6 t = T/2 t = 0 t = T/2 x [m] aprile 2014 Cenni di moto ondoso

13 Il moto ondoso genera dei moti ellittici delle particelle fluide sotto la superficie libera. Tali moti possono essere dedotte a partire dalle equazioni di u e w e sono funzione della rapporto tra la profondità h e la lunghezza dell onda L aprile 2014 Cenni di moto ondoso

14 Corso di Laurea Ingegneria Civile e Ambientale UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI ENNA KORE FACOLTÀ DI INGEGNERIA E ARCHITETTURA Complementi di Idraulica Ambientale Prof. Mauro De Marchis 30/04/2014