STATICA E DINAMICA DEI FLUIDI

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1 STATICA E DINAMICA DEI FLUIDI Pressione Principio di Pascal Legge di Stevino Spinta di Archimede Conservazione della portata Teorema di Bernoulli Legge di Hagen-Poiseuille Moto laminare e turbolento

2 Stati di aggregazione della materia Solido:Il corpo ha volume e forma ben definiti Liquido: Il corpo ha volume ben definito, ma assume la forma del recipiente che lo contiene Gassoso: Il corpo non ha ne volume ve forma ben definiti, ma occupa tutto lo spazio disponibile Si dice fluido un corpo allo stato liquido o gassoso

3 Pressione P = F n S P = F S = N m 2 = Pascal La pressione è una grandezza scalare La pressione esercitata su un elemento di superficie all interno ad un fluido contenente un punto p non dipende dalla sua orientazione (anisotropia della pressione) Unità di misura: Pa, atm, mmhg, baria

4 Idrostatica Su volumetto di fluido in quiete agiscono due tipi di forze: Forze di volume: forze agenti sui volumetti in cui possiamo immaginare di suddividere il fluido (es: forza peso agente sulla massa m del volume), Forze di superficie: forze agenti sulle superfici che delimitano il volume considerato. Forze di superficie orizzontali cubetto elementare Forze di superficie verticali Forza di volume

5 Legge di Stevino All equilibrio si deve avere: F i = 0 i 1) Forze di superficie orizzontali: sono eguali e opposte quindi la loro risultante è nulla 2) Forze verticali: F 1 = P 1 A F 2 = P 2 A F 1 P = mg = A h d g all equilibrio: A P h F 1 + P = F 2 P 1 A + A h d g = P 2 A F 2

6 Legge di Stevino semplificando il fattore comune A si ottiene la legge di Stevino: P 2 = P 1 + hdg Il temine hdg prende il nome di pressione idrostatica La pressione esercitata da una colonna di liquido sulla sua base non dipende dalla sezione, ma dipende dalla sua altezza. Poiché la pressione è uguale alla stessa profondità, in recipienti comunicanti il liquido si dispone alla stessa altezza. Liquidi non miscibili di densità diversa posti in vasi comunicanti raggiungono altezze diverse in modo inversamente proporzionale alle loro densità.

7 Esercizio 1 Assumendo la densità dell aria pari a ) La forza peso di un litro d aria, g, calcolare: cm 3 2) La differenza di pressione in Pascal, in atm, mmhg, barie, tra la cima e la base di un edificio alto 50 m. 1 Pa = 1 N m 2 = 1 kg m s 2 1 atm = Pa 1 mmhg = Pa 1 bar = 10 5 Pa

8 Principio di Pascal L aumento di pressione prodotto in un punto di un fluido si trasmette inalterato ad ogni altro punto del fluido. E il principio della pressa idraulica, che permette di amplificare le forze. P = F 1 S 1 = F 2 S 2 F 2 = F 1 S 2 S 1 S 2 > S 1 F 2 > F 1

9 Il Principio di Archimede Un corpo immerso in fluido è sottoposto ad una forza, detta spinta di Archimede S A, diretta verticalmente verso l alto ed uguale alla forza peso del fluido spostato. Considero un volume V di liquido: S A = P 2 S P 1 S = d fl g h 2 S d fl g h 1 S = d fl g S h 2 h 1 = = d fl g S h = d fl V fluido spostato g

10 Esercizio 2 Consideriamo un iceberg in equilibrio nel mare. Sapendo che: d iceberg = kg m 3 d acqua = kg m 3 determinare la frazione di volume di iceberg immerso nel mare.

11 Esercizio 3 Un marinaio solleva, a velocità costante, un secchio di ferro (d = 8 g cm 3) di massa 1.5 kg dal fondo sino alla superficie del mare. Quale lavoro deve compiere se il fondo si trova a 4 m di profondità e se si trascura la resistenza del mezzo?

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13 Idrodinamica FLUIDI IDEALI: Incomprimibile, cioè la densità non varia Privo di viscosità, cioè privo di forze di attrito che si esercitano fra le porzioni di fluido. MOTO STAZIONARIO Un fluido si dice in moto stazionario quando la velocità del fluido è, in ogni punto del condotto, costante in modulo direzione e verso.

14 Portata Q: volume di fluido che attraversa una sezione del condotto nell unità di tempo. S in S out v L = v t Q = volume t = L3 T = L L2 T = L S T = v S

15 Legge di conservazione della portata La quantità di fluido incompressibile all interno di un condotto deve essere costante e quindi: Q = v in S in = v out S out = costante La velocità è inversamente proporzionale all area della sezione

16 Esercizio 4 Un arteria con la portata di 0.5 cm3 si suddivide in n arteriole ciascuna di raggio 100 s µm. Sapendo che la velocità media del sangue in ciascuna arteriola è di 1.6 cm s quanto vale approssimativamente il numero n. dire

17 Si applica al moto di un fluido ideale in moto stazionario in un condotto a pareti rigide costante Teorema di Bernoulli 1 2 dv2 + dgh + p = costante

18 v 1 t p 1 v 1 S 1 v 2 t v 2 p 2 h 1 S 2 h dv2 dgh p 1 2 dv2 + dgh + p = costante energia cinetica per unità di volume associata al moto macroscopico del liquido energia potenziale per unità di volume associata alle variazioni di quota h del liquido pressione per unità di volume dovuta alle forze interne agenti sul liquido in moto

19 Teorema di Bernoulli Significato fisico del principio di Bernoulli: Per un fluido ideale, su cui non venga esercitato alcun lavoro, per ogni incremento della velocità si ha: una diminuzione della pressione, un cambiamento della energia potenziale gravitazionale del fluido.

20 Applicazione del principio di Bernoulli: Fluido incompressibile che scorre in tubo orizzontale a sezione variabile L equazione di Bernoulli diventa: Tubo di Venturi 1 2 dv dgh 1 + p 1 = 1 2 dv dgh 2 + p dv p 1 = 1 2 dv p 2 Applicando l equazione di continuità: p 1 p 2 = 1 2 dv A 2 2 A 1 2 v 1 = A 2 A 1 v 2 essendo: A 2 A 1 < 1 Risulta: p 1 > p 2

21 Fluidi reali Durante lo scorrimento di un fluido reale in un condotto si manifestano forze di attrito interno che ne ostacolano il moto e sono l origine di una proprietà del fluido detta viscosità ( ). E come se cilindri concentrici scorressero l uno dentro l altro con velocità decrescente dal centro verso la periferia (regime laminare). è funzione della temperatura poise = kg m s Varia tra i diversi liquidi

22 Legge di Hagen-Poseuille L attrito interno produce una caduta di pressione secondo la legge di Hagen- Poiseuille. Per far scorrere un fluido reale in un condotto orizzontale è necessario applicare ai suoi estremi una differenza di pressione: p = p 1 p 2 = R Q R: resistenza idraulica per un condotto cilindrico: R = 8 L πr 4 = coefficiente di viscosità L = lunghezza del condotto r = raggio del condotto

23 Regime turbolento All aumentare della velocità del fluido nel condotto, provocata ad esempio dall aumento della pressione ai suoi capi, la formula di Hagen Poiseuille cessa di valere e si ha il passaggio dal regime di moto laminare al regime di moto vorticoso o turbolento. v > v critica

24 OSSERVAZIONI Q R 4, e quindi: In un tubo di piccolo diametro ci sarà gran parte del fluido a contatto della superficie, rispetto ad un tubo di grande diametro Nella maggior parte dei vasi del corpo umano la corrente è quasi laminare Quando il corpo è freddo i vasi cutanei si restringono per ridurre le cessioni di energia termica all ambiente Se il corpo si surriscalda la cute si arrossa per la dilatazione dei vasi che trasportano sangue caldo alla superficie del corpo dove la sua energia termica si può facilmente dissipare Depositi di colestorolo in un arteria (che diminuiscono il valore di R) possono ridurre Q (capacità di trasportare il sangue) imponendo così al cuore di pompare ad una maggiore pressione (p 1 p 2 ) per mantenere costante Q