Dall idrostatica alla idrodinamica. Fisica con Elementi di Matematica

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1 Dall idrostatica alla idrodinamica 1

2 Concetto di Campo Insieme dei valori che una certa grandezza fisica assume in ogni punto di una regione di spazio. Esempio: Consideriamo il valore della pressione atmosferica in tutti i punti dell aula 1. Poiché la pressione è una grandezza scalare questo campo è un campo di tipo scalare. Per rappresentare il campo possiamo associare un NUMERO (il valore della pressione) ad ogni punto dello spazio (cioè ad ogni terna (x,y,z)) dell aula 1. Campo scalare (pressione)

3 Concetto di Campo Altro Esempio: Consideriamo il valore della velocità delle molecole di aria, in tutti i punti dell aula 1. Poiché la velocità è una grandezza vettoriale questo campo è un campo di tipo vettoriale. Per rappresentare un campo vettoriale si usa la convenzione delle linee di flusso (o linee di campo) Campo vettoriale (2D)

4 Rappresentazione di un campo vettoriale tramite le linee di flusso (o linee di campo) Convenzione: 1) In ogni punto il vettore ha la direzione tangente alle linee di flusso. 2) Il verso del vettore è quello indicato dalle linee di flusso. 3) L intensità del vettore è proporzionale al numero di linee di flusso che attraversano una superficie unitaria e normale alle linee stesse. Le linee di flusso sono le linee curve in blu. 4

5 Campi Uniformi e/o Stazionari Un campo (scalare o vettoriale) si dice UNIFORME se la grandezza fisica assume un valore costante in TUTTI i punti dello spazio (considerato). Se, ad esempio, la pressione atmosferica è costante in tutti i punti dell aula 1, il campo di pressione nell aula 1 è detto UNIFORME. Un campo (scalare o vettoriale) si dice STAZIONARIO se la grandezza fisica assume un valore costante al variare del tempo. Se, ad esempio, la pressione atmosferica è costante nell arco di una intera giornata, in ogni punto dell aula 1 (ma varia da punto a punto) il campo di pressione nell aula 1 è detto STAZIONARIO 5

6 Definizione di Fluido Ideale Un fluido si dice ideale se è incomprimibile e non viscoso. incomprimibile: comunque vari la pressione sulla massa fluida, il suo volume non si modifica -> la sua densità NON varia; non viscoso: all interno della massa di fluido in movimento non sono presenti attriti il fluido ideale è un sistema meccanicamente conservativo. 6

7 Studio dei Fluidi in Movimento (Idrodinamica) E conveniente studiare il comportamento di una grandezza fisica (es: velocità del fluido) al variare del TEMPO, IN CIASCUN PUNTO, piuttosto che studiare il moto di ogni singola particella che compone il fluido. Le grandezze fisiche solitamente utilizzate in idrodinamica sono: -) pressione p -) densità -) velocità v. Studio quanto vale la velocità del fluido nel punto Q al variare del tempo. Q 7

8 Studio dei Fluidi in Movimento (Idrodinamica) Si consideri un fluido ideale in moto stazionario. Q moto STAZIONARIO: la velocità del fluido in un dato punto è un vettore costante nel tempo Parliamo quindi di campo IDRODINAMICO STAZIONARIO se: pressione p = p(x,y,z) densità x,y,z) velocità v = v(x,y,z) Non dipendono dalla VARIABILE TEMPO ma sono solo funzione della posizione occupata dal fluido 8

9 Tubo di flusso

10 Moto di un fluido ideale in regime stazionario Per un fluido in moto stazionario La massa di fluido che attraversa in un dato intervallo di tempo una sezione del condotto deve essere eguale a quella che passa nello stesso intervallo di tempo per ogni altra sezione (non può esserci creazione, accumulazione o perdita di materia in qualsiasi regione del tubo) cioè: m1 = m 2 10

11 L equazione di continuità m1=m2 V1= V2 A1 l1= A2 l2 (fluido ideale, quindi incomprimibile) A1 l1= A2 l2 A1v1 t= A2v2 t A1v1= A2v2 N.B. EQU. di continuità un fluido può entrare o uscire unicamente attraverso le sezioni del condotto (reale o tubo di flusso)

12 Una manifestazione dell equazione di continuità Equazione di continuità: la velocità di un fluido ideale in regime stazionario aumenta al diminuire della sezione del condotto (sia esso un condotto reale o un tubo di flusso). A1v1= A2v2 1 con v1< v2 perché l acqua è in caduta libera A1> A

13 Il Teorema di Bernoulli Studia il comportamento di un fluido ideale in moto stazionario in un condotto 13

14 Il Teorema di Bernoulli y Teorema dell Energia Cinetica: L= EK Calcoliamo inizialmente la variazione di Energia cinetica del liquido quando passa dalla quota y1 alla quota y2 EK = m(v22 v12 A1 l1(v22 v12 14

15 Il Teorema di Bernoulli y L= EK= A1 l1(v22 v12 Chi compie lavoro sulla massa di fluido? a) La forza gravitazionale b) Le forze di pressione L = Lg+Lp Il lavoro della forza gravitazionale Lg è < 0! Lg=-mg(y2- y1)= - A1 l1 (y2- y1)g 15

16 Il Teorema di Bernoulli y Calcoliamo il lavoro delle forze di pressione: Lp= L1+ L2 F1 F2 L1= F1 l1= p1a1 l1 L2= -F2 l2= -p2a2 l2 16

17 Il Teorema di Bernoulli y Torniamo a L= EK Lg+ L1+ L2= EK F1 F2 - A1 l1 (y2- y1)g+ p1a1 l1 -p2a2 l2= A1 l1(v22 v12 17

18 Il Teorema di Bernoulli Lg+ L1+ L2= EK - A1 l1 (y2- y1)g+ p1a1 l1 -p2a2 l2= A1 l1(v22 v12 - y2g+ y1g+ p1-p2= v22/2 v12 y1g+ p1+ v12/2 = y2g+ p2 v22 p + v2/2 + yg = costante Per un fluido incomprimibile e non viscoso, è costante, in ogni sezione del condotto, la somma della: pressione dinamica, della pressione cinetica e della pressione di gravità 18

19 Applicazioni biologiche Applichiamo l equazione di Bernoulli al sangue che fluisce all interno di una arteria, qualora il suo spessore non sia costante Il sangue, molto viscoso, non è un fluido ideale, dunque facciamo una trattazione qualitativa Analizziamo due frequenti modificazioni dello spessore dell arteria, in qualche suo punto: - Dilatazione dell arteria (aneurisma) - Restringimento dell arteria (stenosi) Si tratta di fenomeni irreversibili che tendono a cronicizzare: l aneurisma tende ad espandersi e la stenosi a restringersi. 19

20 Aneurisma p1 A1 v1 p2 v2 Sezione A1 > sezione A2 A2 Dalla equazione di continuità: Dal teorema di Bernoulli (y1 = y2) : A1v1= A2v2 v1< v2 p1+ v12/2 = p2 v22 p1> p2 Ovvero, dove l arteria è più dilatata, la pressione del sangue è maggiore, e tende ad espanderla ancora di più, forzando sulle pareti e peggiorando la situazione 20

21 Stenosi p1 A1 A2 v1 Dalla equazione di continuità: Dal teorema di Bernoulli (y1 = y2) : p2 Sezione A1 < sezione A2 v2 A1v1= A2v2 v1> v2 p1+ v12/2 = p2 v22 p1< p2 Ovvero, dove l arteria è più stretta, la pressione del sangue è minore, portando ad un ulteriore restringimento e a bloccare il flusso di sangue in corrispondenza dell occlusione 21

22 Sistema circolatorio (fluido non ideale diminuzione di p) A: energia dissipata per attrito per unità di volume

23 Sistema circolatorio 23

24 Sistema circolatorio: velocità del sangue 24

25 Sistema circolatorio: velocità del sangue 25

26 Ancora sull idrostatica: utili concetti multi-disciplinari Consideriamo una lamina liquida di spessore trascurabile trattenuta da un telaio orizzontale avente tre lati fissi e uno mobile. Tra le molecole del fluido si esercitano forze di mutua interazione. Per una molecola (A) circondata dal fluido su tutti i lati, tali forze attrattive si bilanciano e la risultante è nulla. Una molecola (B) sulla superficie del fluido, invece, è vicina solo da un lato ad altre molecole di fluido, dunque subisce una forza netta verso l interno del fluido. Questa forza tangenziale alla lamina tende a spostare il lato mobile del telaio in modo da rendere minima la superficie della lamina. La forza agente per unità di lunghezza del contorno del telaio, tangenzialmente alla superficie è detta tensione superficiale ed è legata a proprietà intrinseche del liquido ed alla sua purezza. 26

27 Ancora sull idrostatica: utili concetti multi-disciplinari Immergendo un tubo capillare in un recipiente che contiene un liquido, in generale il liquido nel capillare raggiunge un livello superiore rispetto a quello che ha nel recipiente (H 2O) Si parla di fenomeno di INNALZAMENTO CAPILLARE In alcuni casi (es. Hg) si ha un abbassamento. La superficie libera del liquido è orizzontale SOLO nei punti lontani dalle pareti del recipiente. Si hanno forze di coesione (tra le molecole del liquido) e forze di adesione (tra molecole della parete e molecole del fluido). Le forze di adesione liquido-gas Fa,a sono trascurabili 27

28 Ancora sull idrostatica: utili concetti multi-disciplinari Le forze di coesione tendono a fare incurvare il liquido verso l interno, quelle di adesione a farlo incurvare verso l esterno 1) Fa > Fc 2) Fa < Fc Il liquido «bagna» la parete. Il liquido «non bagna» la parete. Es: acqua-vetro Es: mercurio-vetro 28

29 Ancora sull idrostatica: utili concetti multi-disciplinari 1) Fa > Fc Il liquido «bagna» la parete. Es: acqua-vetro Legge di Jurin: Per un dato liquido, l innalzamento capillare è inversamente proporzionale al raggio del tubo capillare.

30 Una applicazione del Teorema di Bernoulli Calcolare v1 (problema svolto in esercitazioni) 30

31 esercizi Dell acqua ad una pressione di 3 atm a livello della strada fluisce all interno di un palazzo ad una velocità di 0.5 m/s tramite un tubo di diametro 4 cm. Il diametro del tubo diventa 2.6 cm all ultimo piano, 5 m sopra il livello della strada. Supponendo che l acqua sia un fluido ideale, calcolarne velocità e pressione nel tubo all ultimo piano.

32 esercizi [Marzo 2012] Un oggetto di ambra (d=1100 kg/m3), avente forma cubica di lato 52.5 cm, è completamente immerso in acqua. L oggetto ha al suo interno una cavità cubica vuota e perfettamente centrata. Determinare il lato della cavità cubica.

33 esercizi [marzo 2013] Una nave cacciatorpediniere della marina militare durante un esercitazione rilascia in mare una bomba di profondità. La bomba ha forma cilindrica con area di base S = 6.5 m2 ed altezza h = 2 m e densità ρ = 2500 Kg/m3. Se la densità dell acqua marina è ρm = 1300 Kg/m3 e la bomba si muove verso il fondo marino con accelerazione costante determinare l accelerazione del corpo. Se la bomba è tarata per esplodere quando la pressione esterna è maggiore di Po = Pa, cosa succederà a 50 m di profondità?

34 esercizi Una persona di massa 78 kg sale su una lastra di ghiaccio che galleggia sopra l acqua libera di un lago. Si calcoli la massa minima di ghiaccio necessaria affinchè la persona non si bagni, sapendo che GH r H 2O [922 kg]

35 esercizi Tre bambini di 37 kg, 40 kg e 35 kg vogliono costruire una zattera per gioco. Hanno a disposizione tronchi di diametro 32 cm, lunghezza 1.75 m e densità 755 kg/m3. Di quanti tronchi avranno bisogno per fabbricare la zattera? Se volessero costruirla in modo da portare dei giochi ad un amico per un totale di altri 50 kg, di quanti altri tronchi avrebbero bisogno? [4,5]

36 esercizi Un blocco di legno ha massa di 3.67 kg e densità di 594 kg/m3. Lo si vuole caricare con del piombo in modo che galleggi in acqua con l 88.3% del suo volume immerso. Qual è la massa di piombo necessaria per: - porre il piombo sopra il legno - attaccarlo sotto il legno La densità del piombo è 1.14 * 104 kg/m3. [1.78 kg, 1.95 kg]