Lezione 24 IL TEOREMA DI BERNOULLI

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1 unti dei corsi di Idraulica e Idrodinamica Lezione 4 IL TEOREM DI ERNOULLI Nella LEZIONE 3 abbiamo dedotto il teorema di ernoulli er le correnti fluide, artendo dall equazione del moto valida in tali circostanze. Il carico totale d vv z + + γ g è definito anche in un moto tridimensionale e raresenta comunque l energia meccanica osseduta dal fluido er unità di eso. Partendo dalle equazioni tridimensionali che esrimono il rinciio della quantità di moto er un fluido stokesiano (equazioni di Navier Stokes) è ossibile dimostrare il teorema di ernoulli nel caso generale. Non siamo in grado di effettuare tale dimostrazione nell ambito di questo corso, erché ciò resuone lo studio del moto tridimensionale dei fluidi che verrà effettuato nei corsi della laurea secialistica. Tuttavia, vista la sua imortanza, considerato che il teorema di ernoulli nella forma generale resenta stretta analogia con quello valido er le correnti e tenendo resente che la soluzione di alcuni roblemi che affronteremo nella LEZIONE 5 richiede la sua conoscenza, enuncieremo qui il teorema di ernoulli nella forma generale elencando le iotesi che devono essere verificate er la sua validità. Iotesi: ) Fluido ideale Per fluido ideale si intende un fluido rivo di viscosità, tale quindi che la tensione da esso esercitata sia semre normale alla suerficie considerata t n In natura non esiste un fluido ideale, in quanto tutti i fluidi hanno una viscosità dinamica µ diversa da zero e esercitano anche tensioni tangenti alla suerficie considerata. - -

2 LEZIONE 4 Il teorema di ernoulli (Novembre 7) Tuttavia in moti accelerati, caratterizzati da alti valori del numero di Reynolds e con contorni rigidi limitati, il comortamento dei fluidi reali uò essere assimilato a quello dei fluidi ideali. ) Moto stazionario Sesso nei roblemi si analizzano le situazioni di regime quando tutte le grandezze caratterizzanti il moto sono indiendenti dal temo. 3) amo di forze conservativo (NOT ) Sesso nei roblemi ingegneristici, il camo di forze che deve essere considerato è quello gravitazionale che è un articolare camo di forze conservativo tale che essendo z un asse verticale diretto verso l alto. 4) Fluido barotroico ϕ gz Un fluido si dice barotroico quando la densità ρ risulta funzione solo della ressione. Dovrebbe essere evidente che un fluido a densità costante è in articolare fluido barotroico. Quando le quattro iotesi sora elencate sono verificate il carico totale ϕ d v v + + g γ g si mantiene costante lungo una linea di corrente. Ricordiamo che le linee di corrente sono definite dalla rorietà di essere tangenti (quindi arallele) al vettore velocità in ogni unto. La loro equazione in forma differenziale è dunque essendo d x v d x l elemento infinitesimo della linea di corrente (vedi LEZIONE 3). Se il moto è stazionario le traiettorie delle articelle fluide, definite dall equazione arametrica d x coincidono con le linee di corrente. Emerge quindi che il carico totale si mantiene costante anche lungo le traiettorie. vdt NOT Ricordiamo che un camo di forze si dice conservativo quando ammette una funzione otenziale ϕ tale che f ϕ - -

3 LEZIONE 4 Il teorema di ernoulli (Novembre 7) EFFLUSSO D LUI PPLIZIONE DEL TEOREM DI ERNOULLI onsideriamo il serbatoio in figura dove, alla rofondità h, è raticato un foro circolare di sezione Ω. Suoniamo che la suerficie libera S del serbatoio sia molto maggiore di Ω in modo tale da oter assumere che le variazioni del elo libero siano lente nel temo e quindi il moto generato dall efflusso attraverso il foro sia raticamente stazionario. Il camo di forze cui è soggetto il fluido sia quello gravitazionale. Inoltre la densità del fluido sia costante. ll interno del serbatoio, lontano dal foro, il fluido è raticamente fermo e gli effetti viscosi sono trascurabili. In rossimità del foro, il moto è accelerato e ad alti numeri di Reynolds. E ossibile dunque assumere ideale il comortamento del fluido e alicare il teorema di ernoulli. onsideriamo un asse z rivolto verso l alto con origine in corrisondenza del livello del foro. Il carico totale in un qualunque unto all interno del serbatoio e lontano dal foro vale h. Invero il carico cinetico è nullo erché il fluido è raticamente fermo e il carico iezometrico risulta quindi costante. Il getto avrà una geometria simile a quella illustrata nel disegno. Il getto ha una sezione inferiore a quella del foro erché il fluido che si trova in rossimità della arete non esce con una traiettoria ortogonale alla arete stessa bensì con una che inizialmente è tangente alla arete. Le traiettorie delle articelle fluide vicine alla arete, che inizialmente si muovono arallelamente a essa, non ossono infatti resentare un unto angoloso. L area del getto, in quella che si definisce sezione contratta dove le traiettorie delle articelle fluide sono fra di loro arallele e ortogonali alla arete del serbatoio, vale - 3 -

4 LEZIONE 4 Il teorema di ernoulli (Novembre 7) ove ω Ω è il cosidetto coefficiente di contrazione che misure serimentali mostrano essere circa.6. onsiderato che le iotesi del teorema di ernoulli sono verificate, alichiamolo lungo una qualunque linea di corrente assante er un generico unto della sezione contratta. Si avrà essendo un unto all interno del serbatoio. Per i motivi discussi recedentemente da cui h indiendentemente dall esatta forma della linea di corrente e dall esatta osizione del unto. E facile vedere che Infatti il valore di la ressione relativa v g z è trascurabile risetto a h e è nulla (in un getto la ressione è costante sulla generica sezione e ari a quella atmosferica). Si ha quindi v gh h v g La velocità gh è detta velocità torricelliana. La ortata uscente dal serbatoio risulta dunque Q Ω gh Volendo valutare il temo necessario affinchè h assi dal valore h al valore h è necessario imorre un bilancio di massa. Semlici considerazioni sul volume di fluido che attraversa la sezione contratta imongono Qdt dhs - 4 -

5 LEZIONE 4 Il teorema di ernoulli (Novembre 7) essendo S l area della suerficie libera del serbatoio. Segue dhs Ω gh dt dh h Ω S g dt t h ( t t ) S ( t t ) ( h h ) h Ω S Ω g g PRESSIONE DI RISTGNO PPLIZIONE DEL TEOREM DI ERNOULLI onsideriamo un coro (ad esemio un cilindro) che si muove con velocità costante U all interno di un fluido fermo. nalizziamo il roblema utilizzando un sistema di riferimento solidale con il coro, trasformando quindi il roblema in quello di un oggetto fermo investito da un fluido che lontano dal coro è animato da una velocità costante ari a U

6 LEZIONE 4 Il teorema di ernoulli (Novembre 7) Se iotizziamo il fluido ideale, la densità costante, il moto stazionario e il camo di forze gravitazionale, saiamo (teorema di ernoulli) che z + + γ v g cost lungo una linea di corrente (l accelerazione di gravità è qui suosta diretta come l asse z ). E evidente che sul coro esisterà un unto (detto unto di ristagno) in cui la velocità è nulla. Nel caso di un cilindro il unto di ristagno è osizionato in ( R,) essendo R il raggio della sezione del cilindro. onsideriamo ora la linea di corrente che assa er il unto di ristagno (vedi figura) e un unto lontano dal coro. Per il teorema di ernoulli v v z + + z + + γ g γ g tuttavia z z e v U, v. Segue dunque ρ U La differenza di ressione è detta ressione di ristagno. Essa cresce con il quadrato della velocità U ed è roorzionale alla densità del fluido. Siccome lontano dal coro, la ressione è ari alla ressione atmosferica, la quantità ρ è semlicemente la ressione relativa nel unto. U - 6 -

7 LEZIONE 4 Il teorema di ernoulli (Novembre 7) TUO DI PITOT E evidente che nel roblema recedentemente analizzato, la misura della ressione relativa in, consente la valutazione della velocità U. Nel assato, la misura della velocità U veniva effettuata con uno strumento denominato tubo di Pitot schematicamente raresentato in figura. La velocità nel unto risulta raticamente quella indisturbata e ari quindi a U (la linea tratteggiata raresenta la linea di corrente assante er Si ha quindi, e ). ρ U Inoltre h ( γ γ ) m Segue ρ ρ U m g h ρ - 7 -