Fluido reale in movimento. Viscosità

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1 luido reale in moimento. Viscosità Ber Vis h Tubo orizzontale, sezione costante: > Douto ad attrito interno o iscoso + ρgh > + ρgh > Che succederebbe ad un liquido ideale ( non iscoso)? Teorema di Bernoulli: Ber cfr. la su. libera sueriore e l uscita del tubo + ρ gh + h BE g ρ confrontando l uscita e il unto ρ + ρ +

2 Definizione di iscosità Serimentalmente, è necessaria una forza er mantenere la lamina (di area S) a elocità costante. Se la lamina è grande (risetto alla rofondità h) si troa: y lamina di area S V h o meglio V V η S S h d dy coefficiente di iscosità o iscosità gradiente di elocità rofilo di elocità si assume come definzione di iscosità In un fluido reale in moimento ossono esseri forze tangenti alla suerficie (di taglio). Un iscosimetro di uso ratico ( cilindri coassiali rotanti): Se la searazione d fra le suerfici è iccola (d<<) d ηds d dr ω ηds d ω τ ηs d ds ω fluido d Il momento τ che si dee alicare er tenere fermo il cilindro esterno fornisce η

3 N s [ η ] m [ kg m s ] [ ML T ] m m Viscosità nel S.I. kg/ms o Pa. s altre unità: Poise (Pgcm - s - ): Pa s Poise η costante (non di. da d/dy) solo er fluidi newtoniani η uò diendere da d/dy (ad es. fluidi tissotroici). η ( -3 Pas) s o s t a n z a η ( C ) P a s A c q u a E t a n o l o E t e r e o l i o m o t o r e. 8 G l i c e r i n a. 4 8 a r i a iscosità dell acqua T ( C) η ( -5 Pas) Diendenza della iscosità dalla temeratura nei gas e nei liquidi. iscosità dell aria T (K)

4 Profilo di elocità in un tubo cilindrico con flusso laminare. Nel flusso laminare si ha stratificazione delle elocità. In generale si uò assumere che il fluido a contatto con la arete abbia elocità nulla. Per condotti abbastanza iccoli con flusso laminare il rofilo di elocità ha una forma araboloide ra gli strati (guaine cilindriche) a diersa elocità agiscono forze iscose. Ad es. lo strato scuro è rallentato dallo strato adiacente esterno, iù lento, e accelerato dallo strato interno iù eloce.

5 Tubo cilindrico in regime laminare. Legge di Poiseuille Si consideri un condotto orizzontale, di raggio e lunghezza l Tubo di flusso di raggio r<, in condizioni stazionarie + r TOT r r P V S S r V orze di ressione P l ( πr S S ) orza iscosa V d d ηs LAT η πrl dr dr r r P + V d dr ηl (il segno è incluso nella deriata) r con ( ) strato a contatto con la arete

6 Tubo cilindrico in regime laminare. Legge di Poiseuille d dr ηl r è un equazione differenziale, con la condizione al contorno ( ) soluzione: ( r) r 4η l ( ) Profilo di elocità araboloide Quanto ale la ortata? Q ( r ) ds ( r ) rdr π da cui Legge di Poiseuille Q π 8 η l 4 Se si definisce una «resistenza idraulica» Q quella del tubicino è 8ηl 4 π

7 Laoro di una oma. Liquido ideale L NC E Mf E Mi laoro della oma ed eentuali forze iscose er una massa dm: dl dmgh + dm dv ρgh + ρ P dl dt Q ρ + gh ρ u ai cai della oma i ρ gh + ρ i ρ gh ρ h h P Q u + ρgh

8 Potenza dissiata in un condotto. Per mantenere un flusso costante in un condotto orizzontale si dea alicare una differenza di ressione S V S Le forze iscose comiono laoro resistente sull elemento di fluido, comensato dal laoro motore delle forze di ressione In un temo dt, sostamento dxdt, il laoro delle forze di ressione ale: dl Sdx Sdx ( ) Sdt Qdt Se il flusso è stazionario l energia meccanica del fluido nel condotto (cinetica + ot. graitazionale) non cambia. Il laoro delle forze di ressione è oosto a quello delle forze iscose. In modulo, la otenza dissiata è: P Q Q Il laoro delle forze di attrito iscoso aumenta l energia interna del fluido + condotto

9 Potenza dissiata in un condotto. esistenza idraulica Si definisce resistenza idraulica di un condotto la grandezza, definita come Q Pa s m [ ] 3 doe è la differenza di ressione che mantiene una ortata olumica Q. Per mantenere un flusso costante in un condotto chiuso sere una oma. La otenza erogata dalla oma è: P V Q Q

10 Condizione er il flusso laminare La legge di Poiseuille è alida in regime laminare, ma come saiamo se il flusso è laminare? Il arametro imortante è il densità del fluido Numero di eynolds: ρ d η Dimensione caratteristica (del condotto, del coro in moimento... ) iscosità del fluido Per un tubo cilindrico assumendo dr ρ r η : elocità media del fluido, definita da QS Serimentalmente, er un tubo cilindrico lungo: 3 3 regime laminare regime di transizione regime turbolento Conenzionalmente, assumeremo il alore critico ( C 4) diende anche da rugosità, lunghezza... Nota: il alore critico diende dalla forma del condotto o, nel caso di moto di un coro nel fluido, dalla forma del coro.

11 Moto in un fludio reale in moto. esistenza del mezzo. Per basse elocità ( < C ) egime laminare Per una sfera la forza iscosa ale: V 6πη er forme dierse si uò scriere: V kηl Legge di Stokes doe l è una dimensione caratteristica del coro e k un costante numerica dell ordine delle unità. Per alte elocità ( > C ) Conenzionalmente la resistenza del mezzo si scrie: scia cs ρ egime turbolento densità del fluido Per una sfera ad alta elocità ( >> C ) c.4.5 Per una sfera in moto in un fluido si uò assumere C

12 C Non è così semlice. In realtà CC(), o meglio CC() Coefficiente di enetrazione di una sfera in un fluido. Il alore C~.5 er una sfera ale er 3 < <. 5 Valori tiici di c ed S er un automobile sono riortati nella tabella a destra:

13 Moto in un fluido iscoso. Sedimentazione 6πη V L ρgv A Coro in caduta in un fluido. V aumenta con la elocità: esiste una elocità limite (o di sedimentazione) mg ρgv mg A ( ρ ρ )gv Ad una certa elocità la forza totale è nulla e la elocità diiene costante. V L L andamento lineare di V in figura ale er iccole elocità (regime laminare) La condizione di elocità limite, er una sfera in regime laminare: 6 πη + ρ gv ρgv L L L 9 ( ρ ρ ) g η t elocità in funzione del temo

14 Moto in un fluido iscoso. Sedimentazione La elocità di sedimentazione diende dalla densità, dimensioni e forma.del coro. Ciò ermette di searare cori in sosensione di densità, dimensioni o forme dierse. Per cori di iccole dimensioni i temi ossono essere molto lunghi. Esemio. Sferetta di raggio 5,µm, densità. g/cm 3, in acqua (.g/cm 3, η. Pas). La elocità di sedimentazione è.. -6 m/s. Il temo di decantazione con hcm è ~ 5.5h Per ridurre i temi di sedimentazione si ricorre alla centrifugazione. ω dm ω r d dm ω r In tal caso: con g ω Se d cm, basta f5hz er aere g ~g. Ultracentrifughe 3 Hz. Se fhz ( rotaz/minuto): L.44 m/s. La sedimentazione su una distanza di cm aiene in circa 3 s d L ( ρ ρ ) g 9 η (urché ω d >> g)

15 Velocità limite di una goccia di ioggia. Secondo la legge di Stokes (<) L ( ρ ρ ) gv kηl ρ gr 9 η Per gocce grandi non ale la legge di Stokes r (µm) (m/s) e,e-4,6e-5 4,8E-4,3E-4,E-,6E- 4,8E-,3E-,E+,6E+ >. Velocità limite delle gocce di ioggia. Dati er <<. 8 A questi diametri le gocce si deformano la cura riflette il fatto che CC() nell interallo considerato. (m/s) r (mm)

16 Immagini di una temesta di sabbia ista da statellite. circa kg l anno dal Sahara

17 ... e non solo olere! Andamento eidemico della Sindrome di Kawasaki X. odò et al. Scientific eorts,

18 Similitudine meccanica A causa della comlessità del moto dei fluidi le roe con modelli (ad es. in galleria del ento) sono sesso ancora l unico modo er studiare le forze agenti su una struttura (Ad es. automobili, aerei, ma anche edifici, onti...) Come si scalano le forze misurate sul modello alla struttura reale? c ( ) S ρ m c m ( ) S ρ m m m Poiché il coefficiente C diende da in modo comlesso, la condizione iù imortante è che le roe su modello si facciano con lo stesso numero di eynolds. ρd η ρ mmd η m m

19 Similitudine meccanica Condizione er la riroducibilità (in scala) delle forze agenti su un coro in moto in un fluido è che abbia lo stesso numero di eynolds. Simulazione del olo degli insetti (Le Scienze 394,,.64) ala di moscerino d f.5 mm in aria Hz ρ d ρ f d costante η η ala del simulatore η ρ Olio Olio d f η ρ in olio 5cm Per un essere molto iccolo è come se il mezzo fosse molto iù iscoso (raortato alle nostre dimensioni). Se d ρ d ρ d η η υ η ρ iscosità cinematica.. Aria Aria Hz d.m m/s ρ.kg/m 3 η.85 5 Pas 7 aereo d 3 m m/s ρ.kg/m 3 η.85 5 Pas 3 insetto egimi molto diersi. Le forze non si ossono scalare.

20 Moto in fluidi reali. Un caso molto comlesso. Il olo della testa di morto. (Nature, 996) Il olo di un insetto non si uò comrendere senza considerare il moto orticoso, che è estremamente difficile da trattare. Gli esemi citati mostrano che il roblema è attuale. t/t.5 t/t.44 t/t.74 t/t.99 Calabrone soseso a mezz aria (Physical eiew Letters, ). Un calcolo D.