Lezione 10. Idrodinamica di un liquido ideale

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1 Lezione 0 Iroinamica i un liquio ieale

2 Fluioinamica La fluioinamica stuia il moto i un fluio, per esempio all interno i un conotto. Il parametro principale el moto el fluio a eterminare è la elocità el fluio in ogni punto P(x,y,z) el conotto, in funzione ella pressione esercitata sugli elementi i fluio. Per escriere il moto el fluio ci si pone in un punto P(x,y,z) el conotto e se cerca i eterminare la elocità (x,y,z,t) egli elementi i fluio che passano nel punto P (escrizione Euleriana el moto) Regime stazionario Se la elocità egli elementi fluii, pur ariano a punto a punto el conotto, rimane costante in funzione el tempo i ogni punto ossia (x,y,z) il moto el fluio si ice in regime stazionario. Linee i flusso (o i corrente) Le linee che in ogni punto ello spazio hanno la irezione ella elocità el fluio si icono linee i flusso. In un moto fluio in regime stazionario, ato che la mappa elle elocita non cambia col tempo le linee i flusso hanno una configurazione costante

3 Equazione i continuità Equazione i continuita (conserazione ella massa) La massa i fluio che passa nel tempo t nella sezione S i un conotto (o tubo i flusso) è m ρ S t ato che non ci sono perite nelle pareti el tubo n e sorgenti nel tubo stesso, la stessa massa ee fluire in ogni altra sezione el tubo ossia S ρ S ρ S Ossia la quantità ρ S cost Se inoltre il fluio e incompressibile ρ ρ quini S S ossia S cost La elocità i un fluio incompressibile in un conotto e inersamente proporzionale alla sezione el conotto Portata i un conotto Q S (m 3 /s) S

4 Esempio Esempio costante A A 4 π S ) /A (A Dell acqua scorre in un tubo i 0 cm i iametro con elocità m/s. Alla fine el tubo l ugello uscita ha un iametro i cm. Qual e il moulo ella elocita ell acqua in uscita? 5m/s (.00m/s)(0.00cm/.00cm) 4 π 4 π Domana : Che iametro ee aere l ugello per aere elocita i uscita 30 m/s?

5 Esempio Il getto acqua che cae a un rubinetto si restringe perchè caeno sua elocità aumenta ( 0 + gh) ma la portata ee restare costante: A A 0 0 Dalla misura elle sezioni A e A 0 e ella istanza h si può ottenere la elocità: 0 gha A A 0

6 Effetti egli attriti sul moto i un fluio fluii reali manifestano un attrito interno, chiamato iscosità. Essenzialmente si tratta una forza attrito tra strati aiacenti i fluio, che si muoono l uno sull altro a elocità ierse. In regime i flusso laminare strati aiacenti i fluio scorrono a elocità ierse e, in generale in un conotto, Il fluio è in quiete icino alle pareti e ha elocità massima al centro el conotto (tubo o ena). Si troa sperimentalmente che il moulo ella forza i attrito interno si può esprimere come : ifferenza i elocità tra i ue strati h: separazione fra gli strati S: superficie i contatto η: coefficiente i iscosità ( ipene al fluio e alla temperatura) [η] [kg/ms] F ηs h Unità : poise 0. kg/ms

7 Fluio ieale Le forze i attrito iscoso crescono con la elocità el fluio e a partire a certi alori proocano moti fluii in irezioni ierse a quella principale (moti orticosi), che hanno una inamica molto più complessa el semplice scorrimento laminare e per le quali le leggi el regime laminare non algono. Nello stuio ella inamica ei fluii e pertanto necessario istinguere tra regime laminare a elocità moerate e regime turbolento,. Lo stuio el moto fluio in un conotto puo essere molto semplificato se si fa l ipotesi che il fluio sia ieale efinito alle conizioni: ρ costante fluio incompressibile η 0 fluio non iscoso che sono soisfatte a un liquio che scorre in un conotto a bassa elocità L ipotesi i incompressibilità ha come conseguenza. che la portata el conotto e costante. Che le forze tra elementi i fluio sono nulle e pertanto le elocita el fluio e costante su tutta la sezione el conotto Velocita in un fluio ieale Regime turbolento Regime laminare

8 Equazione i Bernoulli per un fluio ieale L equazione i Bernoulli esprime la legge i conserazione ell energia totale i un fluio ieale che si muoe in un conotto: Le forze esterne applicate al fluio contenuto nella sezione i tubo sono le forze oute alla pressioni p e p applicate agli estremi el conotto: F p A e F p A Il laoro meccanico fatto queste forze nello spostare un olume V i fluio e La forza peso: W p A l p A l P mg l laoro fatto alla forza peso nello spostare il olume i liquio tra i lielli y e y e W g -mg(y y ) Il laoro totale fatto alle forze esterne sul fluio e W t p A l p A l mg (y y )

9 Equazione i Bernoulli per un fluio ieale Ma per il principio i conserazione ell energia W t / m - / m Pertanto / (m -m ) p A l p A l mg (y y ) e m ρ A l ρ A l Sostitueno e orinano: / (ρ A l - ρ A l ) p A l p A l - (ρ g A l y ρ g A l y ) p A l + ρ g A l y +/ ρ A l p A l + ρ g A l y +/ ρ A l Dato che il liquio e incompressibile A l A l, quini p + ρ g y +/ ρ p + ρ g y +/ ρ p + ρ g y +/ ρ cost