Soluzione dell esonero del 23/04/2013. Problema n. 1

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1 Soluzione ell esonero el 3/4/3 Problema n. a) Affinché il corpo scioli con elocità costante luno il piano inclinato, occorre che la proiezione luno il piano inclinato ella forza risultante aente sul corpo sia nulla. Le forze che hanno componenti non nulle parallele al piano inclinato sono la forza peso e la forza i attrito inamico. Consierano un asse cartesiano iretto luno il piano inclinato, con erso positio iscenente, otteniamo pertanto (esseno N cos ) : e quini m sen m cos,577 b) Nella situazione escritta in questo punto el problema, le forze che compiono laoro sono la forza elastica ella molla e la forza peso (la reazione normale el piano inclinato non compie laoro perché a oni istante è iretta perpenicolarmente alla elocità el corpo). Dato che sia la forza elastica sia la forza peso sono conseratie, l eneria meccanica totale el corpo si consera. Dunque, se l istante iniziale è quello in cui il corpo è ancora fermo e in contatto con la molla compressa i un tratto, e se l istante finale è quello in cui il corpo ha raiunto (risaleno il piano inclinato) la sua quota massima al i sopra el piano orizzontale (posizione in cui il corpo è istantaneamente fermo), risulterà: E m, f Em, i per cui possiamo scriere a cui infine otteniamo m h k k m,65m 6,5 cm Osseriamo che risulta,5 cm, alore maiore i sen 7,5 cm, il che sinifica che la molla, nel caso consierato, si è ecompressa fino a raiunere la posizione i equilibrio, e quini il calcolo solto è corretto. c) Se è presente la forza i attrito inamico tra il corpo e il piano inclinato, l eneria meccanica totale non si consera. Possiamo tuttaia applicare il teorema ell eneria cinetica tra l istante iniziale (quello in cui si ha la stessa situazione iniziale ella omana preceente) e l istante finale (quello in cui il corpo raiune la quota massima rispetto al piano orizzontale, posizione in cui il corpo è istantaneamente fermo). L eneria cinetica el corpo è nulla sia nell istante iniziale sia nell istante finale. Il laoro solto alle forze aenti sul corpo allorché questo si sposta alla posizione iniziale alla posizione finale è ato, oiamente, alla somma alebrica el laoro ella forza peso, el laoro ella forza

2 elastica e el laoro ella forza i attrito inamica. Supponiamo che la molla riesca a tornare nella sua posizione i equilibrio urante il moto el corpo. In tal caso risulta W p h, Wel k, e Watt m L cos oe L è la istanza percorsa al corpo luno il piano inclinato allorché si sposta alla posizione iniziale alla posizione finale. isulta, a oie consierazioni eometriche: L h/ sen Dunque, al teorema ell eneria cinetica otteniamo: a cui e infine k h h m m h k k,7 m,7 cm m A questo punto, occorre erificare che l'ipotesi sull'allunamento ella molla sia compatibile con il risultato ottenuto... allo scopo, obbiamo erificare che ala la relazione sen. Ma 5,7 cm, mentre sen 7,5 cm!!! Ciò sinifica che il corpo, in presenza ell'attrito inamico, si fermerà prima che la molla abbia auto la possibilità i tornare alla posizione i equilibrio, e unque il calcolo eseuito in preceenza è... sbaliato!!!!!! Occorre pertanto ripetere il calcolo teneno conto el fatto che nel caso consierato la molla, nella posizione finale, risulta compressa i un tratto h/sen. In consierazione i ciò, applicano il teorema ell'eneria cinetica otteniamo allora: k k sen h m h enuto conto che, il risultato finale corretto è, opo alcuni semplici passai: sen k sen cos,9 cm

3 Problema n. a) La lee oraria per un rae in moto erso l alto, che parte alla quota iniziale m con elocità iniziale e raiune la quota massima h all istante t, è la seuente h t t La elocità aria nel tempo secono la lee t t Il corpo raiune la quota massima, urante il moto erticale, nell istante in cui la sua elocità istantanea si annulla; questo aiene all istante t, per cui otteniamo la relazione h a cui ricaiamo h, e infine h 9,8m/s N.B.: a questa omana si potea risponere anche sfruttano la conserazione ell'eneria meccanica totale. b) L interallo i tempo necessario affinché un corpo lanciato a terra torni a terra è uuale al oppio el tempo necessario affinché il corpo raiuna la quota massima. Allora risulta h t 4,4s c) Consierano il moto uniformemente accelerato erso il basso, possiamo scriere la lee oraria nel moo seuente tenuto conto che la istanza h è percorsa in un interallo i tempo : h Possiamo riscriere l equazione nel moo seuente: e la soluzione accettabile è h h,9s

4 Problema n. 3 a) In assenza i attrito inamico tra il corpo e la superficie interna ella uia, l'unica forza che compie laoro sul corpo è la forza peso (come sempre, la reazione normale ella uia è a oni istante iretta perpenicolarmente al ettore elocità istantanea el corpo, per cui la reazione normale ella uia non compie laoro sul corpo). Poiché la forza peso è conseratia, l'eneria meccanica totale el corpo si consera urante il moto. Preso come istante iniziale t quello in cui il corpo si troa nel punto più basso ella uia, e come istante finale t quello in cui corpo si troa nel punto più alto (che è iametralmente opposto al punto più basso), e presa come quota zero ell'eneria potenziale quella el punto più basso, possiamo scriere l'equazione seuente: Em, Em, e quini: a cui ricaiamo m m 4,3 ms b) Il corpo non è aanciato alla uia e quini, finché il corpo rimane a contatto con la uia sul lato interno, questa non può che esercitare una forza i reazione iretta raialmente erso il centro ella circonferenza. Verifichiamo questo con il calcolo iretto: quano il corpo si troa nel punto più alto, consieriamo un asse cartesiano iretto luno il raio, con erso positio erso il centro ella circonferenza. Allora per la secona lee ella inamica, se inichiamo con a C, l'accelerazione centripeta el corpo nel punto più alto ella uia e con la reazione normale ella uia in tale punto, possiamo scriere la seuente equazione per le componenti ei ettori luno l'asse : e quini m ac,,, a m m 4 m 5 5,75 N, m C,, Questo alore è positio, e quini il calcolo conferma che la reazione normale ella uia nel suo punto più eleato è iretta erso il centro ella circonferenza. c) Affinché il corpo possa essere a contatto con la uia nel punto più alto, ee risultare necessariamente N. Dalla relazione ottenuta nella risposta alla omana, preceente, questa conizione equiale alla seuente:

5 5 ms a cui otteniamo 5 Dunque, la elocità minima che il corpo ee aere nel punto più basso ella uia affinché possa restare in contatto con la uia nel punto più alto è: 5 5,66 ms min