L unità di misura del lavoro è il Joule [L]=[F][ r]=n m=kg m 2 /s 2 Se lo spostamento non è rettilineo e/o la forza non è costante lungo il moto, si

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1 Laoro di una forza Il laoro di una forza è definito come il prodotto scalare della forza F per lo spostamento r. Il laoro è una grandezza scalare Se lo spostamento è perpendicolare alla forza il laoro è nullo Se il laoro è negatio, si dice che il laoro è fatto contro la forza L F r F r cosθ

2 . L unità di misura del laoro è il Joule [L][F][ r]n mkg m /s Se lo spostamento non è rettilineo e/o la forza non è costante lungo il moto, si può laorare in termini di infinitesimi (in questo caso lo spostamento può essere considerato rettilineo e la forza costante) e calcolare il laoro tramite un integrale: L B F dr A

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4 Forze conseratie e forze non conseratie L B F ds A A 3 B se L L L 3 forza non conseratia se L L L 3 forza conseratia se le forze sono conseratie il laoro lungo un percorso chiuso è nullo L AA L + (-L ) 0

5 Energia Potenziale U x, y, z ( ) L AB ( xa, ya, za) U ( xb, yb zb ) U A UB U, U U B U A L AB [U] [ML T - ] J (S.I) erg (C.G.S) U(x,y,z) è definita a meno di una costante additia A C B L AB U A U B se U B 0 L AB U A B posizione di riferimento Se prendiamo C come posizione di riferimento L AB L AC + L CB U A U C + U C U B U A U B L AC U A U C L CB U C U B L energia potenziale in un punto è il laoro solto dalle forze del campo per spostare il corpo da quel punto alla posizione di riferimento.

6 L L L esempio: il campo graitazionale è conseratio AB AC CB U L AB P h mgh LAC + LCB P d mg senα d mgh 0 mgh L AB mgh O A h y B P mg c a d b α C energia potenziale graitazionale U L mgdy mg y B A

7 esempio: il campo douto all azione di una forza elastica è conseratio F kx L k ( ) x i x f se x i x f (ciclo) L 0 F el è conseratia U L k( x f x i ) se x i 0 U ( x ) kx energia potenziale elastica l energia è la capacità di compiere un laoro

8 L Energia Cinetica Supponiamo di aere un corpo di massa m che si muoe con elocità ; applichiamo a questo corpo una forza L m F dr d dp dt m dr dp m Si definisce Energia Cinetica K½m del Corpo quella quantità, che dipende solo dalla massa del corpo e dalla sua elocità, associata allo stato di moto del corpo. Se la elocità aumenta, aumenta anche la sua energia cinetica. Per un corpo fermo l energia cinetica è nulla dr dt m dp K m K d

9 Principio di conserazione dell energia meccanica ipotesi: campo conseratio, sistema isolato U U U L f i K m m L i f E U K U K U K K K U U f f i i i f f i E energia meccanica totale in un sistema isolato in cui agiscano solo forze conseratie l energia meccanica totale si consera

10 esempio: moto di un grae m i + mgyi m f + esempio: sistema massa molla mgy f se U(y i ) 0 e f 0 y m f i i g mgy f m i + kxi m f + kx f se U(x i ) 0 e f 0 x m f i m k i kx f

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12 Il laoro della forza elastica Consideriamo una forza elastica agente in una dimensione. F - k x Allora L xi xf k x dx Si ottiene: L ½k x f + ½k x i Il laoro dipende solo dalle posizioni iniziali e finali del punto materiale. E positio se la posizione iniziale è maggiore di quella finale e negatio se la posizione finale è maggiore di quella iniziale.

13 Il laoro della forza di attrito Consideriamo il caso dell azione della forza di attrito dinamica su un corpo in moto. La forza è sempre opposta allo spostamento. Il laoro è dato da: L si sf μ d N ds Se la componente normale della reazione incolare è costante si ottiene: L μ d N si sf ds μ d N Δs Il laoro è sempre laoro resistente e dipende dalla traiettoria effettia del punto materiale. A parità di μ d ed N il laoro dipende dal percorso e non è esprimibile come differenza dei alori di una funzione nei due punti di partenza ed arrio.

14 Cambiamenti di riferimento Se il moto è osserato da due sistemi di riferimento inerziale diersi, lo spostamento e dunque il laoro è dierso. Il laoro dipende dal riferimento in cui è misurato. Se abbiamo che: s oo + s e + 0 Allora nei due riferimenti: L F ds L F ds Ma osseriamo che per nei due riferimenti ale il teorema dell energia cinetica : L F ds ½m f -½m i e L F ds ½m f -½m i E la legge fisica ad essere inariante per cambiamenti di sistemi di riferimenti inerziali, non i alori delle singole grandezze.

15 Laoro ed energia. Forze conseratie. Energia potenziale 3. Conserazione dell energia meccanica 4. Conserazione dell energia nel moto del pendolo 5. Esempio: energia potenziale graitazionale 6. Esempio: energia potenziale elastica 8. Laoro delle forze non conseratie 9. Potenza

16 Forze Conseratie Le forze per le quali il laoro eseguito non dipende dal percorso sono chiamate forze conseratie. Per il calcolo del laoro eseguito possiamo utilizzare qualsiasi percorso colleghi il punto iniziale a con quello finale b. L a b (F ds) a b (F ds) a b F ds Il laoro è esprimibile come differenza dei alori di una funzione nei punti finale ed iniziale della traiettoria. Nel caso in cui si inertano il punto iniziale e finale, oero si inerte la direzione di percorrenza della traiettoria, cambia solo il segno del laoro eseguito. Un qualunque percorso chiuso può essere pensato come la somma di un percorso di andata tra due punti qualunque della traiettoria ed un percorso di ritorno tra gli stessi punti.

17 Forze Conseratie Il laoro compiuto su una traiettoria chiusa da una forza conseratia è dato da: L a b (F ds) + b a (F ds) a b (F ds) - a b (F ds) 0 Il laoro eseguito da una forza conseratia lungo un qualunque percorso chiuso è nullo. Questa proprietà può essere considerata una definizione equialente di forza conseratia a quella già introdotta. La funzione delle coordinate tramite cui è possibile esprimere il laoro di una forza conseratia si definisce Energia potenziale

18 . (a) The change in kinetic energy for the meteorite would be kg m/s f i i i i J ( )( ) K K K K m, or 4 K 5 0 J. The negatie sign indicates that kinetic energy is lost. (b) The energy loss in units of megatons of TNT would be 4 megaton TNT K ( 5 0 J ) 0.megaton TNT J (c) The number of bombs N that the meteorite impact would correspond to is found by noting that megaton 000 kilotons and setting up the ratio: kiloton TNT N 8. 3kiloton TNT

19 Ancora sull Energia Cinetica Supponiamo di aere un corpo di massa 0 Kg che si muoe di moto rettilineo uniforme. Sia la sua elocità 0m/s. Secondo quanto detto prima posso calcolare l energia cinetica di tale corpo con la formula K½m 500J Il sistema di riferimento scelto è oiamente inerziale decido di cambiare sistema di riferimento e scelgo un sistema solidale con il corpo (anche questo è inerziale!). Calcolo di nuoo l energia cinetica K½m 0J (Il corpo è fermo in questo sistema!) Qual è il alore esatto e quale quello errato???

20 Il concetto di energia è un concetto estremamente articolato in genere è possibile quantificare un alore assoluto di energia ma nella gran parte dei casi posso misurare solo le differenze di energia L energia cinetica è uno di questi casi Ci sono arie forme di energia, ma non sempre è stato banale riconoscere una particolare grandezza come una particolare forma di energia (il calore ad esempio)

21 Laoro di una forza costante Consideriamo una forza costante F che agisca su un punto materiale e supponiamo per semplicità che il moto aenga nella direzione della forza. Sia s lo spostamento. Definiamo Laoro della forza il prodotto: L F s Più in generale se il moto aiene in una direzione diersa rispetto alla forza: L F s F s cos θ Doe θ è l angolo tra la direzione della forza e quella dello spostamento. Se θ<π/ la forza ha una componente positia nella direzione del moto allora L>0 ed il laoro e detto laoro motore Se π/<θ<π la forza ha una componente negatia nella direzione del moto allora L<0 ed e detto laoro resistente.

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23 Laoro di una forza ariabile Se la forza agente non è costante ma la traiettoria è lineare allora possiamo scomporre la traiettoria stessa in segmenti piccoli durante i quali si può considerare la forza quasi costante. Il laoro effettuato dalla forza è dato dalla somma dei laori eseguiti nei singoli segmenti di traiettoria: L F ds + F ds + F 3 ds 3 + F 4 ds 4 + F 5 ds 5 + F 6 ds 6 +. Oppure : L nn F i ds i Se le dimensioni degli interalli tendono a zero il numero degli interalli cresce fino ad infinito e la somma tende all integrale: L s s F ds

24 Laoro in tre dimensioni Se la forza agente non è costante e la traiettoria non è rettilinea allora il laoro è dato dalla relazione più generale: L F ds Osseriamo che in ogni caso il laoro è una grandezza scalare e le sue dimensioni fisiche sono: [M][L] [T] L unita di misura del laoro è il Joule: J Nm kg m /s

25 Il laoro della forza peso Consideriamo un corpo sottoposto alla forza peso: F - mg k Allora qualunque sia la traiettoria nello spazio: F ds -mg dz doe z è la quota erticale del punto materiale. Si ottiene che : L zi zf -mg dz -mg zi zf dz mgz f + mgz i Il laoro dipende solo dalle quote iniziali e finali del punto materiale. E positio se la quota iniziale è maggiore di quella finale e negatio se la quota finale è maggiore di quella iniziale.

26 ENERGIA POTENZIALE di GRAVITA' in generale : ENERGIA POTENZIALE della FORZA PESO U m g h dipende solo dall'altezza h rispetto al suolo (coordinata z), non dalle coordinate orizzontali x,y

27 La Potenza E la misura della capacità di compiere un laoro nell unità di tempo. Anche questa è una grandezza scalare e iene misurata in Watt (W) Un Watt è la potenza erogata se si compie il laoro di un Joule in un secondo [W][Lt - ]Js - kg m s -3 Potenza Media Potenza Istantanea L dl P P t dt

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29 Forze Conseratie Una forza è conseratia quando il laoro compiuto per spostare un punto materiale (corpo) da un punto A a un punto B non dipende dalla traiettoria seguita ma solo dalla posizione di A e B Calcoliamo il laoro per andare da A a B direttamente o passando per C La forza di graità è costante ounque Il Laoro per il percorso A C B è mgh Il Laoro da A a C è mgh (doe h è l altezza del punto A rispetto al piano di riferimento), infatti la forza e lo spostamento hanno la stessa direzione Il Laoro da C a B è nullo infatti la forza e lo spostamento sono perpendicolari Il laoro per il percorso A B è ancora mgh infatti il prodotto scalare dello spostamento obliquo per la forza peso è sempre mgh (se non ci credete potete controllare da soli) P P A C B L attrazione graitazionale (la forza peso) è una forza conseratia P

30 La Forza Elastica Supponiamo di aere una molla di costante K e un corpo di massa m e di operare in assenza di attrito. Scegliamo il sistema di riferimento unidimensionale con origine come nella figura. Calcoliamo quindi il laoro necessario per muoere il corpo da x a x L x x x F ds F cosπ dx kxdx x k x x x x kx + kx x Si ede quindi che il risultato ottenuto non dipende dalla traiettoria ma solo dalla posizione iniziale e finale (x e x ) Anche la Forza Elastica è una forza conseratia

31 Una Forza non Conseratia: L Attrito Abbiamo isto che la forza elastica e graitazionale sono forze conseratie L attrito inece non è una forza conseratia, ediamo perché: F a F A Supponiamo di aere un oggetto fermo in un piano nel punto A e che ogliamo muoerlo fino a B; calcoliamo quindi il laoro della forza di attrito dinamica per andare direttamente da A a B o passando per C F a F C F B Il Laoro per il percorso A C B èdato da L-F a AC-F a CB -F a (AC+CB) Il Laoro per il percorso A B è dato da L-F a AB F a Il Laoro in questo caso dipende dal percorso L Attrito non è una forza conseratia

32 Esempio Pratico Un ascensore sale dal Piano Terra all ultimo Piano: per fare questo deo applicare una forza esterna, il laoro che la forza esterna fa è positio ma il sistema è l ascensore; la forza conseratia è la forza di graità l ascensore sale. L energia potenziale dell ascensore aumenta; W è positio e il laoro fatto dalla forza graitazionale è negatio l ascensore scende. L energia potenziale diminuisce; W è negatio, non ho bisogno di nessuna forza esterna. Il laoro iene fatto dalla forza di graità ed è positio. Queste quantità (in assenza di attrito) sono uguali e di segno opposto: la somma è nulla Il laoro che l ascensore fornisce quando scende è esattamente uguale al laoro solto dalla forza esterna durante la fase di salita.

33 Reiew: Forza Costante Il laoro, W, di una forza costante F Che agisce attraerso uno spostamento r è: W F r F r cos( ) F r r F r F r

34 Teorema del laoro e dell energia cinetica: {Laoro netto fatto da una forza su un oggetto} {ariazione dell energia cinetica dell oggetto} W F K / m - / m F m W F F x x

35 E se le forze che agiscono sono più di una? Supponiamo F NET F + F e lo spostamento sia r. Il laoro fatto da ciascuna forza è: F NET W F r W F r F r W TOT W + W F r + F r F (F + F ) r W TOT F TOT r E la forza totale che agisce!!

36 Una semplice applicazione: Il laoro fatto dalla graità su di un oggetto che cade Qual è la elocità di un oggetto dopo che è caduto da un altezza H, assumendo che esso sia partito da fermo? W g F r mg r cos(0) mgh 0 0 W g mgh H r mg j Teorema laoro/energia cinetica: W g mgh / m gh

37 Laoro fatto dalla graità: W g F r mg r cos -mg y m W g -mg y r mg j Dipende solo da y! - y m

38 Laoro fatto dalla graità... W NET W + W W n F r + F r F r n F ( r + r r n ) F r F y W g -mg y y r 3 r r r m mg j Dipende solo da y, non dal cammino seguito! r n

39 Tre ogetti di massa m partono da un altezza h con elocità 0. Uno cade giù direttamente, l altro sciola giù su un piano inclinato prio d attrito, l ultimo oscilla all estremo di un pendolo. Qual è la ralazione fra le loro elocità quando arriano a quota zero? H f i p Caduta libera Piano inclinato Pendolo senza attrito (a) V f > V i > V p (b) V f > V p > V i (c) V f V p V i

40 0 0 0 H f i p Caduta libera Piano inclinato Pendolo senza attrito Soltanto la graità compirà laoro: W g mgh / m - / m / m f gh Non dipende dal percorso!! i p

41 Alzate un libro con la ostra mano: Qual è il laoro fatto sul libro?? Prima calcoliamo il laoro fatto dalla graità: W g mg r -mg r Calcoliamo ora il laoro fatto dalla mano: r F HAND const a 0 W HAND F HAND r F HAND r mg

42 Esempio: Alzate un libro... W g -mg r W HAND F HAND r W NET W HAND + W g F HAND r - mg r r F HAND const a 0 (F HAND - mg) r mg 0 poichè ΔK 0 ( const) Così W TOT 0!!

43 Esempio: Alzate un libro... Il teorema del laoro e dell energia cinetica dice che: W K {Laoro netto fatto da una forza su un oggetto} {ariazione dell energia cinetica dell oggetto} In questo caso, è costante così K 0 e quindi W dee essere 0, come abbiamo troato. r F HAND const a 0 mg

44 Laoro fatto da una forza ariabile : (D) Quando la forza era costante scrieamo W F x Che è l area sotto F : F W g x x Per una forza ariabile, calcoliamo l area integrando dw F(x) dx. F(x) W x F( x )dx x x x dx

45 Teorema laoro/energia cinetica per una forza ariabile W x F dx x x m m x d dt d dx dx dx F ma m d dt d dx d d dt dt dx dx m d m ( - ) m - m ΔKE