CLASSE: 3 ETB ALUNNI: Lubes Francesco, Tamma Nicola Docente: Prof. Ettore Panella

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1 I.T.I.S. M. PANETTI - Bari LABORATORIO DI SISTEMI ELETTRONII AUTOMATII LASSE: 3 ETB ALUNNI: Lubes Francesco, Tamma Nicola Docente: Prof. Ettore Panella SISTEMI ITERATIVI Un sistema si dice iteratio se può essere descritto da una formula che consente di calcolare il alore futuro conoscendo quello presente. In altre parole lo stato futuro del sistema dipende da quello presente oltre che dai parametri del sistema. L analisi dei sistemi con metodi iteratii risulta interessante poiché è possibile impiegare metodi informatici come, ad esempio, il foglio elettronico. Per comprendere l importanza di tale tecnica è sufficiente ricordare che i metodi di compressione ed elaborazione dei file audio e ideo digitali si basano su formule iteratie. Anche lo studio dei filtri digitali, noti anche come filtri numerici, si basano su metodi iteratii deriati dall analisi con la trasformata z. In questa sede si descriono alcuni semplici esempi di sistemi iteratii siluppati con il foglio elettronico. In generale, indicando con V(t)il alore della grandezza in esame al tempo t e con V(t+)il alore futuro dopo un interallo si ha: V(t+) = V(t) ± K V(t) Doe K è un parametro del sistema. Spesso K è una costante che dipende dal problema in esame. ANALISI DELLA ARIA DI UN ONDENSATORE ON IL METODO ITERATIVO DI EULERO In fig. 1 si riporta lo schema elettrico di un circuito R, con uscita sul condensatore, alimentato da una tensione continua V i = 10 V. 1

2 Fig. 1. ircuito R Si uole studiare l andamento della tensione ai capi del condensatore, supposto inizialmente scarico, quando sottoposto ad una tensione di entrata V i. Il metodo impiegato è quello iteratio di Eulero che consente di ricaare una formula di facile implementazione sul foglio elettronico. Ricordiamo che la capacità di un condensatore si può esprimere come rapporto tra la carica accumulata e la tensione ai sui capi: Diidendo ambo i membri per si ricaa: q = [ F ] V q V = quindi V i(t) = Dall analisi della fig. 1 si ha: In definitia si ricaa: ( t) = R ( t) ( t) ( t) = R i( t) ( t) i + i + () t = R () t i + ( t + ) (t) t = R t + (t) i t t = R () i + ( ) ( ) ( ) () t 2

3 R ( t + ) = (t) + [ () t () t ] La precedente formula è nota come Formula di Eulero. È una formula iteratia poiché il alore della tensione c al tempo al tempo t +, dipende dal alore al tempo t e dai parametri del sistema. La formula di Eulero si presta ad un facile siluppo sul foglio elettronico. È sufficiente compilare una tabella con due colonne: una relatia al tempo e l altra alla tensione ai capi del condensatore ed applicare la formula. In tabella 1 si mostra il foglio di laoro di Excel con i dati relatii al circuito in studio. Tabella 1 i In tabella 2 si riporta la struttura del foglio di laoro nel quale si mostrano le formule impiegate. Oiamente si deono trascinare la formule fino od ottenere la tensione finale di regime. 3

4 Tabella 2 Utilizzando la nota procedura di autocomposizione grafico si ricaa. Fig. 2. Andamento della tensione ai capi del condensatore. ome descritto dalla teoria si ossera che la tensione ai capi del condensatore parte dal alore iniziale V c (0) = 0 V e tende al alore finale V c ( ) = V i = 10 V. Un parametro che caratterizza la elocità di carica del condensatore è la costante di tempo: τ = R Si può erificare, sia teoricamente che sperimentalmente, che la carica del condensatore si può ritenere esaurita dopo un tempo, detto tempo di assestamento t a, pari a: t a 5 τ 4

5 Infatti, nell esempio risulta τ = 1s e il tempo di assestamento è di 5s. Per concludere si uole ricordare che, utilizzando altri metodi, la tensione c (t) si può esprimere mediante la seguente relazione: (t) = V (1 e c Tale formula porta, oiamente, agli stessi risultati ottenuti con il metodo di Eulero. i t / R ) ALOLO DELLA VELOITA DI ADUTA DI UN GRAVE IN FLUIDO Si uole studiare l andamento della elocità di caduta di un corpo in un fluido impiegando il metodo iteratio. Si dee ricaare l equazione di stato iteratia che descrie il sistema. In fig. 3 si mostra una schematizzazione del sistema. F A F V F P Fig. 3. Rappresentazione schematica della caduta di un grae. Sul corpo immerso nel fluido agiscono contemporaneamente tre forze: F P, F A, F V. F P = m g F A = d V g Forza Peso: è il peso del corpo (m = massa del corpo; g = 9,81m/s 2 accelerazione graitazionale). Forza di Archimede: si oppone alla F P ed è uguale al peso del olume del fluido spostato (d = densità de fluido spostato; V = olume del corpo). F V = K η L (t) Forza di Attrito Viscoso: forza che si oppone allo spostamento del corpo nel fluido (K = coefficiente di forma; η = iscosità del fluido; L = dimensione lineare del corpo). La forza complessia F tot è la somma ettoriale delle tre forze: 5

6 F tot = F P + F A + F V La seconda legge della dinamica afferma che la forza totale dee uguagliare il prodotto della massa del corpo per la sua accelerazione. F tot = m a La fisica ci dice che l accelerazione di un corpo è uguale al rapporto della ariazione della elocità nel tempo. In formule: a(t) = he si può esprimere nella forma: e quindi: a(t) = ( t + ) ( t) F tot = m ( t + ) ( t) Ricordiamo che la forza di attrito iscoso è proporzionale alla elocità del corpo. La costante di proporzionalità dipende dal tipo di fluido e dalle caratteristiche geometriche del corpo. F V = K Nel caso di un corpo sferico di raggio R la forza di attrito iscoso segue la legge di Stokes: V ( t) con K = 6 π η R F V = ( 6 π η R) ( t) Si ricaa: F tot = m ( t + ) ( t) = m g d V g K V () t Dalla precedente relazione si ottiene, finalmente, l equazione di stato iteratia: ( t + ) = ( t) d V g K + g m V m ( t) 6

7 Tale formula è di facile implementazione sul foglio elettronico. A titolo orientatio nella seguente tabella 3 si riportano alcuni alori della iscosità e della densità. ARIA AQUA GLIERINA Tabella 3 VISOSITÀ η [N S/m 2 ] DENSITÀ d [Kg/m 3 ] 1, , , Sul foglio di elettronico si sono compilate due tabelle (edi tabella 4): una riguardante i dati, l altra i alori della elocità in funzione al tempo. La tabella Dati è stata creata per aer a disposizione simultaneamente tutti i dati da inserire nella formula. Tabella 4 7

8 Nella tabella TEMPO VELOITÀ il alore del tempo si incrementa aggiungendo al alore precedente quello di ; la elocità è data dalla formula iteratia di Eulero. Di seguito si riportata una parte della tabella con le formule risolutie. Tabella 5 Dalla tabella precedente utilizzando l autocomposizione grafico si ricaa: Fig. 4. Velocità di caduta del grae 8

9 Dal grafico si ossera che la cura ottenuta tende a stabilizzarsi su un alore costante della elocità. Il risultato ottenuto è concorde con la Prima legge della dinamica o Principio d inerzia che afferma che se su un corpo in moto non agisce nessuna forza il corpo si muoe di moto rettilineo uniforme. RESITA DI UNA POPOLAZIONE DI ELLULE Si uole studiale la crescita di una popolazione di cellule in una coltura. Lo studio è condotto ipotizzando tre casi: 1) Risorse illimitate con mortalità nulla; 2) Risorse illimitate con mortalità non nulla; 3) Risorse limitate con mortalità non nulla. Se indichiamo con T a il tasso di accrescimento, il numero di cellule della popolazione si può esprimere: N(t+)= N(t) + T a N(t) Posto T n il tasso di natalità e con T m il tasso di mortalità si ha, in prima approssimazione: a) Nel primo caso le cellule crescono e nessuna muore: N(t+)= N(t) + T n N(t) b) Nel secondo caso si hanno nascite e morti: N(t+)= N(t) + (T n -T m ) N(t) c) Nel terzo caso il tasso di accrescimento non è costante ma diminuisce all aumentare della popolazione fino ad annullarsi quando si raggiunge il alore massimo consentito dalle risorse nutritie. Supponendo un decremento lineare, come mostrato in fig.5. si può scriere: T a = T a max Ta max N(t) N max 9

10 Ta Tamax Nmax N Fig. 5 In tabella 6 si riporta il foglio di calcolo con l applicazione delle formule nei tre casi indicati. Tabella 6 10

11 I seguenti alori si sono ottenuti inserendo nelle relatie colonne le formule iteratie, come riportato nella tabella 7. Tabella 7 on composizione grafico si ricaano gli andamenti di crescita nei tre casi descritti. Accrescimento ,00 rescita di una popolazione di cellule 120, , ,00 100, ,00 80, ,00 60, , ,00 40, ,00 20,00 0,00 rescita delle Anni cellule nel caso di mortalità zero e risorse illimitate. rescita delle cellule nel caso di mortalità diersa da zero e risorse illimitate. rescita delle cellule nel caso di mortalità diersa da zero e risorse limitate. 0,00 Fig. 5. rescita di una popolazione di cellule. 11

12 ANALISI DI UN DEPOSITO BANARIO Si uole studiare la crescita di un deposito bancario calcolando l importo maturato in un tempo indeterminato. Si deposita in banca un capitale iniziale di si desidera sapere l ammonterà del capitale, dopo un certo tempo supponendo un tasso di interesse del 2% annuo. Si escludono tutti i possibili preliei e/o depositi e spese arie (apitale Iniziale)= T i (tasso d interesse)= 2% Il sistema è iteratia ed è descritto dalla seguente formula: (t+)= (t) + T i (t) La formula iteratia consente lo siluppo dell ammontare del capiate nel tempo, come mostrato nella seguente tabella 8. Tabella 8 12

13 Si riporta la struttura della tabella con le relatie formule di calcolo. Tabella 9 on l autocomposizione grafico si ottiene. Fig. 6. rescita del capitale Il grafico eidenzia l aumento lineare del capitale nel tempo. 13