y h=10m v 1 A 1 v 2 0 p A 2 p 1 =1, Pa p 2

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1 HLLIDY - capitolo 4 problema 33 In un tubo di sezione =4.0 cm scorre acqua con velocità v =5.0 m/s. Il tubo poi scende lentamente di 0 m mentre l area della sua sezione diventa pian piano di 8.0 cm. ) Che velocità ha ora l acqua? ) Qualèoralasuapressioneseprimaeradi5 0 la se prima era Pa? v y h=0m p =,5 0 5 Pa v 0 p p

2 Equazione di continuità: v = v Legge di Bernoulli: m v = v = 5 = s p + ρv + ρgy = p + ρv + ρgy p = p + ρ v v + ρg y y = = = = + + = = Pa 60 kpa

3 HLLIDY - capitolo 4 problema 40 In un tubo orizzontale scorre acqua che viene poi liberata in atmosfera a una velocità v =5 m/s come illustrato in figura. I diametri delle sezioni di sinistra e di destra del tubo sono rispettivamente di 5.0 cm e 3.0 cm. Che volume d acqua viene liberato nell atmosfera durante un periodo di 0 minuti? Qual è la velocità v dell acqua nella sezione sinistra del tubo? Qual è la pressione idrostatica nella stessa sezione?

4 Volume di acqua che fuoriesce dal tubo nel tempo Δt=600 s : ΔV = v Δt = π r v Δt = 6.4 m Equazione di continuità: 3 d v = v v = v = v 5.4 m/s = d Legge di Bernoulli (p = atm = Pa): p ρv p ρv + = + = + ( ) = 5 p p ρ v v 0 Pa

5 Un sifone è uno strumento utile a rimuovere i liquidi dai contenitori. Il tubo BC deve essere inizialmente riempito: una volta fatto questo, il liquido scorrerà attraverso il tubo fino a che il livello del liquido nel contenitore scende sotto l apertura del tubo. Il liquido ha densità ρ=000 kg/m 3 e viscosità trascurabile. Le distanze sono h =5 cm, d= cm e h =40 cm. Con quale velocità v C emergerà il liquido dall estremità C? Quale sarà la pressione p B del liquido nel punto più alto B? Teoricamente, qual è l altezza h massima alla quale un sifone può sollevare l acqua? HLLIDY - capitolo 4 problema 47 y y=h +d+h del tubo y=h +d y=h y=0

6 Legge di Bernoulli tra e C : in il liquido è fermo quindi v =0 poichè C, in C la pressione è pari alla pressione atmosferica p 0 p ρv + ρgy = p + ρv + ρgy p + ρg y y = p + ρv + C C C C 0 C La pressione in si ricava applicando la legge di Stevino: p = p + ρgd 0 Sostituendo p e Δy si ottiene : p + ρgd + ρgh = p ρv C C v = g d + h = m/s =

7 In B e in C la sezione del tubo è la stessa. Per l equazione di continuità v B =v C pplicando il teorema di Bernoulli tra B e C: p B yb yc 0 C + ρv + ρg( h + d + h ) = p + ρv B 3 3 p p ρg h d h ( ) B 0 = + + = + + = = = kpa La massima altezza h è quella per cui p B =0 e v B =0: pplicando il teorema di Bernoulli tra e B (con p B =0 e v B =0): p + ρv ρgy = p + ρ v ρgy p = ρg( y y ) = ρg(d + h B B B B + + ) 0 0 Tenendo conto del risultato precedente (dalla legge di Stevino): p0 p + ρgd = ρg ( d + h ) h = = 0.3 m 0 ρg p = p + ρgd 0

8 HRW4.4 (Gettys 5.9) Gettys5.9sol.doc ltezza della della superficie libera dell acqua H=40 cm Profondità del buco nella parete h=0 cm INCOGNITE : ) distanza x (dal piede della parete) del getto al suolo ) profondità h del buco che produce un getto con la stessa distanza x 3) profondità h(x max ) del buco che produce un getto con la massima distanza x MX Y vedi Gettys Esempio5. pag 369 (Legge di Torricelli) Legge di Bernouilli(conservazione dell energia) applicata tra la superficie dell acqua e il buco nella parete : psup +ρ gysup + ρ v sup = pbuco +ρ gybuco + ρ vbuco Supponiamo la sezione del buco molto piccola rispetto alla sezione del serbatoio : l equazione di continuità ( conservazione della massa) ci permette di considerare trascurabile la velocità in superficie v sup 0 Sia sulla superfiicie sia sul buco la pressione dell aria è quella atmosferica psup = pbuco = p0 p0 +ρ gysup + ρ 0= p0 v buco = gh + ρ gybuco + ρvbuco ρg(ysup y buco) = ρ vbuco Ogni goccia d acqua esce dal buco [ x 0, y (H h) ] = = a t0 = 0 con velocità orizzontale v ed è soggetta alla sola forza di gravità : quindi si muove come un proiettile lungo una traiettoria parabolica.

9 a x = 0 = g v(t) v x = 0 y x(t) = v t 0 a y v(t) = 0 gt y(t) = (H h) g t Lungo l asse Y la goccia arriverà al suolo (y = 0) all istante (H h) 0 = (H h) g t t(suolo) = g Lungo l asse X all istante t(suolo) avrà raggiunto la posizione (H h) (H h) g h (H h) x(suolo) = v0 = g h = = h (H h) g g g ) La formula trovata x(suolo) = h (H h) è invariante rispetto alla sostituzione h (H h) che scambia semplicemente i due fattori sotto radice. La profondità h è quindi (H h). 3) Per calcolare la distanza massima di x(suolo) = h (H h) basta trovare il valore massimo dell espressione sotto radice f = h(h h) [ ] df dh(h h) d hh h ) H = 0 = = H h = 0 h(x max ) = dh dh dh H H xmax = H = H ) oppure si calcolano le soluzioni h e h dell equazione

10 Strada-rubinetto DTI pedice : tubo al piano stradale, pedice : tubo all'ultimo piano - rubinetto d = 5 cm= 5 0 m 5 p = 3.8atm = Pa v = 0.68m/s z - z = 8 m d =.8 cm =.8 0 m ) pplico l equazione di continuità : Portata volumetrica QV = v = costante Q = v = v V d π v = v = v = v = v = = d d 5 0 m d.8 0 s π ) pplico Teorema di Bernoulli p+ρ gz+ ρ v = costante tra tubo e tubo p+ρ gz+ ρ v = p +ρ gz + ρv p = p+ρg(z z ) + ρ( v v) = = = = = 5 5 = atm

11 Serbatoio con tubo e valvola 5 3 p = pa = pressione atmosferica=.0 0 Pa = 0 0 Pa v 0 y-y = h= 5 m v = 6 m / s ) cqua ferma : idrostatica pplico la legge di Stevino tra il Punto e il Punto 3 3 p = p+ρ g h = = kpa p = 48 kpa ) Nel tubo l acqua è in moto: idrodinamica pplico la legge di Bernoulli p +ρ gy + ρ v = p +ρ gy + ρv = 0 caso domanda +ρ + ρ = tra il Punto e il Punto p gy v costante 3 3 p = p+ρg (y y ) ρ v = = (48 8) kpa p = 0 kpa 3) Portata volumetrica 3 QV = v = = 0.08 m / s = 80 l / s

12 Dinamometro(T) e bilancia(f mollabilancia ) BLOCCO di lluminio 3 3 M l = kg, ρ (l) =.6 0 kg / m FLUIDO 3 3 ρ (H O) =.0 0 kg / m, m = kg m HO BICCHIERE = 0.5kg FORZE agenti su M T tensione esercitata dalla fune sul blocco (lettura del dinamometro) F g peso esercitato dalla Terra F =ρ V gˆj spinta di rchimede FLUIDO FLUIDOSPOSTTO F T M F gravità = forza peso=mg II LEGGE DI NEWTON vettoriale applicata al BLOCCO di lluminio F = F = 0 in equilibrio F = T+ F + F = 0 risultante risultante g Scelgo per convenienza l asse Y verticale verso l alto F =+ T M g+ F = 0 y l M l volume Vl = = = m lato L = = 0.07 m ρl 600 F = M g= 9.8= 9.8N g l F =ρ V g =ρ V g poichè il blocco è tutto immerso HO HOSpostato HO l 3 3 F =ρ HO Vl g = = 3.7 N T = M g F = = 6. N oppure l M ρ l HO T = Ml g ρ HO g = Ml g = 9.8 = = 6.0 N ρl ρl.6 II LEGGE DI NEWTON vettoriale applicata al (Bicchiere+H O) F = esercitata dalla molla della bilancia mollabilancia (lettura della bilancia : peso apparente) ( F ) = reazione per la III legge di Newton esercitata dal blocco sull'acqua F = F (peso apparente) + F (bicchiere + H O) + ( F ) = 0 risultante mollabilancia g y mollabilancia g g B HO F =+ F F (Bicchiere+ H O) F = 0 F (Bicchiere + H O) = m g + m g = =.5 N F = 3.7 N F =+ F (Bicchiere + H O) + F = N mollabilancia g (-F ) m+m B HO F MOLLBILNCI F= ( m+m )g g B HO

13 HRK Q5.7 : Paradosso Idrostatico fluidiparadossosol.doc Tre recipienti hanno la stessa base, sono stati riempiti d acqua fino allo stesso livello, hanno la stessa pressione sul fondo. Perché hanno peso diverso? Il paradosso idrostatico consiste proprio in questo: pur essendo il peso del liquido contenuto nei vari recipienti diverso a seconda dei casi, la forza esercitata sul fondo ( nelle condizioni sopra indicate ) è uguale per tutti e tre i casi e pari al peso del liquido contenuto nel recipiente (3). Per il recipiente () il peso del liquido contenuto è maggiore del peso del liquido in (3) e, per quanto detto sopra, maggiore della forza esercitata sul fondo. Il paradosso in questo caso si spiega con il fatto che parte del peso del liquido contenuto è sostenuto dalla forza normale R, avente componente P' verso l'alto, esercitata dalle pareti del recipiente stesso. In effetti la porzione di liquido ombreggiata è sostenuta dai lati del recipiente. Per lo stesso principio nel caso del recipiente () la forza di reazione delle pareti del recipiente avrà una componente P' verso il basso che andrà a sommarsi al peso del liquido a quella quota e darà comunque come risultato una forza F di intensità equivalente al peso del liquido contenuto in (3). In questo caso il peso del liquido contenuto in () è minore di quello contenuto in (3).

14 HRW PS 4.9 auto da corsa HRW4.9autosol.doc Dati velocità dell aria v = 7.5 m/s sezione verticale sul fronte 0 = m sezione verticale sotto = m pressione sul fronte p 0 = atm sezione orizzontale ORIZ = 4.86 m ) quanto vale la pressione in corrispondenza di? Legge di Bernouilli(conservazione dell energia) applicata tra la sezione 0 e la sezione p0 +ρgy0 v 0 p gy + ρ = + ρ + ρ v v p p ( v v ) p v = 0 + ρ 0 = 0 + ρ 0 v0 L equazione di continuità (conservazione della massa) tra la sezione 0 e la sezione v 0 0v0 = v = v 0 p = p + ρv = p ρv = = p. 7.5 = p 59.8 Pa 0.03 ) che intensità ha la forza verticale F y risultante dalla differenza di pressione tra sopra e sotto il veicolo? F p = Sopra l auto la pressione p 0 preme verso il basso con una forza verticale F(sopra) y = p0 ORIZ Sotto l auto la pressione p preme verso l alto con una forza verticale F y(sotto) =+ p ORIZ La forza verticale risultante è F y (sopra) + F y(sotto) = p0 ORIZ + p ORIZ = ORIZ( p0 + p0 59.8) = = 4.86 ( 59.8) = 9 N E quindi una forza premente verso il basso che contribuisce alla stabilità dell auto