1- Le componenti della spinta orizzontale So, che si riducono ad una sola nel caso bidimensionale, sono:

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1 Statica 2 Spinta sulle superfici curve Metodo delle componenti La spinta complessiva S su una superficie curva è data dalla composizione di 2 forze, una orizzontale So (a sua volta costituita da due componenti Sx e Sy) e una verticale Sz. 1- Le componenti della spinta orizzontale So, che si riducono ad una sola nel caso bidimensionale, sono: S S x y dove: h h Gx Gy A x A y Ax = proiezione della superficie curva sul piano verticale y-z Ay = proiezione della superficie curva sul piano verticale x-z = affondamento del baricentro della superficie Ax h h Gx Gy = affondamento del baricentro della superficie Ay Il modulo della spinta orizzontale risultante è: 2 2 So S x S y Sia Sx sia Sy sono applicate nel rispettivo centro di spinta riferito alle supefici piane Ax e Ay. 2- La spinta verticale Sz è: S z W dove: W = volume della colonna liquida compresa tra la superficie curva e il piano dei carichi idrostatici Sz è applicata nel baricentro della colonna liquida. Il modulo della spinta complessiva S vale: 2 2 S S O S Z Figura 1 Caso bidimensionale Il punto di applicazione della S si ricava tramite l equilibrio alla rotazione rispetto ad un punto. Metodo dell equilibrio globale Se la superficie curva ha la linea di contorno contenuta in un piano, si può applicare l equazione dell equilibrio statico al volume fluido (detto volume di controllo) racchiuso tra la superficie curva e il piano contenente la linea di contorno per determinare il valore della spinta S. LA SPINTA S E LA SPINTA CHE IL FLUIDO ESERCITA SULLA PARETE CURVA 1

2 CASO 1: Volume di controllo reale, cioè si considera un volume di controllo che contiene il fluido che realmente è presente nel problema fisico in esame. Le forze in gioco valgono in modulo: 1 hg ( AB) 2 hg ( AC) A A G WABC AB AC L equazione di equilibrio statico è: 1 2 G 0 dove 0 è la spinta che bisogna esercitare sulla parte curva del volume di controllo per garantirne l equilibrio. Nel caso di volume di controllo reale, tale spinta 0 è uguale in modulo ed opposta in verso alla spinta S che si vuole trovare. CASO 2: Volume di controllo fittizio, cioè si considera un volume di controllo riempito di fluido, mentre in realtà, nel problema fisico in esame, tale volume non è occupato dal fluido. In questo caso, la spinta S, esercitata dal fluido sulla superficie curva, è uguale alla spinta 0 che bisogna esercitare dall esterno sul volume fluido per mantenerlo in equilibrio. 0 2

3 Esercizi: 1) Nota la geometria del problema e la pressione pm indicata dal manometro metallico, determinare la spinta esercitata dal fluido di peso specifico sulla calotta di traccia A A del serbatoio prismatico di profondità L. y x G = *W=g*p*D 2 /4*0.5*L P 1 = D*L*(pm+g*(h+D/2)) P 0 + G + P 1 =0 S = - P 0 S = G + P 1 Sx = P 1 Sy = G 2) Nota la geometria del problema e l indicazione D del manometro semplice, determinare la spinta esercitata dal fluido di peso specifico sulla calotta semisferica di traccia AA. Caso con quota del PCI del fluido di peso specifico posta a quota maggiore di quella del punto A: hb = m hg = ha - a-l*sen(a) P 1 =g*h G *p*d 2 /4 P 1 x = P1*cos(a) P 1 y = P1*sen(a) G = *4/3* *(D/2)^3*0.5 3

4 P 0 + G + P 1 =0 S = P 0 S = -(G + P 1 ) Sx = P 1 x Sy = G + P 1 y PCI h G h B B 3) Nota la geometria del problema e la pressione m indicata dal manometro metallico, determinare la spinta esercitata dai fluidi di peso specifico e sulla sfera di diametro D. PCI PCI Pm/ 1 h G1 h3 h G2 A 2/3*D/p pa = pm + 1 *h 1 = g 2 *h 3 h 3 h G1 = pm/ 1 + h 1-2/3*D/p h G2 = h 3 + 2/3*D/p 4

5 P 1 = g 1 *h G1 *p*d 2 /4*0.5 P 2 = g 2 *h G2 *p*d 2 /4*0.5 G 1 = g 1 *1/3*p*(D/2)^3 G 2 = g 2 *1/3*p*(D/2)^3 P 0 + G1 + P 1 + P 2 + G2 = 0 S = P 0 S = -(G 1 + G 2 + P 1 + P 2 ) Sx = P 1 + P 2 Sy = G 1 + G 2 4) Nota la geometria e l indicazione del manometro semplice, si determini la forza F necessaria a mantenere la valvola di peso specifico gs in equilibrio nella posizione indicata in figura. 5

6 pa = gm*d=g1*ha ha=gm*d/g1 pb = g1*h1b = g2*h2b h2b=g1*h1b/g2 6

7 Dove Gs e S sono le componenti, in direzione del peso della valvola Gs e della spinta idrostatica dovuta ai 2 fluidi S( 1, 2). 5) Nota la geometria e l indicazione manometrica, calcolare la spinta complessiva esercitata sulla parete AB del serbatoio prismatico, di profondità a. C D h m R S paria = ps = *hm+ m 7

8 S1=paria*LAC*a applicata nel punto medio di AC S2=paria*LCD*a applicata nel punto medio di CD S3=1/2*LCD^2* a applicata nel centro di spinta relativo a CD Spinta dell acqua sulla parete curva DB: P 1 = g*h G1 * R*a =g*(l CD +R/2)* R*a P 2 =g*h G2 *R*a = g*(l CD +R)*R*a G = g*1/4*p*r 2 *a P 0 + G + P 1 + P 2 =0 S = - P 0 S = G + P 1 + P 2 Sx = P 1 Sy = -G + P 2 con P 2 > G quindi Sy Spinta dell aria sulla parete curva DB: P 1 aria = paria * R*a P 2 aria = paria * R*a P 0aria + P 1 aria + P 2 aria =0 S aria = P 0 aria S aria = -(P 1 aria + P 2 aria ) Sx aria = P 1 aria Sy aria = P 2 aria 8

9 6) Calcolare la componente orizzontale e verticale della spinta S che agisce sulla paratoia cilindrica della figura: R = 1.96 m; L=3.28 m = profondità del serbatoio prismatico; H = 3 m; = N/m3 (soluzione: So=64892 N, Sv = N a R H b La componente orizzontale S o è pari alla spinta sulla proiezione della superficie a-b su un piano verticale, perciò è diretta verso destra e il suo centro di spinta si trova alla distanza 2R al di sotto 3 della linea di sponda, mentre la componente verticale S v, è pari al peso, cambiato di segno, del volume liquido fittizio che sarebbe compresso fra la paratoia a-b, il piano dei carichi idrostatici e i tre piani verticali condotti per il contorno della paratoia (come può determinarsi applicando a tale volume fittizio l equazione globale dell idrostatica); Sv è applicata nel baricentro del volume di controllo. 7) d 9

10 PCI hg Pn/g d d=(h1/h2)*d = 0,39 m G+ 1+ o = 0 o = S S = - (G + hg=h+pn/ con pn incognita 1 = *hg* *(d^2)/4 G =1/3* d^2)/4*h1 Affinchè avvenga il sollevamento della valvola: S Gsolido Gsolido =1/3* D^2)/4*h2 s = N Equazione di equilibrio limite: S = Gsolido da cui ricavo l unica incognita pn (pressione minima per il sollevamento del tappo) *(h+pn/ )* *(d^2)/4+1/3* d^2)/4*h1 1/3* D^2)/4*h2 s 8) 10

11 F+P+S=0 Spinta fluidi esterni: G = * *D^2/4*a = 7697,7 N 1 = *a*p*d^2/4 = 7697,7 N G + 1+ o =0 o = Sest = 0 Spinta fluidi interni: G = * *D^2/4*(a+h) = N 1 = *a*p*d^2/4 = 7697,7 N G + 1+ o = 0 o = - Sint Sint = G + *h*p*d^2/4 = 3848,85 N verso: perché G > P 1 Spinta complessiva: S = Sint+Sest F= - (P+S) = 4848 N 11