Note su Meccanica dei fluidi ideali + esercizi svolti

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1 Note su Meccanica dei uidi ideali + esercizi svolti Richiamiamo brevemente definizioni e relazioni fra le grandezze della uidodinamica illustrate a lezione. Il carattere di questa nota è sintetico, non esaustivo. Per maggiori dettagli si rimanda al capitolo I Fluidi (cap.9) del Giambattista, a Meccanica dei uidi di Serway&Jewett, o al capitolo I uidi del Giancoli, o ai capitoli su statica e dinamica dei uidi di Haliday&Resnick. Concetti e relazioni vengono applicati alla risoluzione degli esercizi presenti nella raccolta dei Compitini del Prof. Moruzzi. Vengono esclusi gli esercizi in cui l effetto della viscosità è importante per determinare il usso dei uidi in un tubo (legge di Poiseuille), in quanto al di fuori del programma previsto per il II compitino. Densità ρ massa per unità di volume Unità di misura: kg m - Alcune densità di solidi, liquidi, gas: materiale Densità [kg m - ] Alluminio.7 0 Ferro Rame Piombo. 0 Oro 9. 0 Granito.7 0 Vetro Ghiaccio Acqua ( o C).00 0 Sangue.0 0 Acqua di mare.0 0 Mercurio.6 0 Alcool etilico Benzene Aria.9 Elio 0.79 CO.98 Densità relativa ρ r ρ/ρ acqua Pressione P Forza per unità di superficie : PF/S Unità di misura: N m - Pa (Pascal) Un uido in quiete esercita la pressione in tutte le direzioni. La pressione agisce sempre perpendicolarmente a qualsiasi superificie solida con cui è in contatto. La pressione in un uido in quiete aumenta con la profondità. Questo a causa della forza peso esercitata dal uido che si trova al di sopra del punto in cui misuriamo la pressione. La relazione su un volumetto infinitesimo (sempre valida) dice che la differenza di pressione è legata a: P ρ g h Più si scende in profondità ( h negativo) più aumenta la pressione.

2 Se il uido è comprimibile allora la densità può cambiare con la pressione e quindi con l altezza. Nel caso dell aria, in prima approssimazione si può considerare che la sua densità sia proporzionale alla pressione. Scelta una condizione di riferimento, per la quale si hanno densità e pressione ρ O e P O, si può scrivere, per ogni pressione: ρ P ρo P O Passando al limite infinitesimo, e integrando la relazione dp ρ( P) gdh, si ottiene un espressione della densità al variare della altezza y, a partire dal riferimento nel punto O (pressione atmosferica sulla superficie terrestre al livello del mare P O.0 0 Pa). L P ρ ρ O e y O, con L 8. km g ρ O La densità dell aria diminuisce esponenzialmente con l altezza, a 8. km si è rarefatta di un fattore /e. Se il uido è incomprimibile, la situazione è più semplice. ρ è una costante. La relazione fra pressione P e quota h (h è la quota lungo l asse Y verticale rispetto ad un punto O di riferimento, positiva se ci troviamo più in alto di O, negativa se ci troviamo più in basso) è di tipo lineare e si può esprimere come: P O P + ρgh ovvero P PO ρgh Come esempio vediamo il compitino del in cui si chiede di trovare la pressione ad una certa profondità nel mare. %%%%%%%%% Colonna d acqua III COMPITINO ) Trovare la pressione in Pa alla profondità di 00 m nel mare. La pressione atmosferica è.0 0 Pa, e la densità relativa dell acqua del mare è.0. P Come riferimento prendiamo la superficie marina, sulla quale la pressione è quella atmosferica, cioè P O.0 0 Pa La pressione a 00 m di profondità (h -00 m) sarà: P P ρ gh O ( ) Pa %%%%%%%%% Un altra applicazione la si ha quando si chiede di calcolare la pressione alle due estremità di un tubo chiuso e pieno di acqua. Si tratta del compitino: III COMPITINO Un tubo lungo 0 m è chiuso alle due estremità, pieno di acqua, e forma un angolo di 60 o con la verticale. Quanto vale la differenza di pressione dell acqua tra le due estremità? 0) p Pa Se il tubo è lungo L0 m ed è inclinato θ60 o rispetto alla verticale, la differenza di quota h fra le due estremità si calcola applicando la trigonometria:

3 o h L cos θ 0m cos(60 ) 0m Considerando le due estremità abbiamo: P PO ρ gh P PO ρgh da cui P P P ρ g( h h ) ρg h Pa L estremità alla quota più alta si trova sottoposta ad una pressione minore. Questo semplice problema è di aiuto nel comprendere materie di interesse biologico. Per esempio è utile per cercare di capire la fisiologia della giraffa. La giraffa ha un collo molto lungo e in prima approssimazione i suoi vasi sanguigni si possono approssimare come delle colonne di uido in quiete (in realtà il sangue uisce e dovremmo applicare il principio di Bernoulli, si veda più avanti, ma l effetto del moto del sangue è comunque trascurabile rispetto all effetto della gravità). La fisiologia della giraffa prevede una serie di valvole e compensazioni vascolari per mantenere costante in ogni momento la pressione del sangue nel cervello. In realtà, senza queste compensazioni, la differenza di pressione alle estremità di un tale tubo riempito di uido andrebbe incontro a sbalzi molto grandi, in dipendenza da come il collo è inclinato (si pensi a qundo la giraffa bruca le foglie degli alberi, con il collo vetricale, o quando si abassa per abbeverarsi). Se siete interessati alla reale fisiologia della giraffa, vi consiglio di leggervi l articolo di James V. Warren, La fisiologia della giraffa, su Le Scienze, febbraio 97. Se invece vi accontentate di un approssimazione, e siete più interessati a passare i compitini, eccovi gli 8 esercizi svolti assegnati nei passati compitini (III comp87-88 (6); III comp88-89 (6); III comp89-90 (7); II comp90-9 (7); III comp90-9 (7); III comp98-99 (); II comp0-06 (9); III comp07-08 ()). Gli esercizi sono tutti uguali. In alcuni l inclinazione del collo rispetto alla verticale è un dato del problema e si chiede di trovare la differenza di pressione idrostatica, in altri si fornisce la differenza di pressione idrostatica e si chiede l inclinazione. Di seguito si mostrano esempi. La Giraffa III COMPITINO Una giraffa ha il collo lungo m. Calcolare la differenza di pressione idrostatica nel sangue, in Pa, tra le spalle e la testa della giraffa quando il collo forma un angolo di 0 o con la verticale. La densità relativa (rispetto all acqua!) del sangue è.06. ) p 8 0 Pa Il problema è analogo a quello del tubo sopra illustrato. La differenza di pressione è legata alla differenza di quota da: P P P g( h h ) g h gl o ρ ρ ρ cosθ cos(0 ) Pa spalle testa testa spalle 80 III COMPITINO Una giraffa ha il collo lungo m, e la densità relativa del sangue è.06. Se la differenza di pressione idrostatica p spalle -p testa vale 70 Pa (attenti all eventuale segno!), che angolo forma il collo della giraffa con la verticale? ) α 68.7 Il problema è analogo a quello sopra illustrato. Data la differenza di pressione, l angolo si trova secondo la seguente: Pspalle Ptesta 70 o θ a cos( ) a cos 69.7 ρgl

4 Legge di Pascal Per ogni uido, ogni aumento della pressione alla superficie del uido si trasmette in ogni punto del uido. Questa è la legge di Pascal: una variazione di pressione applicata a un uido chiuso è trasmessa integralmente in ogni punto del uido e alle pareti del contenitore. Vediamo subito un applicazione del principio di Pascal: si considera un pistone a tenuta che preme sopra una colonna di liquido contenuta in un cilindro e si chiede la pressione sul fondo del cilindro. Questo esercizio è stato assegnato nei precedenti compitini: III comp89-90 (0); III comp90-9 (0); III comp96-97 (); III comp99-00 (); III comp0-0 (8); III comp0-0 (). Gli esercizi sono tutti uguali. Di seguito si mostra un esempio, si consiglia di provare a risolvere gli altri per esercizio. Pistone II COMPITINO Un cilindro verticale di 0 m di sezione è pieno d acqua fino all altezza di. m. Sul pelo dell acqua è appoggiato un pistone a tenuta di massa kg. Sopra il pistone c è l aria, alla pressione di 0 Pa. Calcolare la pressione sul fondo del cilindro. 8) p 70 Pa Per la legge di Pascal, ogni variazione di pressione applicata in un punto (per esempo dal pistone) si trasmette per intero in ogni punto. Quindi nel punto, sul fondo del recipiente, rispetto alla pressione atmosferica varrà la seguente relazione: Mg P + PO ρgh S dove S0 m è la sezione, la pressione esercitata dal pistone è Mg/S, P O è la pressione atmosferica e h è la quota del punto sul fondo rispetto al punto di riferimento (h sarà un numero negativo). Sostituendo i dati: Mg kg 9.8ms P + PO ρ gh ms (.m) 70Pa S 0.0m %%%%%%%%%%%%%%% Il principio di Pascal è alla base di molte applicazioni come il martinetto idraulico e l impianto idraulico dei freni. Si basa sul principio di isotropia della variazione di pressione. A parità di pressione, se ho una sezione maggiore, posso esercitare una forza maggiore. Ai due capi di un condotto del martinetto si ha che la pressione in entrata P (quella esercitata manualmente dall operatore con una forza F su un area A ) deve essere uguale alla pressione P all altro capo del condotto, quello connesso alla piattaforma (per es. un ponte per automobili). Quindi se P P allora A F F e quindi F F A A A Il rapporto fra le aree A /A è detto vantaggio meccanico e dimostra come si possa esercitare una forza notevole anche partendo da F moderata, purchè il rapporto fra le aree sia molto grande. %%%%%%%%%%%%%%%

5 Principio di Archimede Se un corpo solido è immerso in un uido il solido riceve una spinta dal basso verso l alto pari al peso del uido spostato. Questo effetto è il risultato della diversa pressione che viene esercitata sul corpo a quote diverse: più in profondità la pressione è più elevata e la risultante delle forze applicate sul corpo solido dovute alla pressione del uido è una spinta verso l alto detta spinta di Archimede che vale: FA ρ Vg dove ρ è la densità del uido e V il volume del corpo solido immerso. Se il corpo è totalmente immerso e la sua densità è ρ S, la risultante fra forza peso e spinta di Archimede sarà: R mg + F A ( ρ ρs )Vg Quindi se la densità del corpo è minore della densità del uido, la risultante ha segno positivo e il corpo, in assenza di altre forze, sarà accelerato verso l altro. Viceversa se ρ S >ρ. Se il corpo invece galleggia ed è in quiete, la risultante delle forze è nulla. Data la parte di volume immersa V imm, allora vale: 0 mg + FA ρ SVg + ρ gvimm da cui si ricava una relazione fra rapporto di densità e rapporto fra volumi per un corpo galleggiante: ρ S V imm ρ V Le applicazioni del principio di Archimede sono molteplici. Di seguito mostriamo gli esercizi assegnati negli anni precedenti. In un tipo di problemi un corpo di densità minore di quella dell acqua è immerso completamente e ancorato sul fondo di un lago (II comp9-9 (0); II comp 9-9 (8); II comp 00-0 (8); II comp 0-0 (7); IV comp07-08 (7)). Si chiede di trovare la tensione della corda che vincola il corpo. Gli esercizi sono tutti uguali. Di seguito si mostra un esempio, si consiglia di provare a risolvere gli altri per esercizio. IV COMPITINO Un cubo di legno di lato. cm e densità relativa 0.7 si trova immerso in un lago, ad una profondità di m. Il cubo è ancorato al fondo del lago con una corda di massa e volume trascurabili. Quanto vale, in Newton, la tensione della corda? 7) T 0.7 N Dobbiamo considerare le forze in gioco. Siccome il corpo è in quiete, l accelerazione è nulla e la risultante delle forze sarà nulla. La tensione della corda si indica con T. Il lato del cubo con a. La corda esercita una forza verso il basso sul corpo. Guardando alla componente y: 0 Fy mg + FA T ( ρ ρs ) Vg T e quindi T ( ρ ρ ) Vg ( ρ ρ ) a g ( 0.7) 0 (. 0 ) N S S 78

6 In un tipo di problema analogo un corpo di densità maggiore di quella dell acqua è immerso completamente e ancorato al fondo di una barca (si veda II comp9-9 (); III comp99-00 (); III comp 0-0 ()). Si chiede di trovare la tensione della corda che vincola il corpo. Gli esercizi sono tutti uguali. Di seguito si mostra un esempio, si consiglia di provare a risolvere gli altri per esercizio. III COMPITINO Una sfera di raggio 0 cm e densità relativa (rispetto all acqua!) 7.8 si trova immersa in acqua, appesa ad un filo la cui altra estremità è fissata ad una barca. Quanto vale, in Newton, la tensione del filo? ) T.70 0 N La soluzione è analoga alla precedente. Soltanto che adesso la corda esercita una forza verso l alto. Dobbiamo considerare le forze in gioco. Siccome il corpo è in quiete, l accelerazione è nulla e la risultante delle forze sarà nulla. La tensione della corda si indica con T. Il raggio della sfera con r. Guardando alla componente y: 0 Fy mg + FA + T ( ρ ρs ) Vg + T e quindi π T ( ρ S ρ ) Vg ( ρs ρ ) r g ( ).9 ( 0 0 ) N %%%%%%%%% Un altra applicazione del principio di Archimede la troviamo nel IV compitino : IV COMPITINO Una sfera di raggio 0 cm e densità 00 kg/m si trova in equilibrio appesa ad una molla di costante elastica k 800 N/m, nel campo gravitazionale terrestre. Una bacinella piena d acqua viene lentamente sollevata dal basso finchè la sfera è completamente sommersa. Di quanto si accorcia la molla? (NB: la formulazione originaria del testo è ambigua. La formulazione corretta sarebbe: quanto è l elongazione della molla quando la sfera è immersa in acqua?) 7) x 0.00 m Dobbiamo considerare le forze in gioco. Il corpo è sempre in quiete, sia all inizio, quando è appeso alla molla in aria, sia nella seconda parte quando è immerso in acqua e appeso alla molla. La molla esercita sul corpo sempre una forza verso l alto. Siccome il corpo è in quiete, l accelerazione è nulla e la risultante delle forze sarà nulla. Guardando alla componente y: ) in aria: 0 Fy mg + FA + kx ( ρ aria ρs ) Vg + kx ; siccome la densità dell aria (. kg/m ) è trascurabile rispetto a quella del corpo si può scrivere: ρ 0 ρ S Vg + kx ; da cui x SVg k ) immersa in acqua 0 Fy mg + FA + kx ( ρ H ) Vg kx O ρs + da cui l allungamento della molla in questo caso è

7 x π ( ρ ρ ) Vg (. ) ( 0 ) S k H O k 0.00m

8 Fluidodinamica Se i uidi sono in movimento non è facile descrivere completamente il loro moto, molecola per molecola. Molto più facile determinare come sono in relazione fra loro alcune proprietà locali (cioè in ogni punto) come pressione, densità e velocità del uido. Introduciamo il concetto di portata di massa nell intervallo di tempo. m t, quantità di massa che passa in un punto Se consideriamo un uido che uisce in un condotto, possiamo determinare la portata attraverso una sezione. Se il uido si trova in condizioni stazionarie, cioè le sue proprietà non variano nel tempo, e non ci sono sorgenti o perdite lungo il condotto, allora vale il principio di continuità: la portata è costante in ogni sezione del condotto. Considerando un punto dove la sezione è A, la velocità del uido è v e la densità ρ e un altro punto,, dove la sezione è A, la velocità del uido è v e la densità ρ si avrà che, considerando due cilindri infinitesimi di lunghezza rispettivamente l e l : m ρ A l const ρ v Av ρ A t t e se il uido è incomprimibile (cioè ρ ρ ): A v Av Se il condotto ha sezione più piccola la velocità del uido è più grande. Di seguito considereremo solo uidi ideali: uidi stazionari, incomprimibili, non viscosi e irrorazionali (cioè dove in ogni punto del uido il momento angolare è nullo). La condizione di non viscosità è richiesta perché se il uido è viscoso (o con viscosità rilevante) vi è dissipazione di energia e le considerazioni che seguono in questa nota, che si basano sulla conservazione dell energia, vanno corrette. Se il uido scorre laminare, cioè con le linee di usso tutte parallele a sé stesse, allora si avvicina ad un uido ideale, per ussi turbolenti le condizioni di non viscosità e irrotazionalità non sono soddisfatte. Principio di Bernoulli Il principio di Bernoulli lega fra loro velocità, pressione e quota di un uido. Esso si può ricavare dal principio dell energia cinetica generalizzato. Il principio di Bernoulli dice che per un uido ideale la seguente quantità è una costante: P + ρv + ρgh const Con l applicazione del principio di Bernoulli si spiegano diversi fenomeni in natura e nella tecnologia come: il volo di aerei (e di uccelli), la barca a vela che viaggia controvento (di bolina), l areazione delle tane sotterranee di alcuni animali, gli effetti impressi a palle da calcio o golf, patologie circolatorie come gli attacchi ischemici o il utter vascolare. Gli esercizi assegnati nei compitini precedenti risolvibili con il principio di Bernoulli sono di vario tipo. Uno molto frequente analizza il caso di un raccordo fra due tubi orizzontali. Applicando l equazione di continuità e il principio di Bernoulli si trovano la velocità e la pressione nel secondo

9 tubo (o la differenza di pressione fra i due), una volta noti quelli nel primo. A volte si chiede solo la differenza di pressione, in questo caso va comunque trovata prima la velocità. Gli esercizi di questo tipo sono: III compitino (-); III COMPITINO (7-8); III compitino (8-9); IV compitino (-); II compitino (9-0); III COMPITINO 99-9 (- ); II COMPITINO 99-9 (7); III COMPITINO 99-9 (-); II compitino (6-7); III COMPITINO (-6); III COMPITINO (); IV COMPITINO (-); III COMPITINO (); III compitino (6); II COMPITINO (0); III COMPITINO (-). Gli esercizi sono tutti uguali. Di seguito si mostra un esempio, si consiglia di provare a risolvere gli altri per esercizio. Tubo orizzontale III COMPITINO Un tubo orizzontale di 0 cm di diametro è raccordato ad un secondo tubo orizzontale di 6 cm di diametro. Dell acqua scorre con velocità 6.0 m/s nel tubo più grande. Calcolare la velocità dell acqua nel tubo più piccolo e la differenza di pressione tra tubo grande e tubo piccolo. ) v tubo piccolo 6.78 m/s ) p t. Grande - p t. piccolo. 0 Pa Sono noti R (0/ cm) cm, R (6/ cm) cm e v 6.0 m/s. Dall equazione di continuità A v Av si ricava v A πr R v v v A πr R ms Applicando il principio di Bernoulli, per due tubi orizzontali (h h ) si può scrivere: P P ρ v ρv ρ( v v ) 0. 0 ( v v ). 0 Pa Una variante la possiamo trovare nel prossimo esercizio: II COMPITINO Dell acqua scorre in un tubo orizzontale di 0 cm di diametro che è raccordato ad un secondo tubo orizzontale di cm di diametro. La pressione dell acqua nel tubo grande vale Pa, mentre nel tubo piccolo vale 0 Pa. A quale velocità scorre l acqua nel tubo piccolo? 0) v 0. m/s Chiamiamo il tubo con diametro più grande e l altro. Applicando il principio di Bernoulli, per due tubi orizzontali (h h ) si può scrivere: ρ ( v v ) P P P 9 0 Pa A R Dall equazione di continuità A v Av si ricava v v v A R e quindi P P P ρ ( ) R v v ρv R

10 P v ms ρ 0 R R. %%%%%%%%% Applicazioni del principio di Bernoulli si trovano anche in altri esercizi, in cui la quota è importante. Sono esercizi in cui il condotto è un tronco di cono verticale (III comp 88-89(0); III comp 9-9 (); III comp 9-9 (); II comp 9-9 (6); II comp 9-96 (0)). Di solito l acqua entra dalla parte inferiore ed esce dalla superiore. Le sezioni di entrata e di uscita sono diverse e note. Anche l altezza del condotto è di solito nota. A volte sono note velocità e pressione in una delle facce e si chiedono le stesse quantità sull altra faccia. A volte si fornisce la differenza di pressione e si chiede l altezza del condotto. Esempio: II COMPITINO Abbiamo un tubo verticale a forma di tronco di cono, alto 7 m e con sezione 0 cm all estremità più bassa, 0 cm all estremità più alta. L acqua esce dalla parte alta con una velocità di m/s ad una pressione di 0 Pa. Quanto vale la pressione alla base del tubo? 0) p Pa L estremità più bassa si indica con, la più alta con. Le sezioni sono A e A. L altezza del tronco di cono dh -h, dove h e h sono le quote delle due facce. Varranno le relazioni: P + ρ v + ρgh P + ρv + ρgh A v Av A da cui v v 0 ms 0. ms A 0 ( v v ) + ρg( h h ) P + ρ( v v ) ρgd P P + ρ + P P + ρ v v + ρgd / Pa.69 0 ( ) ( ) Pa Variante: II COMPITINO 99-9 Dell acqua scorre in un tubo verticale a forma di tronco di cono, alto 0 m e con sezione 0 cm all estremità più bassa, 0 cm all estremità più alta. La pressione all estremità più alta del tubo vale 0 Pa, mentre la pressione all estremità più bassa vale.0 0 Pa. Quanti m al secondo passano nel tubo? 6) Φ0.000 m /s L estremità più bassa si indica con, la più alta con. Le sezioni sono A e A. L altezza del tronco di cono dh -h, dove h e h sono le quote delle due facce.

11 Usando la relazione sopra ricavata: ρ ( v v ) P P + ρgd Inoltre sappiamo che la portata volumetrica (PAv) vale A v Av A Quindi v v e sostituendo: A A ρ v P P + ρgd A v P P + ρ gd ms 8 A A ρ ρ A A La portata sarà A v m ms m s %%%%%%%%% L ultimo tipo di esercizi riguarda la potenza erogata da una pompa che trasferisce acqua in un condotto. Il liquido è privo di viscosità (liquido ideale). Gli esercizi sono il III compitino () e il III COMPITINO (9-0). Ne mostriamo uno. III COMPITINO Una pompa trasferisce acqua da un recipiente ad un altro, più in alto di m, attraverso un tubo. Il raggio del tubo non è costante, ma aumenta gradatamente da cm (estremità inferiore) a cm (estremità superiore). La velocit`a dell acqua all estremit`a inferiore del tubo è 8 m/s. 9) Calcolare la differenza di pressione tra le due estremità del tubo P 0) Calcolare il lavoro fatto in un secondo (cioè la potenza) dalla pompa L L estremità più bassa del tubo si indica con, la più alta con. Le sezioni sono A e A. L altezza del tubo è dh -h m, dove h e h sono le quote delle due estremità. Applicando il principio di Bernoulli e l equazione di continuità A v Av si ottiene per la P: R P P ( v v ) gd v ρ + ρ ρ + gd.90 0 Pa R ρ Il lavoro fatto in un secondo dalla pompa è, prendendo come riferimento un cilindretto di liquido contenuto nel tubo di lunghezza l durante l istante t: F l W L ( P P )Av t t