Idraulica e Idrologia: Lezione 14 Agenda del giorno

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1 Idraulica e Idrologia: Lezione 4 genda del giorno Misure di ressione: manometri e barometri Caillarità Cinematica dei fluidi: tubo di flusso Equazione di continuità Conserazione dell energia: Teorema di Bernoulli Pg

2 Misure iezometriche (oero: di ressione) - Serono a calcolare la ressione in un unto (o in un iano) generico di un liquido in quiete o in moto. La conoscenza della ressione in seno a un liquido ermetterà, come edremo in seguito, di determinarne lo stato di quiete o di moto, nonché di determinare certe grandezze relatie al moto stesso. MNOMETRI Gli aarecchi atti alla misura della ressione si chiamano manometri. Il tio iù semlice di manometro è quello a suerficie libera, che si basa sul noto rinciio dei asi comunicanti. Per questo, inserendo un tubo con un tronco erticale di oortuna lunghezza nella arete di un reciiente contenente un determinato liquido in quiete, tale liquido riemirà il tubo sino a che la suerficie libera in esso raggiungerà la quota della suerficie libera nel reciiente. Occorre naturalmente che il tubo, in funzione del tio di liquido contenuto nel reciiente, sia di diametro sufficiente affinché non interengano effetti secondari di caillarità (se acqua: diametro > cm). 0 acqua Pg

3 Misure iezometriche (oero: di ressione) - MNOMETRI Onde eitare, in resenza di noteoli ressioni, una eccessia escursione del menisco nel tubo del manometro e quindi installazioni ingombranti o iceersa er iccole ressioni, escursioni alutabili con difficoltà, si ricorre a liquidi manometrici, risettiamente di eso secifico maggiore o minore di quello del liquido in esame. Nelle misure comuni er l'acqua si usa il manometro a mercurio. Esso è costituito da un tubo ad U contenente nella sua arte a gomito un quantitatio oortuno di mercurio (edi figura). Quando il manometro non è connesso, i due menischi si troano nelle due osizioni e B sullo stesso iano. Se esso iene inserito, essendoci nel rimo tronco una ressione maggiore che nel secondo, il menisco si derime e assa in ' e B si innalza e assa in B'. La ressione si misura dalla differenza di quota tra i due menischi, rorio considerando che in seno al mercurio la suerficie orizzontale assata er ' e B" risulta isobarica. h 0 g Pg 3

4 Misure iezometriche (oero: di ressione) - 3 MNOMETRI a mercurio Chiamate con e le ressioni in corrisondenza di due unti ' e B" e con 0 quella in corrisondenza del baricentro 0 della sezione di attacco si ha: =. Dato che non è altro che l'affondamento sotto il iano dei carichi idrostatici e γ mercurio il eso secifico del mercurio, si ricaa: = = γ mercurio. Considerando che il tronco al di sora del menisco del mercurio della osizione ' è riemito dall'acqua e nella sezione a contatto dei due liquidi si ha la stessa ressione, si ricaa: = γ acqua H a = Pertanto H a acqua acqua mercurio acqua.c.i.= iano dei carichi idrostatici, Oero quota che errebbe raggiunta dall acqua se si utilizzasse un manometro ad acqua. Pg 4

5 ltri strumenti er misurare la ressione MNOMETRO PIEZOELETTRICO. Il rielatore di ressione è costituito da sostanze solide cristalline che hanno la rorietà di caricarsi quando sottooste a ressione. Le cariche rodotte a loro olta generano una differenza di otenziale che si uò amlificare e misurare. La differenza di otenziale è roorzionale alle soraressioni alicate, er cui una olta tarato lo strumento er confronto esso misura direttamente le soraressioni. Il antaggio dei manometri iezoelettrici è la iccolissima inerzia del materiale rielatore, cioè alla facilità con la quale ossono essere seguite ariazioni raide di ressione. Pg 5

6 Caillarità - Il fenomeno dell ascesa caillare, molto imortante.es. nell idraulica dei terreni insaturi, uò essere eidenziato immergendo in acqua l estremità inferiore di un tubo caillare (molto sottile) di etro. L attrazione fra le molecole d acqua e di etro combinata con la tensione suerficiale dell acqua medesima singe quest ultima fino ad un altezza h c al di sora del elo libero (fig. a), noto come altezza caillare. La suerficie dell acqua nel tubo assume la forma di una coa, detta menisco, che forma con la arete del tubo stesso un angolo α detto angolo di contatto. In questi tubi di diametro dierso si ha risalita caillare, segnalata dal colore del fluido, in funzione del diametro. Pg 6

7 Caillarità - La descrizione del fenomeno uò essere ottenuta come segue. Se T s è la tensione suerficiale dell acqua, r il raggio del caillare, e γ w il eso secifico dell acqua, la condizione di equilibrio si esrime come (forza di trazione=forza eso acqua): h c r w rt s cos h c T r s w cos l di sora del elo libero la ressione idrostatica dell acqua è negatia e, alla quota z, ari a: -zγ w Pg 7

8 Caillarità - La relazione redente uò essere sintetizzata, er una certa combinazione di liquido e arete di contatto, come h d = cost La relazione indica che i fenomeni di caillarità sono trascurabili al crescere del diametro d. La caillarità è articolarmente imortante nelle alicazioni di interesse in quanto il moto dell'acqua nel terreno non saturo è regolato dalle forze caillari. In articolare, er le falde freatiche, i fenomeni di risalita caillare ossono essere consistenti influenzando fortemente i quantitatii di acqua a disosizione delle colture. Pg 8

9 Cinematica dei fluidi L'idrodinamica si occua dello studio del moto dei fluidi e, relatiamente al nostro corso, del moto dell'acqua. Qualche definizione: Si distinguono tre tii di cami di moto: -uniforme: la elocità dei unti del camo di moto è costante nello sazio e nel temo; -ermanente: le elocità è costante nel temo, ariabile nello sazio; - ario: la elocità aria nel temo e nello sazio La isualizzazione dell andamento delle elocità iene abitualmente risolta con riferimento al concetto di linea di flusso (o di corrente). Si tratta di linee che, er un dato istante, sono tangenti in ogni unto al ettore elocità. Nel caso di moto ermanente, il concetto di traiettoria e di linea di corrente coincidono. Tratteremo in questa fase solo di fluidi erfetti, oero di fluidi il cui comortamento non è influenzato dalle forze iscose (che generano quindi erdite di energia) Elemento del fluido Linea di corrente Pg 9

10 Tubo di flusso e ortata Se nel camo di moto rendiamo una linea chiusa (come il erimetro di ) e consieriamo tutte le linee di flusso che i assano, eidenziamo un inolucro ideale che iene chiamato tubo di flusso. La sua caratteristica è quella di non essere attraersato da fluido in moimento. In articolare, se si rende in considerazione una condotta, la suerficie della massa liquida che lambisce la suerficie interna di quella risulta un tubo di flusso, rorio erché le elocità risultano necessariamente tangenti ad essa. l concetto di tubo di flusso è associato quello di ortata, oero il olume d acqua che nell unità di temo transita attraerso la sezione del tubo di flusso. Pg 0

11 Equazione di continuità - Il tubo raresentato in figura materializza un tubo di flusso. Sulla base del concetto di continuità della massa nei liquidi incomrimibili (acqua), ed in riferimento ad un camo di moto ermamente, si ha necessariamente (edi figura) che tutta l'acqua comresa tra le due sezioni trasersali di area ed dee assare attraerso di esse e solo attraerso di esse, er la menzionata rorietà del tubo di flusso. Si ha allora: Q const Pg

12 Equazione di continuità - Velocità media Con riferimento alla costanza della ortata, considerando una sezione del tubo di flusso, otremo introdurre un'altra caratteristica molto indicatia: la elocità media. Questa iene definita come quella grandezza che moltilicata er l'area della sezione considerata misura la ortata del tubo di flusso. I alori e riortati in recedenza sono ertanto da considerarsi come elocità media del fluido in corrisondenza delle sezioni ed. Pg

13 Memoranda: Il teorema delle forze ie - Tramite questo teorema si giunge a dimostrare l'equialenza quantitatia tra laoro ed energia. L'enunciato è il seguente: "La ariazione di energia cinetica di un coro eguaglia il laoro comiuto dalle forze esterne ad esso alicate". Per la dimostrazione si fa ricorso al consueto esemio del moto di un grae G che cade liberamente er effetto delle forze esterne ad esso alicate, cioè la forza eso (Figura). Pg 3

14 Memoranda: Il teorema delle forze ie - Nell'istante t il coro transita alla quota z con elocità e sarà in ossesso dell'energia cinetica E m Nel successio istante t transita alla quota z con elocità sarà in ossesso dell'energia cinetica E m Nell'interallo di temo t = t - t, indicando con m la elocità media in questo interallo, il grae arà ercorso la distanza: s = m t Pg 4

15 Memoranda: Il teorema delle forze ie - 3 Valutando m come media fra e, si ha: m ( ) Il laoro siluato dalla forza eso è ari a: L doe F s m t m t F s m m t t e Pg 5

16 Memoranda: Il teorema delle forze ie - 4 Valutando Δ come differenza fra e, si ha: Si ha quindi che il laoro uò essere esresso come: L m m m m L esressione ottenuta conferma ertanto che il laoro comiuto dalle forze esterne eguaglia la differenza di energia cinetica. Pg 6

17 Equazione di conserazione dell energia Teorema di Bernoulli Daniel Bernoulli (Groningen, 700 Basilea, 78). Matematico olandese, isse er lungo temo a Basilea, in Sizzera. Si occuò di idrodinamica - laorò con Eulero alle equazioni che da quest ultimo resero nome ed enunciò il teorema circa la conserazione dell energia in un tubo di flusso er un fluido erfetto in moto ermanente. Figlio di Jahann Bernoulli e niote di Jakob Bernoulli, entrambi noti fisisci e matematici dell eoca. Pg 7

18 Equazione di conserazione dell energia Teorema di Bernoulli - Per un tubo di flusso il teorema di Bernoulli uò considerarsi una delle tante forme che assume il rinciio di conserazione dell'energia. In sostanza il teorema di Bernoulli descrie la trasformazione tra energia otenziale, di ressione ed energia cinetica, e, ha luogo in un fluido in moimento. Ricaiamo l'esressione analitica di questo teorema nel caso di un liquido erfetto in moto ermanente. Pg 8

19 Equazione di conserazione dell energia Teorema di Bernoulli - Prendiamo in esame il tubo di flusso della figura e alichiamo al fluido, comreso tra le due sezioni trasersali () e (), il teorema delle forze ie. Con riferimento alla figura, le forze esterne alicate al fluido contenuto nella sezione di tubo sono: i) le forze di ressione e ii) la forza eso. Le forze doute alla ressioni e alicate agli estremi del condotto sono: F F Il laoro meccanico W fatto da queste forze nello sostare un olume V di fluido e F W laoro L l F l Pg 9

20 Equazione di conserazione dell energia Teorema di Bernoulli - 3 Il laoro siluato dalla forza eso nello sostare il olume di liquido tra i lielli y e y si calcola nel modo seguente (m=massa; g= acc graità) W g mg y y Il laoro totale Wt siluato dalle forse esterne è quindi ari a: W t mg y l y l Pg 0

21 Equazione di conserazione dell energia Teorema di Bernoulli - 4 Per il rinciio di conserazione dell energia, ossiamo ora scriere che: W t m m E ertanto: m mg Per la conserazione della massa: l y m y l m l l Pg

22 Equazione di conserazione dell energia Teorema di Bernoulli - 5 Sostituendo ed ordinando, si ha: E quindi: gy gy gy const y g const Il teorema di Bernoulli esrime quindi la costanza, lungo un tubo di flusso, del trinomio comosto dalla quota geometrica, dal termine di ressione, e dal termine di energia cinetica. Pg

23 Enunciato: Equazione di conserazione dell energia Teorema di Bernoulli - 6 In un moto di un fluido erfetto incomrimibile a regime ermanente, la somma delle energie di ressione, otenziale e cinetica è costante lungo una linea di corrente. Pg 3

24 Teorema di Bernoulli: interretazione geometrica - z Il teorema di Bernoulli, come ricaato er un tubo di flusso, è alido, er moto ermanente, anche er una traiettoria. Quindi, lungo la traiettoria di un fluido erfetto in moto z const ermanente è costante la somma delle tre altezze: g V g z: quota geometrica /γ: altezza iezometrica /(g): altezza cinetica z Quota di riferimento Pg 4

25 Teorema di Bernoulli: interretazione geometrica - z Qui l acqua è in quiete, quindi il termine di energia cinetica è nullo. Const=ressione + quota Lungo il tubo in uscita dal reciiente la sezione è costante, quindi la elocità (diersa da zero) è costante. Const= altezza cinetica+ +ressione + quota V g Sull ugello all uscita dal tubo la ressione è ari a quella atmosferica (di riferimento), er cui il termine di ressione è nullo: Const= altezza cinetica+ + quota z Quota di riferimento Pg 5