Fisica II. 5 Esercitazioni

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1 Esercizi solti Esercizio 5.1 Una articella, di carica q e (e C è la carica dell elettrone) e massa m Kg, è in moto in un camo magnetico di intensità B1 T con elocità ari a 1/15 della elocità della luce, ortogonale al camo. Calcolare il raggio della sua traiettoria e il eriodo di rotazione. Soluzione: m R 4cm qb T π 7 πm ω qb sec Esercizio 5. Un elettrone è accelerato da una differenza di otenziale ari a 5000 V ed è diretto erso una regione in cui i sono due elettrodi iani aralleli, distanti tra loro 5 cm, ai quali è alicata una differenza di otenziale ari a 1000 V. L elettrone entra erendicolarmente al camo E resente tra i due elettrodi. Determinare il camo B che dee essere resente tra gli elettrodi affinchè l elettrone non enga deiato. Soluzione: Inizialmente l elettrone iene ortato ad una elocità 0 che si ottiene uguagliando la sua energia cinetica (suoniamo trascurabile la sua elocità iniziale) al laoro comiuto dalla rima differenza di otenziale: 1 ev1 7 ev1 me m / sec. m Quando si troa tra i due elettrodi è soggetto ad una forza di natura elettrostatica, diretta dall elettrodo negatio erso quello ositio, di modulo e V F e e E d, doe d è la distanza tra i due elettrodi, e, se il camo B r è ortogonale alla elocità e arallelo agli elettrodi, ad una forza di Lorentz di modulo e B. Ugualiando le due forze si ricaa: e F m 0 V 4 B T. d 0 Politecnico di Torino Pagina 1 di 7

2 Esercizio 5.3 Una sira rettangolare di lati a e b, ercorsa da una corrente di intensità i, è immersa in un camo magnetico uniforme B r che forma un angolo θ con la normale al iano della sira (edi figura). Determinare la forza e il momento meccanico risultanti sulla sira e la sua energia otenziale. Soluzione: I due lati di lunghezza a sono soggetti a due forze di ugual modulo F a iab, ugual direzione (ortogonale sia al camo, sia ai lati) e erso oosto. Lo stesso aiene er i lati di lunghezza b, sui quali agiscono forze di modulo F b ibb cosθ. La risultante delle forze agenti sulla sira è quindi nulla. Per calcolare il momento meccanico si osseri che la coia di forze agenti sui lati di lunghezza b ha braccio nullo, mentre quella delle forze agenti sui lati dilunghezza a ha braccio bsin θ, e quindi il momento meccanico risultante ha modulo τ iabbsinθ e tende ad allontanare i lati di lunghezza b dalla direzione del camo: Introducendo il ettore momento di diolo magnetico r ia n r µ, doe Aab è l'area della sira ed n r il ersore ad essa normale, si uò scriere la relazione ettoriale r r τ µ B r. L'energia otenziale della sira uò essere calcolata come il laoro necessario er ortare la sira da una osizione di riferimento (scegliamo θ 0 π / ) alla generica osizione caratterizzata dall'angolo θ formato dai ettori B r ed n r.si ha quindi: U θ θ r ( θ) τdθ µ Bsinθd θ µ B cosθ B µ π / π / esressione analoga a quella già nota er un diolo elettrico in camo uniforme (oure er un endolo semlice in camo graitazionale, er cui la sira arà la stessa dinamica e in articolare lo stesso eriodo). r, Politecnico di Torino Pagina di 7

3 Esercizio 5.4 La bobina di un galanometro è costituita da N sire iane di area A; essa ha un momento d'inerzia I ed è sosesa mediante un filo di torsione di costante elastica k in un camo di induzione magnetica B r ; in condizioni di rioso la normale alle sire è erendicolare a B r. π A artire dall'istante t0 nella bobina iene iniettata una corrente i i0 sin t er un T interallo di temo ari a T/. a) Suonendo che nell'interallo di temo in cui fluisce la corrente l'angolo di cui ruota la bobina sia molto iccolo, così che il momento torcente del filo sia trascurabile, calcolare la elocità angolare che la bobina ossiede all'istante t T/. b) Mostrare che l'amiezza delle oscillazioni libere che la bobina comie una olta cessato il flusso di corrente è roorzionale alla carica elettrica totale fluita nella bobina. Si trascurino gli attriti ed il coefficiente di autoinduzione e si considerino le oscillazioni di iccola amiezza. Soluzione: a) La corrente iniettata dall'istante t0 determina un moimento della sira stessa soggetta ad un momento r r τ µ B r doe r NAi n r µ Essendo n r B r si ha τ NAiB Per cui si troa I NAiB Doe θ & raresenta l'accelerazione angolare. Integrandola tra 0 e T/ si troa la elocità richiesta: T / NABi 0 π θ & sin tdt... 0 I T NABi0T Iπ b) Cessato il flusso di corrente la bobina è soggetta al momento torcente del filo, er cui si ha: Politecnico di Torino Pagina 3 di 7

4 Iθ&& kθ la cui soluzione, dello stesso tio di quella ista er una molla e er il endolo, è θ 0 ( ) θ sin ωt k k doe ω. Per cui θ& θ0 cos( ωt ). I I A t0 (cioè quando si segne la corrente) si sa, dal unto a), che θ& NABi 0 T. Iπ Abbinando le due esressioni scritte er θ & si troa che l'amiezza dell'oscillazione è: θ 0 NABi T 0 π ki Essendo inoltre Q T / idt... 0 i0t π si ottiene infine la roorzionalità tra θ 0 e Q θ 0 Q NAB ki Esercizio 5.5 Un rotone di massa m e carica +e ed una articella di massa 4m e carica +e si muoono in un camo magnetico uniforme descriendo circonferenze di uguale raggio, con elocità non relatiistica. a) Calcolare il raorto tra le elocità lineari, le elocità angolari e le energie cinetiche. b) Qualora le articelle descriessero eliche identiche, calcolare i raorti tra le comonenti arallela e erendicolare all'asse dell'elica della elocità lineare. Soluzione: a) Il raggio R della circonferenza descritto da una articella di massa m e carica q che si muoe in un camo magnetico B con elocità lineare è dato da Politecnico di Torino Pagina 4 di 7

5 m R qb Nel resente roblema le due articelle sono immerse nello stesso camo magnetico e descriono circonferenza uguali, er cui imonendo R R si troa il raorto tra le elocità lineari q m qm 4 Essendo ωr si ha che il raorto tra le elocità angolari è ω ω Infine essendo l'energia cinetica m E E E 4 b) La comonente erendicolare all'asse dell'elica si ottiene considerando la comonente del moto lungo la circonferenza, er cui: qm q m La comonente arallela all'asse dell'elica è tale da fare ercorrere alla articella un tratto π L (asso dell'elica) in un temo T, ari cioè al eriodo imiegato er ercorrere la ω circonferenza. Descriendo eliche identiche, i due assi saranno uguali, er cui: L π // L // ω π ω cioè: // // Politecnico di Torino Pagina 5 di 7

6 Esercizi roosti Esercizio Un rotone di carica + q C e massa m kg con energia cinetica E 5 MeV entra in direzione formante un angolo θ i 30 con l'asse x in una regione doe esiste un camo magnetico di induzione B 1 T, erendicolare al iano ed entrante. Calcolare: a) l'angolo θ u tra la direzione lungo la quale il rotone esce dal camo e l'asse x; b) la distanza d tra il unto di uscita Pu ed il unto di ingresso P i sull'asse x, illustrando in figura la traiettoria del rotone; c) dire se è ariata l'energia del rotone e siegare il erché. 7 θ i P i P u x B a) θ 30 ; b) d 0. 3m ; c) No u Esercizio 5.7 Un iccolo magnete con momento di diolo µ r orientato lungo l'asse x è soseso ad un filo con costante elastica torsionale k. Il momento d'inerzia del magnete risetto all'asse del filo (asse z) sia J. Qual è il eriodo T delle iccole oscillazioni torsionali del diolo allorchè esso sia inserito in una regione di camo magnetico B r diretto lungo l'asse y? Politecnico di Torino Pagina 6 di 7

7 T π J µ B + k Esercizio 5.8 Un filo metallico di massa m sciola senza attrito su due rotaie oste a distanza d. Il binario è osto in un camo di induzione magnetica B diretto erendicolarmente al iano del binario. Una corrente costante i circola dal generatore G lungo una rotaia, attraersa il filo e torna al generatore attraerso l'altra rotaia. Troare la elocità (modulo, direzione e erso) del filo in funzione del temo nell'iotesi che esso sia fermo er t0. idbt m Esercizio 5.9 Una sira rettangolare di filo ercorsa da una corrente di A è sosesa erticalmente e attaccata al iatto destro di una bilancia. Quando il sistema è bilanciato, iene introdotto in un camo magnetico esterno. Il camo agisce solamente nella arte inferiore della sira in direzione erendicolare al lato della sira. Saendo che la sira è larga 0 cm ed è necessario aggiungere una massa di 13.5 g sul iatto sinistro della bilancia er equilibrare il sistema, determinare B. B0.33 T Esercizio 5.10 Un filo rettilineo conduttore di sezione circolare costituito da un materiale di densità ari a.5 g/cm 3 è osto in un camo magnetico uniforme in modo che l'asse del filo sia erendicolare alla direzione del camo. Nel filo si stabilisce una densità di corrente di.4x10 6 A/m e si fa aumentare il camo magnetico fino a quando la forza magnetica agente sul filo bilancia esattamente quella graitazionale. Calcolare il alore di B al raggiungimento di questa condizione. B1.1 x 10-4 T Politecnico di Torino Pagina 7 di 7