meccanica dei fluidi Problemi di Fisica

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1 Problemi di isica Meccanica dei luidi

2 Equilibrio dei fluidi Comleta la seguente tabella: orza (N) uerficie (m ) Pressione (bar) Tenendo resente la definizione di ressione: e le sue formule inverse: forza alicata ressione su erficie su cui agisce la forza la tabella risulta così comletata: orza (N) uerficie (m ) Pressione (bar) ono dati volumi di una encicloedia uguali tra loro, ciascuno dei quali con massa di kg. 1. Calcola la ressione quando un volume è aoggiato sulla faccia A.. Calcola la ressione quando un volume è aoggiato sulla faccia B.. Calcola la ressione quando un volume è aoggiato sulla faccia C. 4. uonendo di dover sovraorre i tre volumi aoggiandoli su un tavolo su una faccia a tuo iacere, determina la ressione massima e minima che essi ossono esercitare. 1. La ressione esercitata dal volume quando è aoggiato sulla faccia A è data da:

3 mg 9,8 0,1 0,0 0,06 A A 544 Pa dove la forza non è altro che la forza eso esercitata dal libro sulla suerficie A.. La ressione esercitata dal volume quando è aoggiato sulla faccia B è data da: mg 9,8 0,1 0,5 0,0 B B 65 Pa dove la forza non è altro che la forza eso esercitata dal libro sulla suerficie B.. La ressione esercitata dal volume quando è aoggiato sulla faccia C è data da: mg 9,8 0,5 0,0 0,075 C C 61 Pa dove la forza non è altro che la forza eso esercitata dal libro sulla suerficie C. 4. La ressione esercitata comlessivamente dai tre volumi è massima quando questi sono aoggiati sul tavolo con la faccia A: mg 9,8 0,1 0,0 0,06 T T C 16 Pa dove la forza T non è altro che la forza eso totale esercitata dai tre volumi aoggiati sulle facce C. La ressione esercitata comlessivamente dai tre volumi è minima quando questi sono aoggiati sul tavolo con la faccia A: mg 9,8 0,5 0,0 0,075 T T C 784 Pa dove la forza T non è altro che la forza eso totale esercitata dai tre volumi aoggiati sulle facce A. Un laghetto ghiacciato uò soortare al massimo una ressione di,1 N/cm. Marco di 75 kg vorrebbe attraversarlo tenendo sulle salle suo figlio Luigi di kg. a) e l'area d'aoggio dei iedi di Marco è 40 cm ci riesce senza srofondare? Motiva la risosta. b) Quale dovrebbe essere l'area d'aoggio dei suoi iedi er riuscirci? a) La ressione esercitata da Marco con il figlio sulle salle è data da: (75 + ) 9,8 40,6 N / cm dove la forza non è altro che la forza eso esercitata da Marco e dal figlio, ecco er cui nella formula della ressione vi è la somma delle masse.

4 Poiché la ressione esercitata è maggiore di quella che il laghetto ghiacciato uò soortare, Marco e suo figlio srofonderanno. b) Dalla formula inversa della ressione ricaviamo l area di aoggio che dovrebbe avere Marco er non srofondare: (75 + ) 9,8,1 45 cm Nella formula di il valore della ressione è quello che il laghetto ghiacciato uò soortare. u una suerficie circolare con diametro di 740 mm agisce, in direzione erendicolare, una forza di 50 N. Calcola la ressione. uonendo che la forza sia distribuita uniformemente sulla suerficie, che cosa succede alla ressione se il diametro diventa la metà? La suerficie su cui agisce la forza essendo circolare si calcola come: πr,14 (0,70) 0,4m dove: R 70 mm 0,70 m Pertanto, la ressione è: e il diametro si dimezza, la suerficie diventa: Pa 0,4 πr,14 (0,185) 0,107 m e la ressione aumenta: 50 6 Pa 0,107 In articolare, senza le arossimazioni nei calcoli, si uò verificare che se il diametro dimezza, la ressione aumenta di quattro volte. Una forza di 40 N, alicata erendicolarmente su una suerficie di forma quadrata, rovoca una ressione di 500 Pa. Calcola il lato della suerficie. A artire dalla definizione di ressione ricaviamo la formula della suerficie su cui agisce la forza:

5 ,08 m Poiché la suerficie è un quadrato, dalla formula dell area ricaviamo il lato del quadrato: L L 0,08 0,8 m 8, cm Comleta la seguente tabella: Massa (kg) olume (m ) 1 0,01 0,0 0,5 Densità (kg/m ) a) Quale relazione di roorzionalità vi è tra massa e densità, a arità di volume? b) Quale relazione di roorzionalità vi è tra volume e densità, a arità di massa? Tenendo resente la definizione di densità: e le sue formule inverse: massa densità ρ volume m (1) m ρ () m ρ la tabella risulta così comletata: Massa (kg) olume (m ) 1 0,01 0,0 0,5 4 4 Densità (kg/m ) Dalla relazione (1) si ricava che tra massa e densità, a arità di volume, esiste una roorzionalità diretta. Dalla relazione () si ricava che tra volume e densità, a arità di massa, esiste una roorzionalità inversa

6 I solidi A e B hanno entrambi massa 5 kg: a) Quale dei due solidi ha maggior densità? a) Dalla definizione di densità: ρ m si ricava che, a arità di massa, il cilindro che avrà il volume iù iccolo avrà la densità maggiore. Pertanto, oiché il cilindro B ha un raggio inferiore a quello del cilindro A, il suo volume è iù iccolo e quindi ha la densità maggiore. Un gas è contenuto in un cilindro a istone mobile. Il cilindro ha un diametro di 4 cm e un'altezza di cm. La massa del gas contenuto è g. a) Qual è la densità del gas? b) e il istone si alzasse di 8 cm, quale diventerebbe la densità del gas? c) Di quanto si dovrebbe alzare il istone affinché la densità iniziale si dimezzi? a) Il volume di un cilindro si calcola come: πr h,14 0,1 0, 0,0145 m er cui, la densità del gas contenuto nel cilindro è: ρ m 0,00 0,0145 0,14 kg / m b) e il istone si alza di 8 cm la sua altezza diventa 40 cm, er cui il volume del cilindro assume il seguente valore: πr h,14 0,1 0,40 0,018 m Pertanto, ad un aumento di volume corrisonderà una diminuzione della densità del gas: ρ m 0,00 0,018 0,11kg / m c) e la densità iniziale si dimezza, ossia assume il valore 0,07 kg/m, il volume corrisondente sarà: m 0,00 ρ 0,07 0,086 m

7 e quindi, dalla formula del volume del cilindro ricaveremo di quanto s innalzerà il istone: πr h h πr 0,086,14 0,1 0,64 m 64 cm Attenzione all uso delle unità di misura. Un cilindro omogeneo di gesso con densità ρ, 10 kg/m ha un diametro di 5 cm e un altezza di 1 cm. Calcolare la sua massa. A artire dalla definizione di densità, ricaviamo la massa come formula inversa: ρ m 4 m ρ, 10,6 10 0,55kg dove il volume del cilindro di gesso va calcolato nel seguente modo: h πr h,14 (0,05) 0,1, m Attenzione all uso delle unità di misura. In un torchio idraulico due istoni searati da un fluido hanno diametro risettivamente di 5 cm e 7,5 cm. e sul rimo viene alicata una forza di 50 N, trova quale forza si trasmette al secondo istone. Quanto vale la ressione che sollecita i istoni? Il torchio idraulico, come conseguenza del rinciio di Pascal, sfrutta la seguente relazione: 1 1 da cui è ossibile ricavare, note le suerfici e la forza 1, la forza che si trasmette sul secondo istone: 0, ,4N 0,05 e dove le suerfici dei istoni, essendo circolari, si calcolano come: 1 1 πr1,14 (0,15) 0,05 m πr,14 (0,075) 0,0044 m

8 Dimensiona un cilindro di un torchio idraulico, cioè stabilisci quale deve essere il diametro, in modo tale che, se su un istone di suerficie ari a 0,05 m viene alicata una forza di 500 N, esso ossa trasmettere una forza di 9500 N. Il torchio idraulico, come conseguenza del rinciio di Pascal, sfruttando la seguente relazione: (1) 1 1 uò essere dimensionato in maniera tale che data una forza, questa uò essere trasmessa in un altra zona del fluido con un intensità maggiore. Infatti, dalla (1) ricaviamo la suerficie : ,05 0,475m Dalla formula della suerficie di un cerchio, ricaviamo il raggio e quindi il diametro che deve avere il cilindro del torchio idraulico: 0,475 πr R 0,89 m D R 0,89 0,778 m 77,8 cm π,14 Hai un reciiente cilindrico alto 1 m contenente acqua. 1. Comleta la seguente tabella dove l'altezza è quella della colonna d'acqua calcolata a artire dalla suerficie libera e non dal fondo del reciiente; Altezza (cm) 0,1 0, 0,4 0,8 Pressione (Pa). Quale tio di roorzionalità intercorre tra altezza e ressione; 1. Utilizzando la legge di tevino: ρgh e conoscendo la densità dell acqua (ρ 10 kg/m ), la tabella viene così comletata: Altezza (m) 0,1 0, 0,4 0,8 Pressione (Pa) Tra la ressione e l altezza esiste una roorzionalità diretta.

9 Il fondo di un amolla uò soortare al massimo una ressione di Pa. Quale altezza massima uò raggiungere nell'amolla una colonnina di mercurio senza che essa esloda? L altezza massima va calcolata come formula inversa della legge di tevino: ρgh h ρg ,6 10 9,81 0,075 m 7,5 cm dove ρ 1,6 10 kg/m è la densità del mercurio (valore che si trova in tabella). Determinare a quale rofondità si deve scendere nell oceano (ρ 0, kg/m ) affinché si sia soggetti a una ressione di 5, Pa. La rofondità va calcolata come formula inversa della legge di tevino: ρgh h ρg 5, , ,81 50 m Nel ole alla rofondità di 50 m dalla suerficie si registra una ressione di 1, Pa; calcolare la densità media di questa stella, saendo che l'accelerazione di gravità è 7,6 m/s. La densità va calcolata come formula inversa della legge di tevino: 1, ρgh ρ 1410 kg / m gh 7, Calcolare la ressione entro un fluido a una rofondità di 1,991 km, saendo che una massa di tale fluido ari a 510 kg occua un volume di 5 m La ressione entro il fluido alla rofondità di 1,991 km 1, l alicazione della legge di tevino: m si calcola attraverso

10 saendo che la densità del fluido è data da: ρgh 104 9, Pa 00 bar ρ m kg / m I due vasi comunicanti raresentati in figura sono occuati in arte da acqua e in arte da mercurio. aendo che la densità del mercurio è di kg/m e che la sua altezza risetto alla membrana scorrevole di searazione T è di 5 cm, determina l'altezza della colonna d'acqua necessaria er equilibrare quella di mercurio. Le ressioni esercitate dal mercurio e dall acqua sulla membrana T sono date dalla legge di tevino: acqua ρ g h ρacqua g h1 mercurio mercurio Affinché la colonna d acqua ossa equilibrare quella di mercurio deve avere un altezza che si ricava dall uguaglianza delle due ressioni: acqua mercurio ρmercurio 1,6 10 ρacqua g h1 ρmercurio g h h1 h 5 40 cm,40 m ρ 10 acqua Una alla con raggio di 4 cm viene immersa rima nell'acqua (ρ 10 kg/m ), oi nell'olio (ρ 0,9 10 kg/m ) e infine nel mercurio (ρ 1, kg/m ). Quanto valgono le sinte di Archimede che i risettivi fluidi esercitano su di essa? Il rinciio di Archimede, in forma matematica, si esrime attraverso la seguente formula: A ρ g dove: q A sinta di Archimede; ρ densità del fluido; g accelerazione di gravità; volume del fluido sostato

11 Pertanto, alicando la (1) ai vari liquidi nei quali la alla è immersa, si ottengono le seguenti sinte: 4 acqua 10 9,81,68 10,6N 4 olio 0,9 10 9,81,68 10,4N 4 4 mercurio 1, ,81, ,8N dove il volume della alla, che è una sfera, si calcola come: 4 πr 4,14 0,04, m ono date due sfere A e B entrambe di volume 1 m. La sfera A è di ferro, B è d'oro. 1. e vengono immerse in acqua ricevono la stessa sinta? Motiva la risosta.. e A viene immersa nella benzina, riceve la stessa sinta che riceveva in acqua?. Calcola la sinta che riceve A rima in acqua e oi nella benzina. 1. Il rinciio di Archimede, in forma matematica, si esrime attraverso la seguente formula: A ρ g er cui, le sfere A e B riceveranno la stessa sinta se vengono immerse in acqua in quanto hanno lo stesso volume, sono sottooste alla stessa accelerazione di gravità g e sono immerse nello stesso liquido ρ.. e A viene immersa nella benzina riceverà una sinta minore di quella che riceveva in acqua, in quanto a arità di volume, la densità della benzina (ρ 0,70 10 kg/m ) è inferiore a quella dell acqua.. Calcoliamo le sinte ricevute da A rima in acqua e oi nella benzina: acqua benzina ρ g 10 9, N ρ g 0, , N Calcolare la densità di un fluido, saendo che immergendo in esso un coro di volume ari a 64 cm, quest ultimo subisce una sinta verso l alto di 0,70 N. A artire dalla formula che esrime il rinciio di Archimede, calcoliamo la densità del fluido come formula inversa:

12 A 0,70 A ρ g ρ 1115 kg / m g 6 9, dove: 1 cm 10-6 m Abbiamo misurato che una sfera, il cui raggio è di cm, riceve, se immersa in acqua, una sinta verso l'alto di 0,18 N. tabilire, motivando la risosta, se ci troviamo sulla suerficie della Terra oure su una base osta sulla Luna. Per stabilire in che luogo ci troviamo, sulla Terra o sulla Luna, dobbiamo calcolare l accelerazione di gravità a cui è soggetta la sfera. Pertanto, dalla formula che esrime il rinciio di Archimede, calcoliamo g: A 0,18 A ρ g g 1,6 m / s ρ ,1 10 dove: sfera 4 πr 4,14 0,0 1, m Dal valore ricavato ossiamo affermare che ci troviamo sulla Luna, infatti: g luna 1 6 g terra 1 9,81 1,64 m / s 6

13 Dinamica dei fluidi L aorta di un adulto ha un raggio do 1,0 cm e una ortata di 6,0 dm /min. Qual è, in essa, la velocità del flusso sanguigno? aendo che la velocità del sangue nelle arterie direttamente alimentate dall aorta è uguale a 5,0 cm/s, qual è l area della sezione trasvresale comlessiva di tali arterie? La sezione trasversale dell aorta, arossimabile a un cerchio, vale: πr,14 0, 010 0, 014 m Dalla definizione di ortata, ricaviamo la velocità del sangue nell aorta: Q v v Q 1, , 014 0, m / s dove Q 6, 0dm / min 1, m / s Per l equazione di continuità, detta l area della sezione trasversale comlessiva delle arterie alimentate dall aorta, nelle quali è nota la velocità v con cui scorre il sangue, si ha: v! v!! v 0, 0, 014 v! 0, 050, 0 10 m Un aneurisma è una dilatazione localizzata di un vaso sanguigno dovuta a un alterazione della sua arete. uoniamo che in una certa zona l area della sezione trasversale di un arteria sia 1,5 volte maggiore del normale e che la velocità del sangue nei tratti non alterati della stessa arteria sia di 0,0 m/s. Assumendo che l arteria sia orizzontale e saendo che la densità del sangue è ari a 1,0610 kg/m, qual è la differenza fra la ressione nell aneurisma e la ressione nella arte sana dell arteria? e nella arte sana dell arteria il sangue attraversa con velocità v 0 un area 0 che nell aneurisma si dilata al valore, dall equazione di continuità segue che nell aneurisma la velocità v del flusso sanguigno è:

14 0 v 0 v v v 0 0 0, 0 1, 5 0,1m / s dove 0 1, , 5 Poichè l arteria è orizzontale, ossiamo alicare l equazione di Bernouilli, in cui mancherà il termine dhg, er determinare la differenza fra la ressione nell aneurisma e la ressione 0 nella zona non alterata: + 1 dv dv 0 Δ 0 1 d(v 0 v ) 1 1, (0, 0 0,1 ) 1 Pa Riflettiamo sul risultato La differenza di ressione è ositiva, cioè la ressione nell aneurisma è maggiore di quella nella zona non alterata. Pertanto, l eccesso di ressione sottoone a uno sforzo addizionale il tessuto già indebolito della arete dell arteria, con conseguente rottura. Cosa ci asettiamo in una stenosi (restringimento dell arteria)? Una variazione di ressione negativa. In un tino la suerficie libera del vino è a,68 m da terra. Nella arte bassa del tino, a 1,15 m da terra, c è un aertura chiusa con un tao. Calcolare la velocità con cui il vino esce dall aertura se si toglie il tao (oniamo g10 m/s ) Il vino, come gli altri liquidi, soddisfa le condizioni di alicabilità dell equazione di Bernouilli. Poniamo: Ø Asuerficie sueriore del vino nel tino; Ø v A 0 (il reciiente è grande e il foro alla base è iccolo: la velocità con cui diminuisce il livello sueriore del vino è trascurabile); Ø A 0 (sulla suerficie del vino agisce la ressione atmosferica 0 ); Ø y A,68 m Ø Bsuerficie del foro alla base del tino; Ø v B v (è l incognita del roblema) Ø B 0 (è la ressione che agisce su B dall esterno; la variazione di ressione atmosferica tra la quota A e quella B è trascurabile); Ø y A 1,15 m. Alichiamo l equazione di Bernouilli: A + 1 dv A + dgy A B + 1 dv B + dgy B che diventa!!!! dgy A 1 dv + dgy B Dall equazione finale, ricaviamo la nostra incognita v, ossia la velocità con cui il vino esce dal foro B: v g(y A y B ) 10(, 68 1,15) 7m / s

15 Un contenitore è riemito d acqua fino a un altezza d,0 m. A un altezza h70 cm risetto a terra, vi è un foro dal quale fuoriesce dell acqua. Calcolare la distanza orizzontale del unto di caduta dell acqua daslla base del contenitore. Utilizziamo il risultato dell esercizio recedente, che va sotto il nome di legge di Torricelli, er calcolare la velocità dell acqua quando fuoriesce dal foro: v g(d h) 10(,0 0, 70) 5, 7m / s Le leggi del moto del roiettile con velocità orizzontale, ci consentono di calcolare la distanza orizzontale x:! x vt # " y 1 gt $ # Ricaviamo il temo dalla seconda equazione: t h g e sostituiamolo nella rima, insieme all esressione della velocità ricavata recedentemente: x g(d h) h g h g(d h) 4h(d h) h(d h) g ostituendo i dati nell equazione finale trovata, otteniamo: x 0, 70(,0 0, 70),1 m Il 16 settembre 004 l uragano Ivan, roveniente dal mare dei Caraibi, giunse sulle coste dell Alabama, negli UA, con venti che raggiungevano la velocità di 54,0 m/s (circa 00 km/h). e questo vento soffia al di sora del tetto di una casa, quanto vale la differenza di ressione atmosferica tra l esterno dell abitazione e il suo interno? (la densità dell aria vale 1,9 kg/m ). Il vento soffia in orizzontale e l aria che lo forma non è soggetta a forze che ossono comrimerla (fluido incomressibile). iamo nelle condizioni di alicabilità dell equazione di Bernouilli.

16 Poniamo: Ø Azona sora il tetto della casa Ø B zona interna della casa Ø v B 0 (velocità nulla dell aria all interno della casa) Alichiamo l equazione di Bernouilli: A + 1 dv A B + 1 v B Δ A B 1 d(v B v A ) 1 1, 9(0 54, 0 ) 1,88 10 Pa Analisi del risultato La differenza di ressione ottenuta è negativa. Ciò significa che la ressione che si esercita sul tetto dall inetrno (cioè dal basso) è maggiore di quella che agisce dall alto. In articolare, con questa velocità del vento ogni metro quadrato del tetto è sottoosto a una forza verso l alto ari a: Δ A Δ A 1, ,88 10 N i tratta di una forza che uò fare eslodere il tetto verso l alto al assare dell uragano, erchè è maggiore della forza eso P che agisce su un metro quadrato di tetto. Infatti, tenendo resente che tiicamente il tetto ha una massa di 100 kg/m, abbiamo: P mg N Quindi: > P Questo esercizio ci consente di risondere erchè nella arte osteriore delle automobili di formula 1 si mettono degli alettoni che hanno il rofili di un ala rovesciata. Dell'acqua scorre in un condotto orizzontale di sezione A5,0 cm², che si restringe successivamente ad una sezione a,5 cm². Conoscere le condizioni del liquido, significa conoscere ressione e velocità rima ( 1 e v 1 ) e doo ( e v ) la strozzatura del condotto. Allora, noti 1 0,06 atm e v 1 90,0 cm/s, determinare e v Le variabili del roblema sono quattro: le ressioni e le velocità rima e doo la strozzatura. Di queste, due sono note, fornite come dati del roblema, due incognite. Per un roblema a due incognite occorrono due equazioni: nel nostro caso, avendo a che fare con un liquido ideale incomrimibile, usiamo l'equazione di continuità e quella di Bernoulli, alicate al caso articolare di un condotto orizzontale er il quale non vi sono quindi variazioni di quota:

17 ! dv dv # " $ # Av 1 av Inserendo i dati del roblema, con un ò di algebra, si ossono ricavare le variabili incognite. Innanzitutto esrimiamo le grandezze fisiche in gioco attraverso le unità di misura del I: 1 0, 06atm 0, 06 1, , Pa v 1 90, 0cm / s 0, 90m / s A 5, 0cm 5, m a, 5cm, m d acqua 10 kg / m Quindi: # 0, , % v $ % & , 9, v Dalla seconda equazione ricaviamo v : v , 9 1, 9m / s 4, 5 10 che sostituiamo nella rima equazione er ricavare l altra incognita : 0, , ,8 10 0, (0, 41 0,8) 10 6,1 10 0, , Pa 0, Pa 0, 057atm In definitiva:! 1 0, 06 atm " # v 1 90, 0cm / s! 0, 057 atm " # v 19cm / s