Indice. A Richiami 1 A.1 Richiami di semplici espressioni matematiche... 1 A.2 Richiami di onde piane... 2 A.3 Sovrapposizione di onde piane...

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1 Indice Indice i A Richiami 1 A.1 Richiami di semplici espressioni matematiche A.2 Richiami di onde piane A.3 Sovrapposizione di onde piane i

2 Appendice A Richiami A.1 Richiami di semplici espressioni matematiche y r θ P Come ben noto, nel campo complesso valgono le seguenti relazioni: x z = x + i y { x = r cosθ y = r sin θ z = r (cosθ + i sin θ) dove: r = x 2 + y 2 : è il modulo di z; θ: argomento di z. Si può scrivere ancora: z = r e i θ dove vale: e i θ = cosθ + i sin θ e i θ = cosθ i sin θ da queste si possono calcolare le espressioni per il sinθ e per il cosθ, cha saranno: sin θ = 1 2i ( e i θ e i θ) cosθ = 1 2 ( e i θ i + e θ) Infine, dal teorema di De Moivre, si ha: (cosθ + i sin θ) n = cosnθ + i sin n θ 1

3 Per quanto riguarda gli esponenti abbiamo: a p a p a q = a p+q a q = ap q (a p ) q = a p q a = 1 con a a p = 1 a p (a b) p = a p b p 1 n a = a n n am = a m n n a n a b = n b r 1 e i θ1 r 2 e i θ2 = r 1 r 2 e i(θ1+θ2) r 1 e i θ1 r 2 e i = r 1 e i (θ1 θ2) ( θ2 r 2 r e i θ ) p = r p e i p θ A.2 Richiami di onde piane Come ben noto, l equazione di un onda piana che proceda sul fluido a velocità V ha una forma generale del tipo: con: A: ampiezza dell onda; ζ(x, t) = A cos(k x ω t + ε) ε: angolo di fase arbitrario (ε = in x = ); ω: frequenza dell onda. Il parametro k è detto numero d onda, è pari a: k = ω V ed individua il numero delle onde che si individuano lungo l asse di propagazione x. Si ha ancora: k = 2π λ dove la lunghezza d onda λ è la distanza tra due punti successivi d onda caratterizzati dalla stessa fase. Per quest onda si ricava il potenziale Φ: dove: k = ω2 g ; Φ = g A ω ek y sin k x ω t T = 2π ω : periodo dell onda; V = ω k = g ω = g k = g λ 2π : celerità dell onda in fondale illimitato. Le componenti della velocità d onda sono: u = Φ x = ω Aek y cos(k x ω t) v = Φ y = ω Aek y sin (k x ω t) 2

4 A.3 Sovrapposizione di onde piane Le onde piane ora richiamate, formate da una specifico numero di componenti monocromatiche, di frequenza ω e numero d onda k, si muovono lungo la direzione x. Il loro profilo ondoso è rappresentato dalla: ζ = A cos(k x + ω t) (A.1) e corrisponde ad un onda piana che si muove in direzione negativa x; per tale ragione alla precedente espressione (k x ω t) si sostituisce la (k x + ω t). In senso generale un onda può spostarsi in un piano lungo direzioni arbitrarie, che formano un angolo θ con l asse x di un piano xz. Ruotando opportunamente il sistema di assi coordinati ed ipotizzando che la direzione x coincide con quella di propagazione dell onda, si ha: x = x cosθ + z sin θ per cui la generalizzazione dell espressione A.1 è data da: ζ = A cos(k x cosθ + k z sin θ ω t) (A.2) Espressioni analoghe possono essere derivate pure per il potenziale di velocità. Ipotizzando di comporre due onde stazionarie, sovrapponendo onde che si spostano in direzioni opposte si ricava: ζ = A cos(k x ω t) + A cos(k x + ω t) = 2A cosk x cosω t (A.3) mentre il potenziale di velocità è: Φ = 2g A ω ek y cosk x sinω t Se realizziamo invece una composizione di onde oblique abbiamo (per due onde soltanto): ζ = A cos(k x cosθ + k z sin θ ω t) + A cos(k x cosθ k z sin θ + ω t) = = 2A cos(k x cosθ) cos(k z sin θ ω t) (A.4) 3

5 Se il numero totale delle onde componenti è pari ad N, con N, mentre le differenze tra le frequenze adiacenti ed i numeri d onda tendono a, si passa da una sommatoria del tipo (valida per onde con θ = ): ad una espressione: ζ = ζ(x, t) = Re N Re [A n exp( i k n x + i ω n t)] n=1 + A(ω) exp [ i k(ω)x + i ω t] dω Estendendo il sistema ondoso al piano xz, con θ, si ottiene una rappresentazione del tipo: ζ(x, z, t) = Re d ω 2π d θ A(ω, θ)exp [ i k(ω)(x cosθ + z sin θ) + i ω t] (A.5) Quest espressione può essere usata per analizzare la formazione ondosa prodotta da una carena in moto; può essere utilizzata pure per rappresentare lo spettro energetico di onde oceaniche. L espressione A.5 può essere interpretata pure come un integrale di Fourier a due dimensioni. Volendo utilizzarla per una carena in moto (V = cost),ma trasferita ad un sistema di coordinate cartesiane in moto con la nave, assumendo la direzione positiva x con quella della direzione di avanzamento della nave; l ascissa x è sostituita pertanto con x + v t. Si ha allora: ζ(x, z, t) = Re d ω 2π d θ A(ω, θ)exp [ i k(ω)(x cosθ + z sin θ) + i (ω k V cosθ) t] (A.6) Se il moto è stazionario, l espressione A.6 è indipendente dal tempo. Ciò impone che sia: k V cosθ ω = (A.7) che è equivalente ad ipotizzare che la velocità di fase V P delle singole componenti ondose sia data da: V P = ω k = V cosθ (A.8) In tal senso si può supporre che un sistema ondoso piano, che si muove ad un angolo obliquo θ ristretto all asse x (vedi figura A, foglio 3) appaia stazionario ad un osservatore che si muove lungo l asse x a velocità V P secθ. La condizione A.8 può essere usata per eliminare una delle variabili d integrazione dell equazione A.6. Conservando l angolo θ e rilevando che l espressione?? e la A.8 impongono che sia cos θ >, possiamo sostituire l espressione A.5 con: con: ζ(x, z, t) = Re 2π d θ A(ω, θ)exp [ i k(ω)(x cosθ + z sin θ)] k(θ) = g V 2 cos2 θ (A.9) (A.1) 4

6 L espressione A.9 è nota come distribuzione delle onde libere generate da una nave; è caratterizzata da un ampiezza A(θ) e da una fase. Allontanandosi notevolmente a poppavia della nave, l espressione A.9 si può semplificare ulteriormente e riprodurre il classico modello nave-onda, come derivato del Kelvin. Questo modello sarà utilizzato congiuntamente al concetto della velocità di gruppo V g. Dai concetti già noti, si sa che la velocità di gruppo è data da: V g = d ω d k Poiché la distribuzione di onde libere (espressione A.6) si identifica in una variazione lenta del sistema di onde bidimensionali, lo spesso risultato dovrà valere pure per tale distribuzione. Quindi se x è la coordinata locale (Figura A), normale alle linee delle creste ondose, le onde significative viaggeranno in gruppo in maniera che x t = V g sarà determinato con: d d k (k x ω t) = (A.11) Se quest espressione di derivazione della fase delle onde locali è adattato per l espressione A.9, le onde significative dovranno soddisfare all equazione: d [k(θ)(x cosθ + z sin θ)] = d k (A.12) Poiché k e θ sono legati dall equazione A.1, l annullamento dell espressione A.1 è equivalente alla condizione: ( ) d x cosθ + z sin θ dθ cos 2 = (A.13) θ eccetto che nei punti isolati θ =, θ = ± π 2, dove d θ d R è nullo o infinito. Ignorando questi punti di singolarità e calcolando le derivate dell espressione A.13, si ottiene: x sec 2 θ sinθ + z sec 3 θ ( 1 + sin 2 θ ) = (A.14) Quindi le componenti più significative, che si muovono in direzione θ, si troveranno lungo la direzione radiale: z sin θ = cosθ x 1 + sin 2 θ (A.15) Una rappresentazione dell espressione A.15 è riportata in figura B; si rileva immediatamente che il massimo valore di z x si ha per: z x = = tan (19 28 ) Questo massimo si verifica quando l angolo θ è pari a: (A.16) θ = ± sin 1 ( 1 3 ) = ±35 16 Ne viene allora che le onde generate sono racchiuse entro un settore simmetrico rispetto all asse x, definito da due semiangoli di All interno di 5

7 questo settore, per un dato punto (x, z) ed il rispettivo rapporto z x, esistono due soluzioni dell espressione A.15. Quindi due onde con distinti angoli θ si muovono in diverse direzioni. Imponendo che la funzione di fase dell espressione A.13 sia costante, si può calcolare il luogo delle creste (figura C). Le onde sull asse x si muovono nella stessa direzione (ma negativa) x, con θ =, come nel caso bidimensionale. Aumentando la coordinata laterale z, cambia l angolo delle onde trasversali, in accordo con l espressione A.15, raggiungendo un valore di ±35 16 al contorno. Ai più grandi valori di θ corrispondono le onde divergenti. Sulla linea del contorno, dove questi due sistemi ondosi si uniscono con un angolo comune di ±35 16, questi differiscono per un angolo di fase di