Consideriamo come piena solo l innalzamento del livello causato da un aumento delle portate nel corso d acqua considerato.

Dimensione: px

Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "Consideriamo come piena solo l innalzamento del livello causato da un aumento delle portate nel corso d acqua considerato."

Pasquale Natale
7 anni fa
Visualizzazioni

1 Propagazione delle piene: generalità Consideriamo come piena solo l innalzamento del livello causato da un aumento delle portate nel corso d acqua considerato. La propagazione dell onda di piena dipende da forze agenti (gravità e resistenza) geometria dell alveo Casi estremi (trasparente): traslazione dell onda di piena laminazione in un lago Modelli matematici Definiscono in ogni istante e in ogni sezione portata e altezza d acqua. Modelli concettuali ed empirici. Importanza della taratura, non sempre necessaria ma estremamente utile. La taratura aiuta a superare le difficoltà costituite dalla descrizione della geometria e della scabrezza dell alveo. Equazioni di De Saint Venant La corrente si assume gradualmente variata. Le sezioni trasversali si assumono piane e verticali. La corrente si schematizza come monodimensionale (riferimento al punto di mezzo in condizioni di alveo pieno). L alveo si assume rigido. Equazioni (trasparente). Due variabili: una geometrica (scelta tra quota del pelo libero z rispetto a un riferimento orizzontale, quota del pelo libero h rispetto al punto più basso della sezione e area A della sezione) e una cinematica (scelta tra velocità V e portata Q). Relazione tra derivata parziale di A rispetto al tempo e derivata parziale di z rispetto al tempo (trasparente). Risoluzione delle equazioni di De Saint Venant Sistema di due equazioni differenziali alle derivate parziali del primo ordine non lineari. La risoluzione del sistema richiede la conoscenza delle condizioni iniziali nell intero tronco di due condizioni al contorno Una delle due condizioni al contorno è l andamento dell onda di piena nella sezione iniziale. Nel caso di corrente lenta l altra relazione è l andamento delle altezze d acqua nella sezione finale (oppure la relazione tra portate e livelli). Approssimazione delle derivate parziali con rapporti incrementali o con medie di rapporti incrementali (tecnica delle differenze finite). Esempio semplice (trasparente).

2 La tecnica delle differenze finite implica la discretizzazione. Si sostituiscono le equazioni differenziali, che si riferiscono a un qualsiasi punto del piano cinematico, con equazioni algebriche, che riferiscono a insiemi definiti di nodi di una griglia (trasparente). Il passo di tempo è costante, il passo spaziale dipende dal rilievo dell alveo. Il numero di nodi considerati in ogni equazione dipende dal tipo di approssimazione delle derivate che si adotta. La soluzione è il limite a cui tende la soluzione del sistema algebrico quando il passo di tempo e il passo spaziale tendono a zero. Due metodi di soluzione: metodi espliciti e metodi impliciti. Nei metodi impliciti le derivate spaziali sono approssimate con espressioni che contengono valori delle variabili ancora incogniti all istante a cui si riferisce il calcolo. I metodi impliciti sarebbero incondizionatamente stabili se i coefficienti fossero costanti. Semplificazione delle equazioni di De Saint Venant Equazione dell energia del completo, scritta in funzione di z (trasparente). Modello parabolico scritto in funzione di z (trasparente). Esplicitazione di Q in funzione di z e della derivata di z rispetto a x (trasparente). Modello parabolico scritto in funzione di h (trasparente). Modello cinematico scritto in funzione di z (trasparente). Modello parabolico in funzione di h (trasparente) e trasformazione nel modello cinematico (trasparente).

4 Equazioni di De Saint Vénant Q x + A = 0 H x + 1 g V + J = 0

5 z dz B z = 0 d A Relazione tra larghezza superficiale B, area A e quota del pelo libero z di una sezione trasversale

6 da = Bdz da dz = B Poichè in generale la sezione varia al variare di x, si deve scrivere A z = B (derivata parziale) Quindi A = A z z = B z Quindi l'equazione di continuità si può scrivere nella forma Q x + B z = 0

7 Approssimazione delle derivate parziali h x h(x + x, t) - h(x, t) x h h(x, t + t) - h(x, t) t

9 L'equazione dell'energia H x + 1 g V + J = 0 essendo H = z + V2 2g si può riscrivere nella forma z x + x V 2 2g + 1 g V + J = 0 da cui z x + V g V x + 1 g V + J = 0

10 Trascurando i termini con le derivate della velocità, l'equazione dell'energia si riscrive nella forma semplificata z x + J = 0 Si ottiene così il modello parabolico Q x + B z = 0 z x + J = 0

11 La perdita specifica di energia J della corrente è legata alle altre grandezze caratteristiche del moto dalla relazione di Chézy Q = AV = Aχ RJ (o da un'altra formula di resistenza). A, χ ed R sono funzioni di z. Quindi Q = f(z, J) L'equazione dell'energia semplificata fornisce J = - z x Quindi Q = f(z, z x )

12 Forma alternativa del modello parabolico Sostituzione di h a z h = z - z 0 h x = z x + i (i pendenza del fondo) Sostituendo nell'equazione del moto h x = i - J Quindi il modello parabolico assume la forma Q x + B h = 0 h x = i - J

13 Modello cinematico J è funzione di Q e - attraverso il raggio idraulico R - di z Allora l'equazione del moto si può riscrivere nella forma Q = f(z, z x ) In condizioni di moto permanente si può assumere Q = f(z) Assumendo valida la relazione di moto permanente si ha il modello cinematico Q x + B z = 0 Q = f(z)

14 Modello parabolico Q x + B h = 0 h x = i - J

15 Forma alternativa del modello cinematico Se nel modello parabolico si assume che h/ x sia trascurabile rispetto a i si ottiene i = J Questo è un modello cinematico Osservazione: l'assunzione i = J (scala delle portate di moto uniforme) è più restrittiva dell'assunzione Q = f(z) (scala delle portate)

Documenti analoghi

Moto vario nelle correnti a superficie libera Nozione elementare di onda In termini generali un'onda consiste nella propagazione di un segnale

1 Moto vario nelle correnti a superficie libera Nozione elementare di onda In termini generali un'onda consiste nella propagazione di un segnale attraverso un mezzo (nella fattispecie un liquido) con una