Equazioni differenziali. Elisabetta Colombo

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1 Corso di Approfondimenti di Matematica per Biotecnologie, Anno Accademico ,

2 Inversa Eq. diff. 1

3 Un equazione differenziale e un equazione che esprime un legame tra una variabile indipendente x (o t, quando ci riferiamo al tempo) una variabile dipendente y o incognita che sta per una funzione y = y(x) dipendente da x una o piu derivate dalla funzione incognita y (x), y (x),... Esempio y = 2xy

4 Una soluzione di un equazione differenziale e una funzione y = f (x) tale che, sostituita insieme alle sue derivate a y(x), y (x), y (x),... nell equazione differenziale, da un identita per ogni valore di x nel suo dominio di definizione. Esempio Consideriamo y = e x 2 da cui (per la regola di derivazione della funzione composta) y = e x 2 ( 2x). Facendo la sostituzione in y = 2xy si ottiene che effettivamente y = e x 2 e una soluzione del equazione differenziale dell esempio precedente. D altra parte anche la funzione y = 0 e una soluzione. Anche y = ce x 2 con c R, e tale che y = 2xce x 2 quindi anche tale funzione e una soluzione.

5 Invece y = x 3 ha y = 3x 2 2x ( x 3 ) quindi y = x 3 non e una soluzione. Nemmeno y = e 2x, ( y = 2e 2x ) e soluzione. Alcune osservazioni preliminari: In un equazione differenziale la variabile indipendente puo avere anche non apparire esplicitamente.deve invece comparire esplicitamente almeno una delle derivate di y = y(x) Esempio In y sin x = 0 non compare esplicitamente y. In y + y = 0 non compare esplicitamente x e non compare y.

6 Un equazione differenziale di dice di ordine n se in essa compare una derivata n-esima ma non derivate di ordine superiore Esempio y sin x = 0 e di ordine 1. I y + y = 0 e di ordine 2. y y IV = y e di ordine 4

7 Un esempio molto semplice di equazione differenziale si ottiene considerando equazioni di ordine 1 in cui non compare y. y = f (x) con f (x) funzione della sola x. Le soluzioni in questo caso si ottengono semplicemente per integrazione. In fatti se F(x) + c e una primitva allora per definizione la funzione y = F(x) + c e una soluzione. NOTA La teoria delle equazioni e una sorta di generalizzazione della teoria dell integrazione. Ma in generale pero non sempre un equazione differenziale e risolubile con una o piu operazioni di semplice integrazione.

8 NOTA Numerosi problemi di interesse applicativo si traducono in equazioni Esempio (moto lungo una retta a velocita costante) assumiamo come variabile indipendente il tempo t. Sia y = y(t) la posizione del corpo o del punto lungo la retta in cui si muove con velocita costante b. la velocita al tempo t e y (t) e la legge del moto a velocita costante b e l equazione differenziale y = b Questa e un equazione differenziale che posso risolvere per integrazione ottenendo tutte le soluzioni: y = bt + k al variare di k

9 Esempio (moto lungo una retta a accelerazione costante, dovuto ad esempio alla forza di gravita ) assumiamo come variabile indipendente il tempo t. Sia y = y(t) la posizione del corpo o del punto lungo la retta in cui si muove con accelarazione costante a (ad esempio l accelerazione di gravita a = g, se oriento la retta verticale del moto verso l alto) l accelerazione al tempo t e y (t) in questo caso la legge del moto e l equazione differenziale y = g le soluzioni sono tutte e solo le funzioni y = g t2 2 + kt + h al variare di k e h. (infatti da y (t) = g, integrando si ottiene y (t) = y (t)dt = gt + k e integrando di nuovo y = y (t)dt = ( gt + k) dt = g t2 2 + kt + h

10 Esempio (moto lungo una retta in presenza di attrito) Supponiamo che il corpo si muova sempre lungo una retta sotto l azione della forza di gravita e con l azione di una forza di attrito. La forza di attrito e schematizzabile come una forza diretta nel verso opposto a quello del moto e proporzionale alla velocita. (La costante di proporzioonalita h dipende dalla forma, dalla massa e dal mezzo in cui si muove il corpo). L equazione differenziale relativa al moto e quindi: y = g hy / con h > 0.

11 (si noti che e un equazione di ordine 2 e nella soluzione compaiono 2 inderminate) Esempio (oscillatore armonico) Supponiamo che il punto si muova lungo una retta in assenza di attrito e forza di gravita ma sotto l effetto di una forza elastica diretta verso l origine del sistema di riferimento e di intensita proporzionale alla distanza dall origine. (L accelerazione e dedotta dalla forza). La legge del moto si traduce quindi nell espressione: y = ky ( ) ( ) la soluzione generale e y(t) = A sin kt + B cos kt verifico che si tratta di una soluzione y (t) = A ( ) k cos kt B ( ) k sin kt ( ) ( ) y (t) = Ak sin kt Bk cos kt = ky(t)

12 Quali delle seguenti funzioni sono soluzioni della seguente equazione differenziale y y = e x cos x (a)y = sin x (b)y = cos x (c)y = e x sin x (d)y = e x cos x (e)y = e x (2 + sin x) (a)y = sin x y = cos x cos x sin x e x cos x (b)y = cos x y = sin x sin x cos x e x cos x (c))y = e x sin x y = e x sin x + e x cos x e x sin x + e x cos x e x sin x = e x cos x!!!

13 (d)y = e x cos x y = e x cos x e x sin x e x cos x e x sin x e x cos x = e x sin x e x cos x (e)y = e x (2 + sin x) y = e x (2 + sin x) + e x (cos x) e x (2 + sin x) + e x (cos x) e x (2 + sin x) = e x (cos x)! D altra parte abbiamo visto che y = Ae x e soluzione di y y = 0 quindi y = Ae x + e x sin x e soluzione per ogni A