Equazioni differenziali

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1 Spesso una teoria biologica (o chimica o fisica) suggerisce una relazione tra una certa quantità, oggetto di studio e la sua variazione. Una equazione differenziale è una equazione in cui l incognita non è un numero ma una funzione (equazione funzionale) e della funzione incognita compaiono nell equazione delle sue derivate. Esempio 1:Crescita (o decrescita) di una popolazione N(t) denota il numero di individui presenti nella popolazione al tempo t N (t) = rn(t), t 0 (1)

2 Esempio 2: y (x) +y (x) = xy equazione differenziale del secondo ordine Esempio 3: y'' = -ω 2 y la forza esercitata su un oggetto di massa m attaccato ad una molla allungata di lunghezza y rispetto alla posizione di riposo è F = -ky, per un'opportuna costante positiva k. Ricordando F = my'' otteniamo l equazione con ω 2 =k/m

3 Equazione differenziale ordinaria F(x,y,y,.,y (n) )=0 Esistono soluzioni? Quali condizioni assicurano l unicità della soluzione? Esempio: L equazione differenziale (y -1) 2 + y 2 =0 non ha soluzioni

4 Teorema di Cauchy Assegnati x 0 R ed n numeri reali y 0, y 0, y 0 (n-1), esiste ε>0 tale che il problema y (n) =G(x,y,y,., y (n-1) ) y(x 0 )=y 0, y (x 0 )= y 0,, y (n-1) (x 0 )= y 0 (n-1) ammette un unica soluzione y definita in un intervallo (x 0 -ε, x 0 +ε)

5 In generale diremo equazione differenziale del primo ordine una equazione che si presenta nel modo seguente y (x) = f(x, y(x)) Il caso più semplice che si può presentare è y (x)=f(x) Problema che abbiamo già incontrato nella ricerca delle primitive di una funzione Esempio: y (x) = 1/x, definita per x 0, sappiamo che y(x)=ln x +c, quindi l equazione ha infinite soluzioni, anch esse definite per x 0. Ponendo la condizione y(1)=2, troviamo l unica soluzione y(x)= ln x +2

6 Supponiamo che il volume di una cellula vari nel tempo nel modo seguente V (t) = sint con la condizione che al tempo t=0 il volume sia 3, vale a dire V(0)=3 Otteniamo l insieme delle soluzioni V(t)= -cost +c da cui, imponendo la condizione iniziale, si ha l unica soluzione V(t) =-cost +4

7 Se f(x,y(x))=h(x)g(y), diremo che l equazione differenziale è a variabili separabili y (x)=h(x)g(y) Posto g(y) 0, dividiamo ambo i membri dell equazione per g(y), si ottiene y (x)/g(y)=h(x) Ricordiamoci che y dipende da x, quindi y (x)/g(y(x)) = h(x)

8 Integriamo ambo i membri rispetto ad x, si ha 1/g(y(x)) y (x)dx = h(x)dx Ricordando la tecnica di integrazione per sostituzione, si ha 1/g(y)dy = h(x)dx Dove si è posto y=y(x) Esempio: N (t)=rn(t) Dividiamo ambo i membri per N(t), si ha N (t)/n(t) =r, da cui integrando N (t)/n(t) dt = r dt e quindi 1/N dn = r dt ln(n)=rt+c ed infine N(t)=ke rt, dove si è posto k=e c

9 Equazione di von Bertalanffy Crescita di un pesce. Sia L(t) la lunghezza del pesce all'età t e supponiamo L(0) = L 0 dl dt = k(a! L) A è una costante positiva, e supponiamo L 0 < A $ # dl "!!A!!!L = " $!k!dt da cui C = A! L 0, A! L = C e!kt, poichè L(0) = L 0, otteniamo quindi la soluzione & ' & ' L(t) = A % 1!!! ( )* % 1!-! L 0 A ( )* e-kt

10 Caso g(y) =k(y!a)(y!b) dy dx = k(y!a)(y!b) dove k,a,b sono costanti Osserviamo che le funzioni costanti y(x)= a, y(x) = b sono soluzioni dell'equazione Posto y! a, b, dividiamo ambo i membri per (y!a)(y!b) e integriamo $ # dy ""(y!a)(y!b) = " $ "k"dx se a=b si ha! 1 y"!"a = kx + c, da cui y = a! 1 kx"+"c

11 se a!b cerchiamo due costanti A e B tali che 1 (y!a)(y!b) = A y!a + B y!b da cui A = 1 a!b, B =! 1 a!b e quindi 1 (y!a)(y!b) = 1 a!b " #$ 1 y!a "!" 1 y!b " % &', integrando * ) (" dy (y!a)(y!b) = 1 a!b ( )* " #$ 1 y!a "!" 1 y!b " % &' "dy

12 1 a!b (ln y - a - ln y-b ) = kx + c passando all'esponenziale y!a y!b = C ek(a-b)x e quindi ricavando y, y = a!bcek(a-b)x 1!Ce k(a-b)x

13 ESEMPIO : EQUAZIONE LOGISTICA dn dt = rn! "# 1!'! N K $ %& In questo caso il tasso pro capite di crescita 1 N dn dt è funzione linearmente decrescente della numerosità delllla popolazione la costante K è detta "carrying capacity" si ottengono le soluzioni N(t) = K!1!'!e -rt /C, poichè N(0)=N 0 = CK!C-1 determiniamo C = N 0 N 0!-!K

14 ESEMPIO : CRESCITA ALLOMETRICA Ci sono relazioni tipiche fra le grandezze di parti di un organismo, ad esempio tra lunghezza del cranio e lungh ezza del corpo, o area di una foglia e diametro dl picciolo. Indichiamo con L 1 (t) e L 2 (t) le grandezze di due organi di un indiviiduo dii età t. Diciamo che t ra le due grandezze sussiste una legge allometrica se i loro t assi specifici di crescita sono proporzionali, vale a dire 1 dl 1 L 1 (t) dt = k 1 dl 2 L 2 dt Integrando otteniamo ln L 1 = k ln L 2 + c, da cui L 1 = CL 2 k

15 In uno studio di 45 specie di alghe unicellulari, la relazione tra volume cellulare (V) e biomassa della cellula (B) fu trovata essere approssimativamente B!V "0.794 Trovare un'equazione differenziale che metta in relazione i tassi relativi di crescita della biomassa cellulare e il volume 1 db B dt = (0.794) 1 dv V dt