Introduzione alle equazioni differenziali attraverso esempi. 20 Novembre 2018

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1 Introduzione alle equazioni differenziali attraverso esempi 20 Novembre 2018 Indice: Equazioni separabili. Esistenza e unicità locale della soluzione di un Problemi di Cauchy. Equazioni differenziali lineari del primo ordine. Struttura dello spazio delle soluzioni. Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. Equazioni Differenziali (Parte 1) 1/37

2 Equazioni separabili. Un esempio importante Esempio La soluzione generale dell equazione y = αy, α R (1) è data da y(x) = Ke αx, K R (2) C è un unica soluzione costante: y = 0: cioè y(x) = 0 per ogni x. Sia y(x) una soluzione non identicamente nulla. Su un intervallo J sul quale non si annulla, scriviamo: y y = α, ossia dy y = α dx (3) Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. Equazioni Differenziali (Parte 1) 2/37

3 Integrando, dy y = α dx da cui segue ln y = αx + c (4) Allora ossia e ln y = e αx+c, (5) y = e c e αx ossia y = ±e c e αx = Ke αx (6) dove K è una qualunque costante non nulla. La soluzione di equilibrio (cioè costante) y = 0 si ottiene dall espressione Ke αx per K = 0. Possiamo allora concludere che la soluzione generale (cioè l insieme di tutte le soluzioni) dell equazione (1) è data da y(x) = Ke αx, K R (7) In questo caso, tutte le soluzioni Ke αx sono definite su tutto R. Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. Equazioni Differenziali (Parte 1) 3/37

4 Esempio (Problema di Cauchy) Il problema di Cauchy { y = αy y(0) = K (8) ha l unica soluzione y(x) = Ke αx (9) Figura : Soluzioni di y = y, (o y = αy, α > 0) Figura : Soluzioni di y = y, (o y = αy, α < 0) Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. Equazioni Differenziali (Parte 1) 4/37

5 Tecnica di Leibniz (1691) per risolvere y = g(x)h(y) Ogni numero z R per il quale h(z ) = 0 fornisce una soluzione costante (o di equilibrio) y(x) = z. Cerchiamo ora le soluzione non costanti. Scriviamo dy dx (notazione di Leibniz) al posto di y : dy dx e separiamo formalmente le variabili: = g(x)h(y) (10) 1 dy = g(x)dx (11) h(y) Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. Equazioni Differenziali (Parte 1) 5/37

6 Separate le variabili, membri: 1 dy = g(x)dx, integriamo entrambi i h(y) 1 h(y) dy = g(x)dx (12) Se H(y) è una antiderivata di 1/h(y) e G = G(x) è un antiderivata di g(x), avremo da (12) H(y) = G(x) + C (13) A questo punto ricaviamo la funzione y, se possibile. Altrimenti, lasciamo la soluzione in forma implicita. Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. Equazioni Differenziali (Parte 1) 6/37

7 Equazioni a variabili separabili Teorema (Esistenza e unicità locale della soluzione del problema di Cauchy per un equazione a variabili separabili) g h Siano I R, J R funzioni di classe C 1, I e J intervalli di R. Per ogni x 0 I, y 0 J, il problema di Cauchy { y = g(x)h(y) (14) y(x 0 ) = y 0 ha una e una sola soluzione massimale Ĩ y R, dove Ĩ è un intervallo contenente x 0. (Ĩ è incluso in I, ma in generale è più piccolo di I ). y Ĩ R soluzione massimale significa: Se U y 1 R è una soluzione di (14) su un intervallo U x 0, allora U Ĩ e y(x) = y 1 (x) per ogni x U. Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. Equazioni Differenziali (Parte 1) 7/37

8 Esempio Risolvere il problema di Cauchy: { y = y 2 y(0) = 1 (15) L equazione y = y 2 è del tipo y = g(x)h(y), dove g(x) = 1 e h(y) = y 2, con g C 0 (R) e h C 1 (R). Per il Teorema di Esistenza e Unicità Locale, il problema di Cauchy (15) ha un unica soluzione y(x) definita su un intervallo massimale contenente x 0 = 0. La funzione costante y = 0 è soluzione di y = y 2, ma non soddisfa y(0) = 1, e quindi non è soluzione del problema di Cauchy. Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. Equazioni Differenziali (Parte 1) 8/37

9 Sia y(x) la soluzione cercata del problema (15). Poiché y(0) = 1, y(x) si mantiene non nulla vicino a x 0 = 0. Dividiamo allora per y 2 : Integrando: y y 2 = 1 ossia dy y 2 = dx 1 y = x + c, c R La condizione y(0) = 1 impone c = 1. Dunque, la soluzione è y(x) = 1 il cui intervallo massimale è (, 1). ( Esplosione ). 1 x Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. Equazioni Differenziali (Parte 1) 9/37

10 Curve integrali di y = y 2 Esercizio Risolvere il problema di Cauchy: { y = y 2 y(0) = 1 (16) Risposta: y(x) = 1 x + 1 Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. Equazioni Differenziali (Parte 1) 10/37

11 Esempio Risolvere il problema di Cauchy y = x y y(0) = 1 (17) Figura : Campo di direzioni e curve integrali Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. Equazioni Differenziali (Parte 1) 11/37

12 Separando le variabili, scriviamo y dy = x dx. Integrando: y 2 = x 2 + C C 0 Dunque le curve integrali sono circonferenze di centro l origine. Imponendo la condizione y(0) = 1, si ricava y 2 = x Da y 2 = x segue y = 1 x 2 oppure y = 1 x 2. Poiché la condizione inizioale è y(0) = 1, si deve scegliere il segno positivo. Otteniamo così la soluzione: y(x) = 1 x 2 Dunque, l intervallo massimale della soluzione del problema di Cauchy è [ 1, 1]. Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. Equazioni Differenziali (Parte 1) 12/37

13 Esempio Risolvere il problema di Cauchy { y = x 2 y 3 y(1) = 3 (18) Separando le variabili, otteniamo dy y 3 = x 2 dx dy Allora y 3 = x 2 dx, e quindi 1 2y 2 = 1 3 x 3 + C La condizione y(1) = 3 dà 1/18 = 1/3 + C, da cui C = 7/18. Sostituendo questo valore di C nell equazione (19), otteniamo la soluzione Intervallo massimale: y(x) = 3 7 6x 3 (, 3 ) 7/6. Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. Equazioni Differenziali (Parte 1) 13/37 (19)

14 Esempio (Equazione logistica) Trovare le soluzioni dell equazione a variabili separabili y = y(1 y) (20) Le due soluzioni di equilibrio sono le funzioni costanti y 1 (x) = 0 e y 2 (x) = 1. Separazione delle variabili: dy dx = y(1 y), dy = dx (21) y(y 1) Quindi dy y(1 y) = dx (22) Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. Equazioni Differenziali (Parte 1) 14/37

15 1 Da y(1 y) = 1 y + 1 segue (omettendo la costante arbitraria) 1 y dy = ln y ln 1 y = ln y y(1 y) 1 y (23) Da (22) segue allora ln y 1 y = x + C (24) e, applicando la funzione esponenziale, y 1 y = ex+c = ke x (25) dove k = e C è una costante positiva arbitraria. Dunque y 1 y = ±kex = Ke x (26) dove K è una costante arbitraria non nulla. Esplicitando: y(x) = Kex 1 + Ke x (27) Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. Equazioni Differenziali (Parte 1) 15/37

16 Figura : Campo di direzioni per l equazione logistica x = (1 x)x. Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. Equazioni Differenziali (Parte 1) 16/37

17 Dallo studio del campo di direzioni possiamo indovinare l andamento delle curve integrali, ossia dei grafici delle soluzioni: Figura : Curve integrali (cioè grafici delle soluzioni) dell equazione logistica x = (1 x)x. Queste curve si chiamano curve logistiche.. Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. Equazioni Differenziali (Parte 1) 17/37

18 Equazioni lineari del primo ordine Definizione Una equazione differenziale lineare del primo ordine è un equazione del tipo y + a(x) y = f (x) (28) dove a(x) e f (x) sono due funzioni definite e continue su uno stesso intervallo I di R. Se il secondo membro f (x) è la funzione identicamente nulla, si dice che l equazione lineare è omogenea. y + a(x) y = 0, (29) Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. Equazioni Differenziali (Parte 1) 18/37

19 Teorema (Equazione lineare omogenea) 1 La soluzione generale dell equazione lineare omogenea del primo ordine y + a(x) y = 0 (30) dove a(x) è una funzione continua su un intervallo J, è y(x) = Ce A(x), C R (31) dove A(x) è una qualunque antiderivata di a(x) su J (cioè, A (x) = a(x) per ogni x J). Quindi ogni soluzione dell equazione (30) può essere estesa all intero intervallo sul quale la funzione a(x) è definita. 2 La soluzione con condizione iniziale (x 0, y 0 ) è data dalla formula y(x) = y 0 e x x a(t) dt 0 (32) Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. Equazioni Differenziali (Parte 1) 19/37

20 Dimostrazione (Equazione lineare omogenea) L equazione si scrive anche y = a(x)y, e quindi è a variabili separabili. Ovviamente, abbiamo la soluzione costante di equilibrio: y = 0. Negli intervalli in cui una soluzione y(x) si mantiene diversa da zero, dividiamo per y(x), separiamo le variabili e integriamo: 1 y dy = a(x)dx = A(x) + C 1 (33) dove A(x) è una qualunque fissata antiderivata di a(x). Distinguiamo due casi. Quando y(x) è positiva, abbiamo ln y = A(x) + C 1, y = e c 1 e A(x) = C 1 e A(x), C 1 > 0 (34) Quando y(x) è negativa, abbiamo ln( y) = A(x)+c 2, y = e c 2 e A(x) = C 2 e A(x), C 2 < 0 (35) Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. Equazioni Differenziali (Parte 1) 20/37

21 Possiamo allora unificare i due casi (y > 0 e y < 0), scrivendo y(x) = Ce A(x), C R (36) dove C è una costante arbitraria che può essere sia positiva, sia negativa. Inoltre, per C = 0 otteniamo la soluzione nulla. Quindi, la (36) è la soluzione generale dell equazione omogenea y + a(x)y = 0. Si noti che le soluzioni (36) dell equazione omogenea y + a(x)y = 0, con a(x) continua sull intervallo J, sono definite sull intero intervallo J. Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. Equazioni Differenziali (Parte 1) 21/37

22 Struttura dello spazio delle soluzioni di un equazione lineare y + a(x) y = f (x) y + a(x) y = 0 Equazione lineare non-omogenea Equazione lineare omogenea associata Spazio delle soluzioni dell equazione non omogenea = Spazio delle soluzioni dell equazione omogenea + Una soluzione particolare dell equazione non omogenea Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. Equazioni Differenziali (Parte 1) 22/37

23 Struttura dello spazio delle soluzioni y + a(x) y = f (x) y + a(x) y = 0 Equazione lineare non-omogenea (37) Equazione lineare omogenea associata (38) Teorema (Struttura dello spazio delle soluzioni) Sia y p una soluzione particolare dell equazione non omogenea (37). Allora: (a) Ogni soluzione y di (37) si scrive come y = y 0 + y p, dove y 0 è una soluzione dell equazione omogenea associata (38). (b) Ogni funzione del tipo y 0 + y p, dove y 0 è una soluzione dell equazione omogenea associata (38), è soluzione dell equazione non-omogenea (37). Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. Equazioni Differenziali (Parte 1) 23/37

24 Dimostrazione Poniamo Dy = y + a(x) y (39) Allora si vede subito che D è un operatore lineare, cioè soddisfa: D(y 1 + y 2 ) = Dy 1 + Dy 2 (40) D(λy) = λdy (41) per ogni y, y 1, y 2 C 1 (I ) e per ogni λ R. L equazione lineare y + a(x)y = f (x) si scrive allora: Dy = f (x) (42) Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. Equazioni Differenziali (Parte 1) 24/37

25 Dimostrazione (Continua) Sia y 0 una qualunque soluzione dell equazione omogenea e y p una soluzione particolare dell equazione non omogenea: Dy 0 = 0 e Dy p = f (x) (43) a) Supponiamo che D(y) = f (x). Poiché D(y p ) = f (x), si ha D(y y p ) = D(y) D(y p ) = f (x) f (x) = 0 Dunque y y p = y 0 è soluzione dell equazione omogenea associata. Quindi y = y 0 + y p, dove y 0 è soluzione dell omogenea associata e y p è una soluzione particolare. b) Supponiamo D(y 0 ) = 0 e D(y p ) = f (x). Allora D(y 0 + y p ) = D(y 0 ) + D(y p ) = 0 + f (x) = f (x) Quindi y = y 0 + y p soddisfa D(y) = f (x). Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. Equazioni Differenziali (Parte 1) 25/37 Q.E.D.

26 Ce A(x) + y p Ce A(x) y p 0 Ker D + y p Ker D Figura : Ker D è lo spazio vettoriale (di dimensione 1) delle soluzioni dell equazione lineare omogenea, costituito da tutti i multipli della soluzione e A(x). La funzione y p è una soluzione particolare dell equazione non omogenea. Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. Equazioni Differenziali (Parte 1) 26/37

27 Ricerca di una soluzione particolare di una equazione lineare. Metodo della variazione delle costanti (Lagrange). Data l equazione lineare non omogenea y + a(x) y = f (x) (44) cerchiamo una soluzione particolare che sia del tipo y 1 = c(x)e A(x) (45) dove A(x) è una qualunque antiderivata di a(x) e c(x) è una funzione incognita. Sostituendo (45) in (44) si ottiene (con qualche calcolo) c (x) = f (x)e A(x), e dunque c(x) = f (x)e A(x) dx Dunque una soluzione particolare è e A(x) f (x)e A(x) dx (46) Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. Equazioni Differenziali (Parte 1) 27/37

28 Dal teorema di struttura e dal calcolo di una soluzione particolare segue: Teorema (Soluzione generale di un equazione lineare del primo ordine) La soluzione generale dell equazione lineare del primo ordine è data da y + a(x) y = f (x) (47) y = Ce } A(x) {{} + e A(x) f (x)e A(x) dx Soluzione generale dell omogenea }{{} Soluzione particolare della non omogenea dove A(x) è una qualunque primitiva di a(x), C è una costante arbitraria e f (x)e A(x) dx denota una qualunque antiderivata di f (x)e A(x). Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. Equazioni Differenziali (Parte 1) 28/37

29 Principio di Sovrapposizione La linearità implica questa importante proprietà: Teorema (Principio di sovrapposizione) Se z 1 e z 2 sono soluzioni delle due equazioni (lineari non omogenee) Dz = f 1 Dz = f 2 (48) (f 1, f 2 continue su un intervallo I ) allora z 1 + z 2 è soluzione dell equazione Dz = f 1 + f 2 (49) Ad esempio, se due sassi sono gettati nell acqua, le onde provocate da ciascuno di essi possono essere calcolate separatamente e poi le perturbazioni sommate. Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. Equazioni Differenziali (Parte 1) 29/37

30 Dimostrazione (Principio di Sovrapposizione) Per ipotesi, Dz 1 = f 1 Dz 2 = f 2 (50) Sommando membro a membro, poiché D(z 1 + z 2 ) = Dz 1 + Dz 2, si ha D(z 1 + z 2 ) = Dz 1 + Dz 2 = f 1 + f 2 (51) Dunque z 1 + z 2 è soluzione dell equazione Dz = f 1 + f 2. Q.E.D. Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. Equazioni Differenziali (Parte 1) 30/37

31 Esempio Trovare la soluzione generale dell equazione y x 2 y = 0 (52) Si può vedere sia come equazione separabile, sia come equazione lineare del primo ordine omogenea. Risolviamola come equazione lineare del primo ordine omogenea. Una antiderivata di a(x) = x 2 è A(x) = 1 3 x 3. La soluzione generale è Ce 1 3 x3, C R (53) Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. Equazioni Differenziali (Parte 1) 31/37

32 Esempio Trovare la soluzione generale dell equazione y xy = x (54) Si tratta di una equazione lineare del primo ordine omogenea. Se a(x) = x, una antiderivata di a(x) è A(x) = 1 2 x 2. Una antiderivata di e A(x) f (x) = e 1 2 x2 x è e 1 2 x2 x = e 1 2 x2 Dunque la soluzione generale è data da: Ce 1 2 x2 + e 1 2 x2 e 1 2 x2 x dx = Ce 1 2 x2 1, C R (55) Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. Equazioni Differenziali (Parte 1) 32/37

33 Esempio Trovare la soluzione generale dell equazione lineare del primo ordine y + y = 7 (56) e la soluzione del problema di Cauchy y + y = 7, y(0) = 1. Una antiderivata di a(x) = 1 è A(x) = x. La soluzione generale è Ce x + e x 7e x dx = Ce x + 7, C R (57) Si noti che la funzione costante y p = 7 è una soluzione particolare dell equazione non-omogenea y + y = 7. La soluzione del problema di Cauchy y + y = 7, y(0) = 1, è 6e x + 7 (58) Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. Equazioni Differenziali (Parte 1) 33/37

34 Esempio Trovare la soluzione del problema di Cauchy { y + x 2 y = x 2 y(0) = 2 (59) La soluzione del problema di Cauchy per un equazione lineare del primo ordine { y + a(x)y = f (x) y(x 0 ) = y 0 (60) (a(x), f (x) di classe C 0 (I )), è data da: dove y(x) = y 0 e A(x) + e A(x) x A(x) = x x 0 f (u)e A(u) du (61) x 0 a(u) du (62) Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. Equazioni Differenziali (Parte 1) 34/37

35 Esempio (Continua) Nel problema di Cauchy (0.18), si ha a(x) = x 2 e f (x) = x 2. Quindi la soluzione è x y(x) = 2e x3 3 + e x3 3 e t3 3 t 2 dt 0 [ ] x = 2e x3 3 + e x3 3 e t3 3 = 2e x3 3 + e x3 3 0 ) (e x33 1 = e x Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. Equazioni Differenziali (Parte 1) 35/37

36 Un modello di legge di raffreddamento (Legge di Newton. Equazione lineare del 1 0 ordine) Esempio (Problema di Cauchy per il raffreddamento di un corpo) { T = k(t A T ) T (0) = T 0 T = T (t): temperatura, all istante t, di un corpo caldo che si sta raffreddando. Supponiamo t [0, + ). T A : temperatura costante dell ambiente circostante. k > 0: costante positiva (dipendente dalla capacità termica del corpo, dalla sua forma etc.). T (0): temperatura del corpo all istante t 0 = 0. T 0 > T A. Soluzione: T(t)= T A + (T 0 T A )e kt Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. Equazioni Differenziali (Parte 1) 36/37

37 Soluzione di T = k(t A T ), T (0) = T 0 (> T A ) Come equazione separabile: Soluzione costante: T = T A. dt T T A = k dt. Se T > T A, ln(t T A ) = kt + c; Per t 0 = 0: ln(t 0 T A ) = c. ln(t T A ) ln(t 0 T A ) = kt ln T T A T 0 T A = kt T (t) = T A + (T 0 T A )e kt T T A T 0 T A = e kt Come equazione lineare: T + kt = kt A. Una soluzione particolare costante è T A. Soluzione generale: T (t) = Ce kt + T A. La condizione iniziale T (0) = T 0 impone C = T 0 T A. Soluzione del problema di Cauchy: T (t) = T A + (T 0 T A )e kt Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. Equazioni Differenziali (Parte 1) 37/37