Descrizione sintetica dell attività

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1 RAPPRESENTAZIONE GRAFICA DI FUNZIONI GONIOMETRICHE Prerequisiti: conoscenza della misura degli angoli in gradi e radianti conoscenza delle funzioni goniometriche concetto di funzione inversa conoscenza intuitiva delle onde sonore conoscenza di base del foglio elettronico Obiettivi: riconoscere le proprietà delle funzioni goniometriche attraverso il grafico capire come varia il grafico delle funzioni goniometriche al variare dei parametri studiare fenomeni fisici modellizzati attraverso funzioni goniometriche Descrizione sintetica dell attività L attività viene svolta nella classe 3 a del liceo scientifico tecnologico nelle ore curricolari. Dopo lo svolgimento di una parte teorica sulle misure degli angoli in gradi e radianti, sulle funzioni goniometriche elementari, sul loro grafico e sulle funzioni goniometriche inverse, si ampliano questi concetti in laboratorio. In laboratorio di informatica con l ausilio del foglio elettronico si costruiscono i grafici delle funzioni goniometriche e delle loro inverse da questi si deducono le principali proprietà delle funzioni.

2 Si studia come varia il grafico delle funzioni goniometriche al variare dei parametri. Si considera la somma di funzioni goniometriche di diversa frequenza ed ampiezza, si disegna il grafico che poi può essere utilizzato per descrivere fenomeni fisici quali onde sonore, oscillazioni smorzate e battimenti. Descrizione dettagliata dell attività LA FUNZIONE SENO E LA SUA INVERSA L attività ha inizio con la costruzione del grafico della funzione seno e della sua inversa. Per disegnare il grafico della funzione y=sen(x) occorre trasformare in radianti il valore dell angolo espresso in gradi. Quindi si organizza il foglio di lavoro per realizzare una tabella di valori che serviranno per la visualizzazione del grafico. Nella colonna A riportiamo i valori dell angolo in gradi da -360 a +360 per visualizzare due periodi completi, nella colonna B trasformiamo i gradi in radianti, quindi nella colonna C calcoliamo i valori di sen(x). Si realizza quindi il grafico e dalla sua osservazione ognuno può dedurre le proprietà della funzione. Per realizzare il grafico della funzione inversa y=arcsen(x) si restringe il dominio del seno ai valori π/2, π/2 ; quindi si procede come sopra. Nello stesso grafico vengono inseriti anche la funzione seno e la bisettrice del 1 e 3 quadrante per le opportune osservazioni. LA FUNZIONE COSENO E LA SUA INVERSA LA FUNZIONE TANGENTE E LA SUA INVERSA

3 Similmente si procede per la realizzazione dei grafici delle altre funzioni goniometriche y=cos(x) e y=tan(x) e le rispettive inverse. LE ONDE SONORE Il grafico della funzione coseno è il punto di partenza per l esplorazione di fenomeni complessi come la propagazione delle onde sonore. Quando si pizzica la corda di uno strumento musicale, essa entra in vibrazione producendo nell aria circostante compressioni e rarefazioni che viaggiano alla velocità di circa 340 m/s. Quando il nostro orecchio ne è investito, il timpano entra a sua volta in vibrazione, ed abbiamo la sensazione del suono. Un onda sonora può essere rappresentata graficamente per mezzo della funzione coseno, che descrive, al variare del tempo, lo stato di compressione e di rarefazione a cui è soggetta l aria nella quale il suono si propaga. Dal momento però che le compressioni possono essere più o meno forti (ampie) e più o meno rapide (frequenti), la semplice funzione coseno deve essere opportunamente modificata, ottenendo y=acos(kx) dove la costante A è l ampiezza dell oscillazione (più l oscillazione è ampia e più la sensazione sonora è forte) e la costante k è legata alla rapidità dell oscillazione (più l oscillazione è rapida e più il suono viene percepito come acuto). La frequenza del suono è definita come " = ck, dove c la 2# velocità del suono. Il foglio di lavoro viene organizzato in modo tale che, variando il valore numerico contenuto nelle celle denominate A e k, il grafico varia di conseguenza in modo automatico. LE NOTE MUSICALI Quando una corda viene pizzicata, o si soffia in uno strumento a fiato, ad una vibrazione fondamentale se ne aggiungono altre secondarie,

4 caratteristiche del particolare strumento musicale che si sta utilizzando. L onda sonora che ne deriva è la somma, quindi, di tante onde sonore semplici di ampiezza e frequenza diverse. La quantità e la qualità di queste onde caratterizza ciascuno strumento musicale rendendolo diverso dagli altri: è ciò che viene chiamato timbro dello strumento. Il lavoro sviluppato prevede la somma di due soli armonici, rappresentati da due funzioni y=cos(x) e y=acos(kx). Il grafico è ottenuto con operazioni analoghe a quelle condotte per il grafico delle onde sonore. OSCILLAZIONI SMORZATE Una corda che è stata messa in vibrazione non continua a vibrare all infinito a meno che non si continui a sollecitarla. Piano piano essa perde energia, le oscillazioni diventano sempre meno ampie, e il suono emesso si affievolisce fino ad estinguersi. L ampiezza della vibrazione non rimane dunque sempre la stessa, ma decresce nel tempo. E interessante produrre il grafico di un onda che si estingue. Riprendendo la funzione dell onda sonora y=acos(kx) e ricordando che l ampiezza dell onda dipende dal coefficiente A, basterà sostituire ad A una funzione che decresca all aumentare di x, a tale scopo si può usare una funzione esponenziale decrescente. Abbiamo rappresentato con operazioni analoghe ai precedenti grafici la funzione y= e -0,001x cos(x). I BATTIMENTI Un ultimo problema interessante e curioso è la rappresentazione grafica dei cosiddetti battimenti: quando all orecchio giungono due onde caratterizzate da frequenza leggermente diversa, percepiamo un suono che alternativamente si rinforza e si affievolisce.

5 Un grafico che interpreta questo fenomeno può essere prodotto con la seguente somma di funzioni: y= cos x +cos(kx), con k costante che varia assumendo sempre valori vicini a 1. Per ottenere un grafico significativo occorre far variare la x da 0 a valori molto alti anche fino a