Funzioni trigonometriche

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1 trigonometriche Il cerchio trigonometrico Consideriamo in un piano cartesiano la circonferenza con il centro nell origine e avente per raggio il segmento che è stato fissato come unità di misura per i due assi (raggio=). Sia dato un angolo con il centro in O e il suo primo lato con il semiasse positivo delle ascisse (cioè l angolo è appoggiato al lato positivo dell asse delle ); viene considerato positivo un angolo in senso antiorario e negativo in senso orario. Sarà chiamato B il punto sulla circonferenza che è associato all angolo, e H il punto della proiezione di B sull asse delle. B (cos ; sin ) β O Α O H A A questo punto rispolveriamo le definizioni di seno, coseno e tangente Seno Il seno per definizione è la lunghezza del cateto opposto fratto l ipotenusa. Essendo l ipotenusa pari a sul cerchio trigonometrico. Il seno è semplicemente la lunghezza del segmento HB. Coseno Il seno è il rapporto tra il cateto adiacente e l ipotenusa. Quindi nel nostro caso corrisponde alla lunghezza del segmento OH. Tangente La tangente invece è un po più complessa. Per definizione corrsponde al rapporto tra il cateto opposto e quello adiacente e nel nostro caso sarà HB OH. Le funzioni trigonometriche Vediamo come variano seno coseno e tangente al variare dell angolo utilizzando il cerchio trigonometrico.

2 Il seno Il seno, essendo la lunghezza HB ad un angolo pari a sarà e crescerà fino a raggiungere il valore massimo di per 9 e poi ridiscenderà a per 8. Dopo i 8 gradi si avranno dei valori negativi con il minimo a 7 (-) per tornare a a 36. Da qui in avanti si ripeteranno gli stessi valori, cioè sin (36 + ) = sin (); il seno è pertanto una funzione periodica. Guardando gli angoli negativi si osserva inoltre che sin ( ) = sin (). Riassumendo: Il coseno sin(36+)=sin() sin(8 )=sin() sin(36 )= sin() sin( )= sin() sin(8+) = sin() Il coseno invece a gradi avrà valore di per scendere gradualmente a a 9. Oltre i 9 si avranno valori negativi con il minimo a 8 (-). Poi il valore aumento di nuovo, tocca lo a 7 e raggiunge di nuovo a 36. Nuovamente da qui in avanti si ripeteranno gli stessi valori, cioè cos (36 +)=cos(). Inoltre si osserva come cos ( ) = cos () Riassumendo: cos(36 + ) = cos() cos( )=cos() cos(8 ) = cos() cos(8+)= cos() cos(36 ) = cos() I grafici delle funzioni seno e coseno trigonometriche in gradi sessagesimali =sin() =cos() La tangente La tangente è anch essa una funzione periodica. Per capire il suo andamento dobbiamo analizzare il rapporto tra il cateto opposto e il cateto adiacente. A il cateto opposto è pari a e quindi la tangente sarà. A 45 i due cateti avranno la stessa lunghezza e quindi il valore della tangente sarà. A 9 il cateto opposto è lungo mentre quello adiacente è lungo e quindi si ha il valore +. Oltre i 9 i valori saranno negativi (il cateto adiacente ha valore negativo) e da arriveranno a per 8. Oltre i 8 diventeranno nuovamente positivi per raggiungere il + a 7. Oltre salterà nuovamente a per tornare a a 36. In questo caso si ha quindi una periodicità di 8, cioè tan (8 + ) = tan (). Inoltre sussiste anche la relazione tan ( )= tan().

3 Riassumendo: tan(8 +)=tan() tan( )= tan() tan(8 )= tan() tan(8 +)=tan() tan(36 )= tan() Grafici di tangente e cotangente trigonometriche in gradi sessagesimali 8 6 =tan() =cot() Angoli complementari Oltre a quanti già visto, si possono dedurre una serie di altre relazioni, alcune delle quali già note. Tutte queste relazioni nascono dall osservazione degli angoli complementari a 9. Provate a controllare le relazioni scritte nella sottostante tabella usando i due schizzi qui sotto rappresentati. B B O H H A

4 sin() = cos (9 ) sin(9+)=cos() sin(7 ) = cos() sin(7+)= cos() cos()=sin (9 ) cos(9 +)= sin() cos(7 )= sin() cos(7 +)=sin() tan(9 ) = cot() tan(9+)= cot() tan(7 ) = cot() tan(7+)= cot() Le funzioni trigonometriche inverse Per trovare un rapporto tra i lati conoscendo l angolo... Non ci dovrebbero essere problemi ora. Le funzioni trigonometriche inverse invece permettono di trovare l angolo conoscendo il raporto tra i lati. Se si tenta però di invertire graficamente (tramite asse di simmetria) il seno e il coseno si noterà che le inverse non sono più funzioni. Si può aggirare questo problema riducendo l insieme del dominio di queste funzioni a D f =[ ; ]. Si ottengono allora i seguenti grafici. trigonometriche inverse in gradi sessagesimali 5 =arc sin() =arccos() Per le funzioni tangente e cotangente invece non si sono particolari problemi di dominio. Ecco i relativi grafici. trigonometriche inverse in gradi sessagesimali 5 =arc tan() =arc cot()

5 Una ricapitolazione degli insiemi di dominio e delle immagini nella sottostante tabella Funzione Dominio D f Immagini I f = sin() ] ; + [ [ ; ] = cos() ] ; + [ [ ; ] = tan() R k 8 + 9, kǫz ] ; + [ = cot() R k 8, kǫz ] ; + [ = arc sin() [ ; ] [ 9; 9] = arc cos () [ ; ] [; 8] = arc tan() ] ; + [ [ 9; 9] = arc cot() ] ; + [ [; 8] Esercizi Semplifica le seguenti espressioni senza l uso della calcolatrice: 4 cos (8) +4sin (9)+3sin (8)=[] 3 cos (9) 3 cos ()+5cos (8)=[ 8] tan (54) 3 sin (7)+cot(9)=[3] cos(7) 3sin (8) +4tan(8)=[] 5 cos() 4(sin (9) +3cos (8))=[3] sin( 3 π) cos (π)+tan (π)=[] 3 cos π sin3π + 3 tan =[] sin π 4(sinπ 4cosπ)+cos3 π sin π =[ 4] (a b )cos 3 π + ab cos 6π a + b sin 3 π =[(a + b) ] m sin 3 π (m n) sin 7 π + mn = [n ] sin π 5