ANGOLI. ANGOLO OTTUSO ( β > 90 ) ANGOLO ACUTO ( β < 90 )

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1 ANGOLI Angolo è ciascuna delle due parti nelle quali un piano viene diviso da due semirette aventi la stessa origine. Le due semirette sono dette lati dei due angoli e l'origine comune il loro vertice. Data una circonferenza avente il centro nel vertice di un angolo, si chiama arco circolare (o più semplicemente arco) quella parte di circonferenza, interna all'angolo, avente per estremi i punti di intersezione con i lati dell'angolo stesso. Ciascun angolo è orientato ordinando i suoi due lati in uno dei due modi possibili ("a, b" oppure "b, a"), convenzionalmente si pone come verso positivo di percorrenza quello antiorario (nel caso della figura sottostante il senso positivo è "a, b"). La parte non contenente i prolungamenti dei lati si dice ANGOLO CONVESSO, l'altra ANGOLO CONCAVO (nel disegno l'angolo convesso è β mentre µ è concavo). Vediamo ora alcuni angoli particolari: ANGOLO RETTO ( β = 9 ) ANGOLO ACUTO ( β < 9 ) ANGOLO OTTUSO ( β > 9 )

2 ANGOLI COMPLEMENTARI ( β + µ = 9 ) ANGOLI SUPPLEMENTARI ( β + µ = 18 ) ANGOLI ESPLEMENTARI ( β + µ = 36 ) Il radiante è l'angolo al centro di una circonferenza,di raggio arbitrario,che sottende un arco di lunghezza uguale al raggio stesso. Consideriamo un angolo β qualunque e una circonferenza con centro nel vertice dell'angolo,i lati di questo angolo intercetteranno sulla circonferenza,che supporremo di raggio r, un arco di lunghezza x. Facendo una semplice proporzione abbiamo : x : 2π r = β : 36 da cui: x = (2π r. β )/ 36 e, semplificando e ponendo r = 1: x = π β / β 18 (1) Facciamo un esempio: sia β = 45,sostituendo in (1) avrò: x = π 45 / 18 x = π/4 Questo tipo di misurazione, assolutamente equivalente a quello usuale in gradi sessagesimali, si dice in radianti. Quello sopra esposto è il metodo pratico che consente di passare dalla misura in gradi sessagesimali a quella in radianti; naturalmente, nota la misura in radianti dell'angolo, si può procedere a ritroso trovando quella in gradi. Riportiamo qui di seguito i valori in radianti di alcuni angoli in particolare:

3 GRADI RADIANTI π/1 π /6 π /4 π /3 π /2 3π/4 5π/6 π 3π/2 2π Seno,coseno,tangente e cotangente di un angolo orientato Le funzioni nelle quali la variabile indipendente è un angolo (o un arco) vengono dette goniometriche o circolari. Per definire le funzioni goniometriche elementari si consideri fisso il lato di origine degli angoli (identificato, nel caso del riferimento cartesiano ortogonale xoy, col semiasse positivo delle ascisse) e variabile il secondo. Si consideri ora nella seguente figura l'angolo orientato β il cui primo lato coincide appunto col semiasse positivo delle ascisse e il secondo è la semiretta r: Sia P un generico punto della semiretta r,siano x p e y p le sue coordinate e sia OP la distanza assoluta di P dall'origine O. I quattro rapporti: non dipendono dalla posizione di P su r. Essi dipendono solo dall'ampiezza dell'angolo β ; sono dunque funzioni di β. I loro nomi sono: SENO DI β COSENO DI β TANGENTE DI β COTANGENTE DI β Come si può facilmente verificare, tra le dette quattro funzioni di uno stesso angolo β intercorrono le seguenti relazioni:

4 La circonferenza goniometrica (un altro modo di definire le funzioni goniometriche ) valori posititvi valori negativi Perché quando il segmento va a coincidere con uno degli assi si vede un colore solo? e perché proprio quel colore? Si chiama CIRCONFERENZA GONIOMETRICA una circonferenza orientata alla quale è associato un sistema di riferimento cartesiano ortogonale, la cui origine coincide con il centro della circonferenza stessa e la cui unità di misura è assunta uguale al raggio di quest'ultima. N.B. IL SENSO POSITIVO DI PERCORSO SULLA CIRCONFERENZA E', CONVENZIONALMENTE, QUELLO ANTIORARIO.

5 Ciò premesso si chiamano SENO e COSENO dell'angolo orientato β ( o dell'arco orientato AP) rispettivamente l'ordinata e l'ascissa di P: le definizioni sopra date coincidono con quelle date in precedenza, infatti sostituendo in quelle OP = 1 si avrà: sinβ = = y P /1 = y P cosβ = = x P /1 = x P Si considerino ora le rette a e b tangenti la circonferenza goniometrica nei punti A e B, e siano T e C, rispettivamente, i punti d'intersezione con la semiretta r uscente dall'origine: verrà detta TANGENTE di β (COTANGENTE di β ) l'ordinata di T (l'ascissa di C). Come per seno e coseno: tgβ = y T /x T = y T /1 = y T ctgβ = x C /y C = x C /1 = x C Si definiscono inoltre le funzioni inverse di seno e coseno e cioè: cosecβ = 1/sinβ con sinβ secβ = 1/cosβ con cosβ

6 VARIAZIONE DEI VALORI DELLE FUNZIONI GONIOMETRICHE Perché quando il segmento va a coincidere con uno degli assi si vede un colore solo? e perché proprio quel colore? La figura mostra una semiretta che ruota, in senso antiorario, attorno all'origine O e quindi: β ], 9 [ 1 QUADRANTE 9 ]9, 18 [ 2 QUADRANTE 18 ]18, 27 [ 3 QUADRANTE 27 ]27, 36 [ 4 QUADRANTE 36 rad ], π/2[ π/2 ]π/2, π [ π ]π, [ ], 2π [ sinβ a 9 (cioè da 1 9 a 18 (cioè -1 a π/2 rad) il da π/2 a π rad) cosβ 1 seno cresce da a 1, mentre il coseno decresce da 1 a il seno decresce da 1 a, mentre il coseno decresce da a a 27 (cioè da π a rad) il seno decresce da a -1, mentre il coseno cresce da - 1 a 27 a 36 (cioè da a 2π rad) il seno cresce da - 1 a, mentre il coseno cresce da a 1 tgβ a 9 (cioè da 9 a 18 (cioè ctgβ a π/2 rad) la tg cresce da a, mentre la ctg decresce da a da π/2 a π rad) la tg decresce da a, mentre la ctg decresce da a 18 a 27 (cioè da π a rad) la tg decresce da a, mentre la ctg cresce da a 27 a 36 (cioè da a 2π rad) la tg cresce da a, mentre la ctg cresce da a 2π 1

7 N.B.: al crescere di β oltre i 36 le funzioni goniometriche tornano ad assumere i medesimi valori VALORI DELLE FUNZIONI GONIOMETRICHE GRADI RADIANTI SENO COSENO TANGENTE COTANGENTE 1 non esiste ' non esiste

8 SINUSOIDE (SENO) COSINUSOIDE (COSENO)

9 TANGENTOIDE (TANGENTE)