LE FUNZIONI GONIOMETRICHE: SENO, COSENO E TANGENTE

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Carlo Graziano
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1 LE FUNZIONI GONIOMETRICHE: SENO, COSENO E TANGENTE

2 1. LE FUNZIONI SENO E COSENO LE FUNZIONI SENO, COSENO E TANGENTE DEFINIZIONE Seno e coseno Consideriamo la circonferenza goniometrica e un angolo orientato α, e sia B il punto della circonferenza associato ad α. Definiamo coseno e seno di α, e indichiamo con cos α e sen α : cos α = x B, sen α = y B.

3 1. LE FUNZIONI SENO E COSENO LE FUNZIONI SENO, COSENO E TANGENTE Circonferenza di raggio unitario Indichiamo con (x; y) le coordinate di B. x = cos α y = sen α Circonferenza di centro O e raggio qualsiasi Indichiamo con (x'; y') le coordinate di B'. Scopriamo che: e e quindi sen α e cos α non dipendono dalla particolare circonferenza considerata, ma solo dall angolo α.

4 1. LE FUNZIONI SENO E COSENO Il triangolo OA'B' è un triangolo rettangolo. Le proprietà del seno e del coseno si applicano a tutti i triangoli rettangoli. Triangoli rettangoli sen α = rapporto tra il cateto opposto all angolo e l ipotenusa. cos α = rapporto tra il cateto adiacente all angolo e l ipotenusa.

5 2. LE VARIAZIONI E IL GRAFICO DELLE FUNZIONI SENO E COSENO PROPRIETÀ In particolare si verifica che: 1 sen x 1 ; 1 cos x 1 ; cos x = cos ( x) ; sen x = sen ( x). Costruiamo il grafico delle funzioni y = sen x e y = cos x in [0; 2π] riportando sull asse x i valori degli angoli e sull asse y le coordinate dei punti della circonferenza goniometrica.

6 3. SINUSOIDE E COSINUSOIDE LE FUNZIONI SENO, COSENO E TANGENTE sen (x + 2π) = sen x = sen (x + 4π) =..., cos (x + 2π) = cos x = cos (x + 4π) =, cioè sen (x + 2kπ) = sen x, cos (x + 2kπ) = cos x. Le funzioni seno e coseno sono periodiche di periodo 2π. Il grafico completo della funzione seno si chiama sinusoide, quello della funzione coseno cosinusoide. I due grafici differiscono per una traslazione di π/2. π 2

7 4. LA PRIMA RELAZIONE FONDAMENTALE Prima relazione fondamentale della goniometria cos 2 α + sen 2 α = 1 Da cui, se è noto cos α, mentre, se è noto sen α,,.

8 5. LA FUNZIONE TANGENTE DEFINIZIONE Tangente Consideriamo un angolo orientato α, e sia B il punto della circonferenza associato ad α. Definiamo tangente di α il rapporto, quando esiste, tra l ordinata e l ascissa di B:.

9 5. LA FUNZIONE TANGENTE Circonferenza di centro O e raggio qualsiasi Indichiamo con (x'; y') le coordinate di B'. Triangolo rettangolo Un altro significato geometrico tg α = rapporto tra il Consideriamo il cerchio cateto opposto goniometrico e la sua all angolo e il tangente t. cateto adiacente. tg α = ordinata di T.

10 6. LE VARIAZIONI E IL GRAFICO DELLA FUNZIONE TANGENTE PROPRIETÀ In particolare si verifica che: tg x tende a + o quando x si avvicina a π/2, tg x = tg ( x). Costruiamo il grafico della funzione y = tg x in [0;π] riportando sull asse x i valori degli angoli e sull asse y l ordinata del punto T.

11 7. LA TANGENTOIDE tg (α + π) = tg α = tg (α + 2π) =... cioè tg (α + kπ) = tg α. La funzione tangente è periodica di periodo π. Il grafico completo della funzione tangente si chiama tangentoide.

12 8. LA SECONDA RELAZIONE FONDAMENTALE Seconda relazione fondamentale della goniometria, y B = sen α, x B = cos α,.

13 9. ESERCIZI: SENO E COSENO LE FUNZIONI SENO, COSENO E TANGENTE

14 10. ESERCIZI: LA TANGENTE

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