2cos. Appunti di matematica
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- Agnolo Marini
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1 1 FORMULE GONIOMETRICHE Le funzioni goniometriche di un angolo orientato non variano proporzionalmente all angolo. Ne segue che, ad esempio, α non è uguale al doppio di α, che non è uguale a, ecc. Esempi: mentre e 60 mentre FORMULA DI SOTTRAZIONE DEL COSENO Consideriamo una cirferenza trigonometrica e due angoli, l angolo quadrante e l'angolo AÔC nel sedo quadrante. La loro differenza è CÔD. Costruiamo, nel primo quadrante, l angolo AÔB CÔD AÔD nel terzo y y x Per le definizioni di o e eno di un angolo, si ha: A 1;0, D ;,C ; ; B, AÔB CÔD Esdo, le corde AB e CD sono gruenti perché corrispondenti di angoli al centro gruenti e quindi si ha: AB CD Applicando la formula della distanza tra due punti, otteniamo: 1 1 Sviluppando i quadrati, si ha: 1
2 Per la prima relazione fondamentale della goniometria, si ha: 1, 1, 1 Pertanto la precedente relazione diventa: da cui si ottiene:. FORMULA DI ADDIZIONE DEL COSENO Per avere le formule di addizione basta sostituire nella formula precedente, al posto di, il valore -. Si ottiene: 3. FORMULA DI SOTTRAZIONE DEL SENO Per ottenere la formula di sottrazione del o, ricordiamo le formule degli angoli associati ed in particolare Sarà, e 4. FORMULA DI ADDIZIONE DEL SENO Per avere le formule di addizione basta sostituire nella formula precedente, al posto di, il valore -. Si ottiene:
3 3 5. FORMULA DI SOTTRAZIONE DELLA TANGENTE tg Dividendo per, supposto 0, 0, cioè, k, si avrà: tg tg tg 1 tgtg tg tg tg 1 tg tg 6. FORMULA DI ADDIZIONE DELLA TANGENTE Per avere le formule di addizione basta sostituire nella formula precedente, al posto di, il valore -. Si ottiene: tg tg tg tg tg 1 tgtg 1 tgtg,, k tg tg tg 1 tg tg,, k 7. FORMULA DI SOTTRAZIONE DELLA COTANGENTE ctg Dividendo per, supposto 0, 0, cioè, k, si avrà: ctg ctg ctg 1 ctg ctg ctg ctg 1 ctg,, k ctg ctg
4 4 8. FORMULA DI ADDIZIONE DELLA COTANGENTE Per avere le formule di addizione basta sostituire nella formula precedente, al posto di, il valore -. Si ottiene: ctg ctg 1 ctg ctg 1 ctg ctg 1 ctg ctg ctg ctg ctg ctg ctg ctg ctg 1 ctg,, k ctg ctg 9. FORMULE DI DUPLICAZIONE Per avere le formule di duplicazione basta sostituire nella formula precedente, al posto di β, il valore α. FORMULA DI DUPLICAZIONE DEL SENO FORMULA DI DUPLICAZIONE DEL COSENO (1) Ricordando che 1, 1 la (1) diventa: oppure In sintesi: 1 1
5 5 FORMULA DI DUPLICAZIONE DELLA TANGENTE tg tg tg tg 1 tgtg 1 tg tg tg 1tg FORMULA DI DUPLICAZIONE DELLA COTANGENTE ctg ctg 1 ctg 1 ctg ctg ctg ctg k k 4 ctg 1 ctg ctg k 10. FORMULE DI BISEZIONE Dalle formule di duplicazione, sostituendo e si ha: FORMULA DI BISEZIONE DEL SENO () FORMULA DI BISEZIONE DEL COSENO (3) FORMULA DI BISEZIONE DELLA TANGENTE 1. Dividendo membro a membro le formule () e (3) e supponendo che sia 1 e quindi k 1 1 tg 1 1
6 6 tg 1 1 k. Moltiplicando e dividendo per 1, k tg tg 1 k, 3. Moltiplicando e dividendo per 1, k tg tg k In sintesi: tg k k k FORMULA DI BISEZIONE DELLA COTANGENTE 1. Dividendo membro a membro le formule (3) e () e supponendo che sia 1 e quindi k ctg ctg 1 1 k
7 7. Moltiplicando e dividendo per 1, k ctg ctg 1 k 3. Moltiplicando e dividendo per 1, k ctg In sintesi: 1 ctg 1 1 ctg 1 1 k k k k 11. FORMULE PARAMETRICHE Esprimono o e eno di un angolo in funzione razionale della tangente dell'angolo metà. FORMULA PARAMETRICA DEL SENO Dalle formule di duplicazione, è noto che Utilizzando l'espressione Posto 0 k, 1, possiamo scrivere: dividiamo il numeratore e il denominatore per tg 1 tg
8 8 Sostituendo tg 1 tg tg 1 tg k Spesso, per comodità, si pone tg t, per cui: t 1 t FORMULA PARAMETRICA DEL COSENO In modo analogo si ottiene: Posto 0 k, Sostituendo dividiamo il numeratore e il denominatore per 1tg 1 tg 1tg 1 tg k Spesso, per comodità, si pone tg t, per cui: 1t 1 t k
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