MATEMATICA - LEZIONE 5 Goniometria Equazioni e disequazioni trigonometriche. Relatore prof. re CATELLO INGENITO
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1 MATEMATICA - LEZIONE 5 Goniometria Equazioni e disequazioni trigonometriche Relatore prof. re CATELLO INGENITO
2 Sommario della lezione Angoli goniometrici Funzioni goniometriche Equazioni e disequazioni trigonometriche
3 MISURA DEGLI ANGOLI Gli angoli si possono misurare in.. GRADI Un ANGOLO GRADO è la 60-esima parte di un angolo GIRO Si divide in 60 ANGOLI PRIMI. Ogni ANGOLO PRIMO si divide in 60 ANGOLI SECONDI RADIANTI A B La misura in radianti di un angolo al centro che insiste su un arco AB di una circonferenza di raggio r è: AB r Un angolo di 1 radiante insiste su un arco di lunghezza = raggio! Conversione gradi radianti e viceversa: : 180 : g r g r 180 g r 180
4 CIRCONFERENZA GONIOMETRICA EQUAZIONE (-1 ; 0) x y (0 ; 1) P O A + k (1 ; 0) Un angolo goniometrico ha il primo lato coincidente con OA ed il secondo lato con un raggio OP La misura in radianti di è equivalente alla misura dell arco AP AP Verso positivo = antiorario (0 ; -1) Intersezioni con gli assi cartesiani: VERTICI Ad ogni punto P si associano angoli che differiscono per multipli di (k)
5 ANGOLI ELEMENTARI (10) (90) (60) (5) (15) 5 (0) (150) 6 6 ( 180) 0(0) (60) 7 (10) 6 5 (5) (0) (70) 11 (0) 6 7 (15) 5 (00) Vertici Angolo di 0 e associati Angolo di 5 e associati Angolo di 60 e associati
6 ANGOLI ELEMENTARI NEGATIVI ( 0) 5 ( 5) 7 ( 10) 6 ( 70) 5 ( 00) 7 ( 15) 11 ( 0) 6 Vertici Associati di 0 ( 180) ( 60) Associati di 5 5 ( 150) 6 ( 15) ( 10) ( 90) ( 0) 6 ( 5) ( 60) Associati di 60
7 FUNZIONI GONIOMETRICHE Consideriamo un angolo goniometrico L ascissa e l ordinata di P sono il cos ed il sen I valori di sen ed di cos [-1, 1] P T S Prolunghiamo OP fino ad intersecare le rette x = 1 e y = 1 nei punti T ed S O A L ordinata di T è la tg P(cos ; sen) T(1 ; tg) S(cotg ; 1) L ascissa di S è la cotg
8 Esempio Odontoiatria 007
9 Esempio Veterinaria 01 Il confronto è solo tra gli angoli di 0 e Ma l angolo di 0 è più vicino a 0 di quanto non lo sia 50 a 90..
10 RELAZIONI FONDAMENTALI sen + cos = 1 tg 1 sen cot g cos cot g 1 tg cos sen 1 sec cos 1 cosec sen
11 Esempio Prof Sanitarie
12 sen cos tg cot g Supplementare di sen cos tg cot g sen cos cot g sen cos tg cot g tg ANGOLI ASSOCIATI Complementare di cot g Opposto di Esplemetare di I valori goniometrici degli angoli associati ad si deducono da quelli di Vediamo qualche esempio sen sen cos cos sen tg cot g cot g tg sen( ) sen cos( ) cos tg( ) tg cot g( ) cot g cos tg
13 Esempio Medicina Odontoiatria 01 sen cos Il quesito chiede di individuare, tra quelle proposte, la funzione dispari. Ricordando le relazioni degli angoli opposti verifichiamo le risposte senx sen x sen x ( x) cos(( x) ( x) cos x cos x cos x senx sen x cosx cos( x ) sen(( x) ) x ) sen cos ( x) ( senx) sen x x -x
14 Esempio Simulazione CISIA Ingegneria Gli angoli 0 e 10 sono supplementari quindi hanno i coseni opposti
15 Esempio Architettura 015 sen( 70) sen(90 0) cos(0) sen0 sen70 sen0 cos0 tg0
16 VALORI GONIOMETRICI DEGLI ANGOLI ELEMENTARI (10) (90) (60) (5) (15) 5 (0) (150) 6 6 ( 180) 7 (10) 6 5 (5) (0) (70) 0(0) (60) 11 (0) 6 7 (15) 5 (00) cos sen tg cot I valori degli altri angoli elementari si ricavano con le regole degli angoli associati. Esempi: cos tg sen sen 60
17 FUNZIONI TRIGONOMETRICHE y= senx R [-1;1] y= arcsenx y= sen -1 x 1;1 ; y= cosx R [-1;1] y= arccosx y= cos -1 x 1;1 0;
18 FUNZIONI TRIGONOMETRICHE y= tgx R k R y= arctgx y= tg -1 x R ; y= cotgx R k R y= arccotgx y= cotg -1 x R 0;
19 Esempio Prof Sanitarie 011 Quale fra le seguenti affermazioni è corretta? A) cos(arccos(x)) = x B) sen(arcsen(x)) = sen(x) C) cos(arcsen(x)) = sen(x) D) cos(arccos(x)) = cos(x) E) cos(arcsen(x)) = x Ricorda che è sempre vero che: f(f -1 (x)) = x
20 FORMULE GONIOMETRICHE Formule di ADDIZIONE E SOTTRAZIONE tg( ) sen( ) sen cos cossen sen( ) sen cos cossen cos( ) cos( ) tg tg 1 tgtg cos cos sensen cos cos sensen tg( ) tg tg 1 tgtg Formule di DUPLICAZIONE sen sen cos cos cos sen tg tg 1 tg cos 1 1 sen Formule di BISEZIONE 1 cos cos 1 cos sen
21 EQUAZIONI TRIGONOMETRICHE ELEMENTARI senx = m -1 m 1 = arcsen(m) (90) y = m x SOLUZIONE: x k k ( 180) 0(0) (60) ESEMPIO: senx (70) x k x k
22 Esempio Medicina 1999 L'equazione sen x = -1 A) ammette come soluzione x = 90 gradi; B) non ammette soluzioni; C) ammette come soluzione x = 180 gradi; D) ammette come soluzione x = 70 gradi E) ammette come soluzione x = 60 gradi. (90) ( 180) 0(0) (60) x k (70)
23 EQUAZIONI TRIGONOMETRICHE ELEMENTARI cosx = m -1 m 1 = arccos(m) (90) x = m SOLUZIONE: x k ( 180) - 0(0) (60) ESEMPIO: cosx 1 (70) x k
24 EQUAZIONI TRIGONOMETRICHE ELEMENTARI tgx = m m R = arctg(m) (90) P (1 ; m) x SOLUZIONE: k ( 180) 0(0) (60) ESEMPIO: tgx (70) x k 6
25 EQUAZIONI e DISEQUAZIONI RICONDUCIBILI COMBINANDO: EQUAZIONI TRIGONOMETRICHE ELEMENTARI EQUAZIONI E DISEQUAZIONI ALGEBRICHE RELAZIONI E FORMULE GONIOMETRICHE SI RISOLVONO EQUAZIONI E DISEQUAZIONI TRIGONOMETRICHE RICONDUCIBILI A QUELLE ELEMENTARI
26 sen x senx ESEMPIO 0 1 senx senx 0 SOLUZIONE: 0(0) y = 0 y = -1/ x k x k180 7 x k 6 x k 6 x 10 k60 x 0 k60
27 cosx cosx 0 ESEMPIO cos cosx x 1 cosx / x = -1 x = 1/ SOLUZIONE: x k x 90 k60 x k x 60 k60
28 Esempio Prof sanitarie 008 Data l'equazione trigonometrica sen x = 1 posso affermare che il valore dell'angolo x, con 180 x 180, è di: A) 5 B) 5 C) 180 D) 90 E) x 90 90
29 Esempio Simulazione CISIA Ingegneria 007 Risolviamo sen x = 1 senx = ± 1 x = 90 e 70 e associati
30 ESEMPIO senx1 0 senx y SOLUZIONE: k x k 5 k60 x 15 k60
31 ESEMPIO tg x 0 tgx SOLUZIONE: k x k 60 k180 x 60 k180
32 TEST IN AULA SU LOGICA NUMERICA MATEMATICA
33 Fine lezione Grazie per l attenzione!
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