Trigonometria. Funzioni periodiche

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1 Trigonometria aolo Montanari Appunti di Matematica Trigonometria 1 Funzioni periodiche Una funzione f definita in un sottoinsieme X di R si dice periodica di periodo T se per ogni x X si ha: f(x) = f(x+t) Se f è una funzione periodica di periodo T, f è anche periodica di periodo 2T, T, ; cioè f è periodica di periodo kt con k N aolo Montanari Appunti di Matematica Trigonometria 2 1

2 Misura angoli - 1 La misura di angoli più diffusa è il grado pari ad 1/60 dell angolo giro. Il grado è suddiviso in 60 minuti primi ('), e il minuto primo è a sua volta suddiviso in 60 minuti secondi (") Una misura di angoli più usata in matematica è il radiante. La misura in radianti di un angolo è uguale alla lunghezza dell arco di circonferenza unitaria (cioè di raggio pari ad 1) sotteso dall angolo. == aolo Montanari Appunti di Matematica Trigonometria Misura angoli - 2 La misura in radianti di un angolo è uguale alla lunghezza dell arco di circonferenza unitaria sotteso dall angolo. == oichè la circonferenza unitaria ha lunghezza uguale a 2π=6,28, se ne deduce che la misura in radianti dell angolo giro è 2π L angolo piatto sottende un arco di metà circonferenza e quindi la sua misura in radianti è:1/2 (2π) = π =,14 L angolo retto sottende un arco di un quarto di circonferenza e quindi la sua misura in radianti è:1/4 (2π) = π/2 = 1,57 aolo Montanari Appunti di Matematica Trigonometria 4 2

3 Misura angoli - er esprimere in gradi g() la misura di un angolo di cui si conosce la misura in radianti ρ() (o viceversa) si parte dalla proporzione: = () = () = () = () 60 : 2π = g() : ρ() g() [gradi] ρ() [radianti] angolo giro 60 2π angolo piatto 180 π angolo retto 90 π/2 angolo di 1 radiante 57,29 1 angolo di 1 1 0,0174 aolo Montanari Appunti di Matematica Trigonometria 5 Definizioni di seno e coseno Si definisce circonferenza orientata una circonferenza per la quale si fissi come verso positivo di percorrenza il verso antiorario. Viene detta circonferenza goniometrica una qualsiasi circonferenza orientata alla quale sia associato un sistema di riferimento cartesiano ortogonale nel quale si assume il raggio come unità di misura degli assi. In tal modo la circonferenza goniometrica ha raggio unitario (=1). Si consideri un generico angolo orientato espresso in radianti. Anche la lunghezza dell arco di circonferenza sotteso sarà pari ad. Si definisce seno l ordinata di : = = Si definisce coseno l ascissa di : = = H aolo Montanari Appunti di Matematica Trigonometria 6

4 roprietà fondamentali di seno e coseno - 1, Relazione fondamentale: + =1 + = 1) = 1') = 2) = 2') = ) + = ') + = 4) = 4') =, + = con k Z funzioni periodiche di periodo 2π aolo Montanari Appunti di Matematica Trigonometria 7 roprietà fondamentali di seno e coseno - 2 5) + = + 5') + = 6) = 6') = + onendo nelle precedenti =β si ottiene: 7) = 7') = = 8) = 8') = aolo Montanari Appunti di Matematica Trigonometria 8 4

5 Definizioni di tangente e cotangente Si definisce tangente: = = = = = Si definisce cotangente: = = = = M H N,+,+ + = + = con k Z funzioni periodiche di periodo π aolo Montanari Appunti di Matematica Trigonometria 9 Valori notevoli di sen, cos, tg e cotg sen cos tg cotg 0 = 0 rad non esiste 0 = π/ = π/ = π/ = π/2 1 0 non esiste = π non esiste 270 = -1 0 non esiste 0 60 = 2π non esiste aolo Montanari Appunti di Matematica Trigonometria 10 5

6 Grafici di sen e cos aolo Montanari Appunti di Matematica Trigonometria 11 Grafico di tg f(x)=tan(x) π π π π aolo Montanari Appunti di Matematica Trigonometria 12 6

7 Grafico di cotg f(x)=cot(x) 2π π π π π 2π aolo Montanari Appunti di Matematica Trigonometria 1 7