Anno 4 Formule goniometriche

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1 Anno 4 Formule goniometriche

2 Introduzione In questa lezione descriveremo le formule goniometriche. Le formule goniometriche permettono semplificare alcune espressioni e calcolare i valori delle funzioni goniometriche quando gli argomenti sono espressi come addizioni, sottrazioni o multipli di angoli noti Al termine della lezione sarai in grado di applicare le formule: di addizione e sottrazione per il o, eno e tangente di duplicazione e bisezione per il o, eno e tangente parametriche razionali per il o, eno e tangente di prostaferesi In questa lezione descriveremo le formule goniometriche. Tali formule permetto di semplificare alcune espressioni e calcolare i valori delle funzioni goniometriche quando gli argomenti sono espressi come addizioni, sottrazioni o multipli di angoli noti. Nello specifico, al termine della lezione sarai in grado di applicare le formule: di addizione e sottrazione per il o, eno e tangente; di duplicazione e bisezione per il o, eno e tangente; parametriche razionali per il o, eno e tangente; infine, le formule di prostaferesi.

3 Formule di addizione e sottrazione per il eno Formule Esempio di non validità: Iniziamo definendo le formule di addizione e di sottrazione per il eno. Supponiamo, come mostrato in figura, di avere due angoli α e β. Osserviamo subito che non valgono le relazioni α+β=α+β e αβ=α-β. Facciamo un esempio π/6+π/ π/6+ π/. Infatti, π/6+π/= π/=0, mentre π/6+π/= /+/= +/. Si può invece dimostrare che valgono le seguenti formule: α+β= α β-α β, α-β= α β+α β. Applicando le formule all esempio precedente, avremo dunque π/6+π/= π/6 π/-π/6π/= / / -/ /=0.

4 Formule di addizione e sottrazione per il o Formule Esempio: Definiamo ora le formule di addizione e sottrazione per il o. Si può dimostrare che valgono le seguenti formule: α+β=α β +α β, α-β=α β-α β. Riprendiamo l esempio usato per il eno: π/6+π/= π/=; π/6+π/= π/6 π/+π/6 π/=/ / + / /=. 4

5 5 Formule di addizione e sottrazione per la tangente 6 tan 6 tan Formule Esempio: 6 tan tan 6 tan tan 6 tan Mostriamo infine le formule di addizione e sottrazione per la tangente. Si può dimostrare che valgono le seguenti formule: tan α+β=tanα+tanβ/-tanα tanβ, tan α-β=tanα-tanβ/+tanα tanβ, Facciamo un esempio: tanπ/-π/6=tan π/6= /; tanπ/-π/6=[tanπ/-tanπ/6]/+tanπ/tanπ/6]= - //+ /= /.

6 Formule di duplicazione per il o, il eno e la tangente Le formule di duplicazione permettono di calcolare il o, il eno e la tangente di, conoscendo il valore del o, eno, tangente di. Queste formule si ricavano applicando le formule di addizione e sottrazione, dove. Formule: tan tan tan tan tan tan tan tan Mostriamo ora le formule di duplicazione per il o, il eno e la tangente. Le formule di duplicazione permettono di calcolare il o, il eno e la tangente di α, conoscendo il valore del o, eno, tangente di α. Queste formule si ricavano applicando le formule di addizione e sottrazione, dove α= α+α. Analizziamo le formule in dettaglio: α= α+α= α α+α α=α α; α=α+α =α α-α α= α- α, che è uguale, applicando la relazione fondamentale a - α oppure α -. tanα=tanα+α= tanα +tanα/-tanα tanα=tanα/-tan α. 6

7 7 Formule di bisezione per il o, il eno e la tangente Formule: Le formule di bisezione permettono di calcolare il o, il eno e la tangente di, conoscendo il valore del o, eno, tangente di. Esse si ricavano applicando le formule di duplicazione, ricordando che è il doppio di. /, / Mostriamo ora le formule di bisezione per il o, il eno e la tangente. Le formule di bisezione permettono di calcolare il o, il eno e la tangente di α/, conoscendo il valore del o, eno, tangente di α. Queste formule si ricavano applicando le formule di duplicazione, ricordando che α è il doppio di α/. Vediamo le formule in dettaglio. Applicando la formula di duplicazione sull angolo α/, si ha: α/=α= α/-=- α/. Da queste uguaglianze, ricavando rispettivamente α/ e α/, si ottiene: e sin Applicando, infine, la definizione di tangente, si ha: tan.

8 8 Formule parametriche razionali / Formule: Le formule di parametriche permettono di calcolare il o e il eno di un angolo, in funzione della tangente di. / Le formule parametriche permettono di calcolare il o, il eno di un angolo α in funzione della tangente di α/. Queste formule si ricavano dalle formule di duplicazione. Vediamo in dettaglio come. Ricordiamo che α=α/α/, α= α/- α/. Dividiamo il secondo membro di entrambe le formule per α/+ α/ poiché, esdo uguale a, non cambia il valore delle espressioni.

9 9 tan tan tan tan Formule parametriche razionali / Formule: Le formule di parametriche permettono di calcolare il o e il eno di un angolo, in funzione della tangente di. / Procediamo con il calcolo, dividendo, numeratore e denominatore delle frazioni per α/, utilizzando la proprietà invariantiva. Infine, facendo opportune semplificazioni e calcoli, si ottiene: α=tanα//+tan α/ e α=-tan α//+tan α/.

10 Formule parametriche razionali / Le formule parametriche sono chiamate ì perché esprimono o e eno di un angolo in funzione dello stesso parametro t. Esse sono anche dette formule razionali. Formule: tan tan tan tan Poniamo tan t t =t e sostituiamo: t t Le formule parametriche sono chiamate ì perché esprimono o e eno di un angolo in funzione dello stesso parametro t. Esse sono anche dette formule razionali. Vediamo adesso a a corrisponde il parametro t. Riprendiamo le formule di α e α in funzione di tanα/:α=tanα//+tan α/ e α=-tan α//+tan α/. Per comodità, poniamo tanα/=t e sostituiamo nelle formule: α=t/+t e α=-t /+t. 0

11 Formule di prostaferesi Le formule di prostaferesi permettono di trasformare la somma o la differenza di due funzioni goniometriche in un prodotto di funzioni goniometriche. Formule: p q p q p q p q p q p q p q p q p q p q p q p q Infine, le formule di prostaferesi permettono di trasformare la somma o la differenza di due funzioni goniometriche in un prodotto di funzioni goniometriche. Tali formule si ricavano utilizzando le formule di addizione e di sottrazione del o e del eno. Esse sono: p+q=p+q/ p-q/; p-q=p+q/ p-q/; p+q=p+q/ p-q/; p-q=-p+q/ p-q/.

12 Conclusione Formule Goniometriche Formule di bisezione Formule parametriche Formule di addizione e sottrazione Formule di duplicazione Formule di prostaferesi In questa lezione abbiamo illustrato le formule goniometriche. Abbiamo iniziato dalle formule di addizione e sottrazione per o, eno e tangente. Da tali formule abbiamo poi ricavato le formule di duplicazione e le formule di prostaferesi. Dalle formule di duplicazione abbiamo ricavato infine le formule di bisezione e le formule parametriche.