fondamentali Fisica Classica

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1 della Riassunto: presente opera. opera le è richiesto indicazioni il permesso dagli scritto esperimenti dell autore (E. Silva) fondamentali SQ Fisica Classica Punto materiale. Principi della dinamica. F = ma Campi elettrici e magnetici. Equazioni di Maxwell Onde Enrico elettromagnetiche. Silva - proprietà intellettuale non ceduta Non c è = permessa, costante (relatività in particolare, ristretta) la riproduzione anche parziale Per l autorizzazione Per il a singolo riprodurre punto in parte materiale: o in tutto la presente opera è richiesto determinismo, il permesso reversibilità scritto dell autore temporale(e. Silva) Misura: ripetibile, incertezza sperimentale dovuta agli strumenti. Misure di grandezze fisiche differenti sono (o possono essere rese) indipendenti. Esperimento chiave: la doppia fenditura (Young) SQ Energia possibile per un punto materiale: spettro continuo.

2 Diffusione di elettroni * Esperimenti? Punto materiale. Principi della dinamica. F = ma Campi elettrici e magnetici. Equazioni di Maxwell Effetto fotoelettrico Enrico Silva - proprietà Onde intellettuale elettromagnetiche. non ceduta Non è permessa, in particolare, c = la costante riproduzione (relatività ristretta) Effetto Compton anche parziale Per il singolo punto materiale: Interferenza Per l autorizzazione di singoli a riprodurre in parte o in tutto la presente elettroni opera e fotoni è richiesto il permesso scritto dell autore (E. Silva) * previsioni classiche determinismo, reversibilità temporale Misura: ripetibile, incertezza sperimentale dovuta agli strumenti. Misure di grandezze fisiche differenti sono (o possono essere rese) indipendenti. Spettri atomici Energia possibile per un punto materiale: spettro continuo. SQ * Esperimento chiave: la doppia fenditura Crisi dei concetti classici. De Broglie:! è una proprietà generale Punto materiale. Principi della dinamica. F = ma Campi elettrici e magnetici. Equazioni di Maxwell Planck, Einstein: Enrico Silva - proprietà Onde intellettuale elettromagnetiche. non ceduta quanti Non di radiazione è permessa, in particolare, c = la costante riproduzione (relatività ristretta) anche parziale Per il singolo punto materiale: Heisenberg: Per l autorizzazione alcune a riprodurre in parte o in tutto la presente grandezze opera non è richiesto possono il permesso scritto dell autore (E. Silva) essere determinate con precisione simultaneamente determinismo, reversibilità temporale Misura: ripetibile, incertezza sperimentale dovuta agli strumenti. Misure di grandezze fisiche differenti sono (o possono essere rese) indipendenti. Bohr: stati stazionari con energia quantizzata Energia possibile per un punto materiale: spettro continuo. SQ

3 Fondamenti formali Definizione e postulato della funzione d onda (fdo). Giustificazione della equazione di Schrödinger per la fdo. Equazione Non è permessa, di Schrödinger particolare, dipendente la riproduzione e indipendente anche dal parziale tempo Interpretazione Per l autorizzazione probabilistica: a riprodurre limitazioni in parte o nella in tutto scelta la presente della fdo. Interpretazione probabilistica: il problema della misura. Valori di aspettazione. Operatori e osservabili. Stati stazionari. ( Un sistema (ir)realistico: la buca di potenziale infinita) Il problema fisico In generale, per conoscere un qualunque sistema è necessario: 1 identificare le grandezze che lo descrivono 2 determinare le leggi che regolano le relazioni fra le suddette grandezze (ivi compresa l evoluzione temporale) L impostazione classica : 1 posizione, momento (quantità di moto), momento angolare (momento della quantità di moto), energia cinetica e potenziale 2 F = ma, etc.

4 In generale, per conoscere un qualunque sistema è necessario: 1 identificare le grandezze che lo descrivono 2 determinare le leggi che regolano le relazioni fra le suddette grandezze (ivi compresa l evoluzione temporale) Non L approccio è permessa, in particolare, della Meccanica la riproduzione Quantistica anche parziale Secondo Per l autorizzazione le indicazioni a riprodurre degli esperimenti in parte e o le in interpretazioni tutto la presente date, opera è richiesto il permesso si postula: scritto dell autore (E. Silva) Postulato 1 Esiste una funzione "(x,t), detta funzione d onda, che contiene tutta l informazione sul sistema in esame. Il primo passo è quindi Determinare le equazioni cui la funzione d onda deve sottostare La funzione d onda e l equazione di Schrödinger

5 Funzione d onda Cerchiamo una grandezza che possa essere usata per descrivere un sistema fisico. Supponiamo che tutte le informazioni, invece Enrico che nelle Silva grandezze - proprietà classiche intellettuale {posizione, non ceduta velocità}, Non siano è permessa, contenute in in particolare, una funzione la riproduzione "(x,t) (funzione anche d onda). parziale Essa deve render conto della dei dati presente sperimentali, opera. e quindi deve poter: opera rappresentare è richiesto enti il dotati permesso di lunghezza scritto dell autore d onda e (E. frequenza; Silva) soddisfare una equazione d onda; rappresentare una (densità di) probabilità; rappresentare particelle. Fatto questo assunto, si cerca(no) l equazione (le equazioni) che descrive (descrivono) l evoluzione spaziale e temporale della "(x,t). Le equazioni furono determinate da Schrödinger, Considerazioni sull equazione delle onde Fisica classica: l onda armonica progressiva soddisfa l equazione delle onde Notazione: la sola dipendenza da x (quando è possibile della separarle) presente opera. però soddisfa Per l autorizzazione anche l equazione a riprodurre del primo in ordine: parte o in tutto la presente Perché questa equazione non è accettabile? " indica la funzione dipendente da x e t, mentre # indica Perché non è soddisfatta dall onda regressiva L equazione non è simmetrica per propagazione in versi opposti, ovvero non è identica per k e k. Perché lo sia, deve contenere la derivata seconda rispetto a x. Inoltre, la grandezza fisica è la parte reale, Re["]: perché l equazione non mescoli anche la parte immaginaria, è necessaria la derivata seconda rispetto a t.

6 Una giustificazione dell eq. di Schrödinger L equazione si deve applicare a fenomeni simili ai fenomeni ondulatori; consideriamo come funzione d onda di prova: Similmente all equazione Enrico Silva delle - proprietà onde, richiedendo intellettuale che l equazione non cedutasia simmetrica per k Non e k, è permessa, ragionevole in scrivere particolare, un termine la riproduzione con la derivata anche seconda parziale rispetto a x. La derivata prima rispetto al tempo fornisce Nota: si tratta di un caso particolare: non è una dimostrazione. De Broglie, non relativistico si procede ammettendo che la grandezza di interesse possa essere complessa (ovvero ammettendo che non sia solo la parte reale Re["] che determina la fisica) e quindi sfruttando le due equazioni precedenti Per procedere: analogia con la fisica classica Energia Non di una è permessa, particella in = particolare, en. cinetica la + riproduzione en. potenziale anche parziale Per l autorizzazione a riprodurre con in parte o in tutto la presente Attenzione ai simboli: in questo contesto V è l energia potenziale, non il potenziale. Sostituendo, la prima equazione fornisce da cui, usando la seconda: Ricordiamo che questa equazione è ottenuta per la fdo di prova: non è ricavata per una fdo qualunque.

7 Equazione di Schrödinger Si assume che ogni funzione d onda debba soddisfare l equazione: Equazione di Schrödinger della presente dipendente opera. dal tempo dove opera in generale è richiesto V = il V(x,t) permesso è l energia scritto dell autore potenziale specifica (E. Silva) del problema in questione. La maggior parte dei problemi di Meccanica Quantistica che verranno trattati consistono nella soluzione dell equazione di Schrödinger per un determinato sistema, rappresentato e descritto dal particolare V(x,t). L equazione di Schrödinger dipendente dal tempo è l equazione da risolvere per studiare i problemi di moto e di evoluzione temporale. Equazione di Schrödinger - commenti Non è permessa, in L equazione particolare, di la S. riproduzione è lineare: anche parziale se " 1 e " 2 sono della soluzioni, presente anche opera. a" 1 + b" 2 lo è Per l autorizzazione (N.B.: a, a b riprodurre sono numeri in parte complessi). o in tutto la presente Questo è necessario, poiché il comportamento ondulatorio rivelato sperimentalmente richiede che valga il principio di sovrapposizione: Ogni sovrapposizione lineare di una funzione d onda è a sua volta una funzione d onda ammissibile.

8 Equazione di Schrödinger indipendente da t Supponiamo quindi che la fdo soddisfi l equazione di Schrödinger. Equazione di Schrödinger dipendente dal tempo: Supponiamo che V non dipenda dal tempo: V=V(x) Ipotesi di Per separazione l autorizzazione delle variabili: a riprodurre in parte o in tutto la presente dividendo per f#: funzione solo di x Funzioni di variabili differenti uguali fra loro funzione solo di t Devono essere uguali a una costante. Chiamiamola E. Ottengo due equazioni differenziali ordinarie Non è permessa, in particolare, la riproduzione Equazione anche di parziale Schrödinger indipendente dal tempo. L evoluzione Per l autorizzazione temporale a riprodurre in parte o #(x) in tutto dipende la presente da V(x). non opera dipende è richiesto da V, il permesso scritto dell autore (E. Silva) se V non dipende da t. L equazione di Schrödinger > non dipende dal problema particolare indipendente dal tempo è una equazione agli autovalori. Risolvere l equazione di Schrödinger equivale a risolvere un problema agli autovalori, ovvero trovare i valori permessi di E e le corrispondenti #(x). Questa parte del problema dipende da V. La fdo complessiva (che include la dinamica) è data poi da:

9 Interpretazione statistica Born diede per primo una chiara interpretazione statistica della funzione d onda, suggerendo che rappresenti Per l autorizzazione la probabilità a di riprodurre trovare al in tempo parte t o fra in il tutto punto la presente x e il punto opera è x+dx richiesto la particella il permesso rappresentata scritto dell autore da "(x,t). (E. Silva) Pertanto "(x,t) 2 è una densità di probabilità. Nota: "(x,t) non è una buona grandezza probabilistica: è complessa! Invece, "*(x,t)"(x,t)= "(x,t) 2 è reale Nota 2: "(x,t) soddisfa a un equazione delle onde: è detta anche un onda di probabilità. Normalizzazione della funzione d onda Se è una densità di probabilità, deve valere la proprietà di normalizzazione della probabilità: Ricordiamoci che la fdo rappresenta della presente una opera. particella: quest ultima, anche se Per non l autorizzazione completamente a localizzata, riprodurre deve in parte trovarsi o in tutto da qualche la presente parte. L interpretazione opera è richiesto probabilistica permesso (richiesta scritto dell autore dagli esperimenti) (E. Silva) impone quindi un vincolo sulle possibili fdo: sono funzioni d onda fisiche solo le fdo normalizzabili. Poiché l equazione di Schrödinger è lineare, se " è soluzione anche A" è soluzione. Normalizzare la fdo significa scegliere A tale che A può essere complessa.

10 Normalizzazione della fdo: conseguenze Normalizzare la fdo: Perché la fdo sia normalizzabile, per x > ±!, " > 0 più rapidamente di 1/" x Alcune soluzioni Non è permessa, (inclusa la soluzione in particolare, banale la " riproduzione = 0) devono essere anche scartate. parziale Per l autorizzazione a riprodurre in parte o in tutto + la presente 1 opera è richiesto il permesso scritto dell autore Richiamo: (E. Silva) + c c x dx, c > 0 1 dx, c > 0 x1+δ diverge converge Osservazione. Mediante separazione di variabili abbiamo ottenuto: > la normalizzazione di "(x,t) comporta la normalizzazione di #(x). Conservazione della probabilità Sia data "(x,t), funzione d onda, che soddisfi l equazione di Schrödinger. Essa sia stata normalizzata, p.es., al tempo t = 0. L evoluzione temporale è dettata da: A tempi t > 0, la fdo è ancora normalizzata? Se non lo è, la teoria diviene inconsistente! Bisogna verificare che:

11 Conservazione della probabilità - dimostrazione Derivata del Enrico prodotto Silva di - funzioni: proprietà intellettuale non ceduta Equazione di Schrödinger: complessa coniugata: richiamo: i = 1/i esercizio: verificare Conservazione della probabilità - dimostrazione (2) Enrico Silva - proprietà allora: intellettuale non ceduta dove l ultimo passaggio deriva dal fatto che le fdo devono essere normalizzabili, e quindi devono andare a zero velocemente per x > ±!. Quindi, se " è normalizzata a t = 0, resta normalizzata. QED

12 Il flusso La grandezza: è detta flusso, della e presente poiché si opera. è dimostrato (Vedi dimostrazione della conservazione della probabilità per l eq. di Schrödinger) Si ha la legge di conservazione per la densità di probabilità: In 3D: t Ψ( r, t) 2 + j ( r, t) = 0 cfr. equazione di continuità per la corrente Probabilità: richiami $(x) densità di probabilità per la variabile continua x %( &, +&). Allora: Probabilità di trovare il valore di x fra x e x+dx. Enrico Silva - proprietà Probabilità intellettuale di trovare non x nell intervallo ceduta [a,b]. della Normalizzazione presente opera. della probabilità opera è richiesto il permesso Valor medio scritto di dell autore x ( valore aspettato ) (E. Silva) NON è necessariamente il valore più probabile Valor medio di f(x) varianza o scarto quadratico medio Deviazione standard

13 La varianza La deviazione media di x dal valor medio è zero. Non è Valor medio di x. una misura della larghezza della distribuzione per x. varianza o scarto quadratico medio " <x> = 3,! = 0.75 Distribuzioni gaussiane con diversi valori medi e deviazioni standard 1 <x> = 3,! = 0.15 <x> = 7,! = 0.35 <x> = 3,! = deviazione standard: misura della larghezza della distribuzione per x. x Postulati della MQ

14 La funzione d onda Esiste una funzione d onda (fdo) " che descrive l evoluzione spaziale e temporale di una particella (o di Enrico un Silva sistema, - proprietà vedi più intellettuale oltre) quantistica. non ceduta Non Una è permessa, fdo del tipo in particolare, "(x,t) descrive la riproduzione un sistema o anche particella parziale con un solo grado della di libertà presente (indicato opera. dalla variabile x) L evoluzione è data dall equazione di Schroedinger: Implicazione: l evoluzione della fdo è deterministica. Interpretazione probabilistica La grandezza: "(x,t) Enrico Silva - proprietà 2 = "(x,t)*"(x,t) intellettuale non ceduta Non rappresenta è permessa, la in densità particolare, di probabilità la riproduzione di una particella anche parziale (o sistema) della presente quantistico. opera. opera è richiesto il permesso Di conseguenza scritto dell autore (E. Silva) + Ψ(x, t) Ψ(x, t)dx = 1 Implicazione: le fdo ammissibili devono essere normalizzabili.

15 Continuità La fdo "(x,t) Enrico Silva e la derivata - proprietà spaziale intellettuale #"(x,t)/#x non ceduta Non è permessa, sono funzioni in particolare, continue la in riproduzione un mezzo isotropo. anche parziale Implicazione: le fdo ammissibili devono essere finite nello spazio delle posizioni. Osservabili e operatori Le grandezze misurabili sono rappresentate da Enrico Silva - proprietà operatori. intellettuale non ceduta Non è permessa, Gli operatori in particolare, agiscono la riproduzione sulla fdo "(x,t). anche parziale L operazione di della misurare presente un osservabile opera. Q si traduce Per l autorizzazione matematicamente a riprodurre nell applicare in parte o l operatore in tutto la presente opera corrispondente è richiesto il permesso alla fdo e scritto cercarne dell autore l autovalore: (E. Silva) QΨ(x, t) = qψ(x, t) I diversi valori di q ammissibili rappresentano i possibili risultati di una misura.

16 Valori aspettati Il valore Enrico aspettato Silva - di proprietà una variabile intellettuale dinamica non Q ceduta è fornito Non dalla è permessa, operazione in particolare, del corrispondente la riproduzione operatore anche sulla parziale fdo, mediato della presente su tutto lo opera. spazio: Per l autorizzazione a riprodurre + in parte o in tutto la presente opera è richiesto Q = il permesso Ψ(x, scritto t) QΨ(x, dell autore t)dx (E. Silva) Valori Enrico Silva d aspettazione. - proprietà intellettuale non ceduta Operatori. Misura.

17 Valori d aspettazione: posizione Sia "(x,t) la fdo di un sistema. Stante il significato probabilistico, il valore aspettato per la posizione di una particella nello stato "(x,t) è: Cosa succede al variare del tempo? <x> cambia, poiché cambia "(x,t). Classicamente, cercheremmo la velocità: v=dx/dt. Cerchiamo d<x>/dt. e rappresenta la media di numerose misure effettuate su numerosi sistemi tutti preparati allo stesso modo (stesso stato "). Vedi oltre! Valori d aspettazione: velocità In questo passaggio non va introdotto un termine #x/#t, perché la variazione di tempo è data solo dalla variazione di "! Nei vari passaggi si sfrutta: 1- " va a zero all infinito più rapidamente di 1/x. 2- l integrazione per parti: Vedi dimostrazione della conservazione della probabilità per l eq. di Schrödinger x nel In definitiva, identificando <v> con d<x>/dt (a questo livello è un postulato, anche se verosimile), si ha: Che fornisce la maniera di calcolare v data ".

18 Operatore momento La velocità: Il momento: Questa relazione è scritta in termini di un operatore che agisce sulla fdo. Si dice che l operatore rappresenta il momento nello stato ". Operatori Il momento: La posizione: In Per generale, l autorizzazione qualunque a riprodurre grandezza in Q parte può essere o in tutto espressa la presente come opera è richiesto combinazione il permesso di questi scritto due dell autore operatori. (E. Silva) Ad esempio, l energia cinetica:

19 Energia e hamiltoniana Energia cinetica: L energia Per totale l autorizzazione è detta anche a riprodurre Hamiltoniana. in parte o in tutto la presente Equazioni agli autovalori Dato un operatore, risolvere l equazione significa Enrico trovare Silva la particolare - proprietà classe intellettuale di funzioni non " ceduta per le quali l applicazione Non è permessa, dell operatore in particolare, la fornisce riproduzione la stessa anche funzione, parziale moltiplicata per un opportuno della presente numero opera. q. Siano esse Ψ Q,n Per l autorizzazione Le funzioni a riprodurre per cui in ciò parte è possibile o in tutto la presente opera è richiesto si chiamano il permesso autofunzioni scritto o dell autore autostati di (E. Silva) I valori di q si chiamano autovalori di e possono essere discreti (quantizzazione) o continui, in numero finito o infinito. Nella maggior parte dei casi, la conoscenza di un sistema comporta il calcolo delle autofunzioni e degli autovalori di determinati operatori.

20 Equazioni agli autovalori Esercizio: sia dato l operatore differenziale (derivata): della presente Q = d dxopera. Dimostrare opera è richiesto che le il autofunzioni permesso scritto sono dell autore esponenziali (E. del Silva) tipo: e qx dove q è l autovalore Operatori lineari. Siano a e b due numeri (eventualmente complessi). Un operatore si dice lineare se: Enrico Q [aψsilva 1 (x) - + proprietà bψ 2 (x)] intellettuale = a QΨ 1 (x) non + bceduta QΨ 2 (x) Esempi di operatori lineari: derivazioni di ogni ordine Esempio di operatore non lineare: il logaritmo Gli operatori legati agli osservabili sono lineari.

21 Operatori hermitiani. Operatori per cui valga: + + ψ Qψdx = ψ Q ψ dx sono detti hermitiani. Enrico Si dimostra Silva - che, proprietà per operatori intellettuale hermitiani: non ceduta Non + è permessa, in particolare, + la riproduzione anche parziale 1] ψ Qψ 1 2 dx = della presente ψ Q 1 ψopera. 2dx 2] gli autovalori Per l autorizzazione sono reali. a riprodurre in parte o in tutto la presente 3] autofunzioni opera corrispondenti è richiesto il a permesso autovalori differenti scritto dell autore sono ortogonali, (E. Silva) e + possono essere prese ortonormali, ovvero: ψn(x)ψ m (x)dx = δ n,m 4] l insieme delle autofunzioni #Q,n di un operatore hermitiano è completo, ovvero ogni fdo " può essere espressa come combinazione lineare delle #q,n: Ψ(x) = n c n ψ Q,n (x) Operatori hermitiani (2). Gli operatori legati agli osservabili sono hermitiani. Esercizio: dimostrare. Suggerimento: il valore aspettato deve essere reale. Ulteriori proprietà. Essendo: opera è richiesto Ψ(x) = il permesso c n ψ n (x) scritto dell autore dove le (E. ψ n Silva) sono autofunzioni n allora: c n = + c n 2 = 1 n ψ n(x)ψ(x)dx Esercizio: dimostrare.

22 Commutazione. L applicazione successiva di due operatori lineari dipende dall ordine di applicazione. Esempio: si considerino Non è permessa, in particolare, la riproduzione l operatore posizione, anche parziale x della presente l operatore opera. momento, i x opera è richiesto È il evidente permesso che: scritto x dell autore (E. Silva) i x Ψ(x) i x [xψ(x)] Due operatori (lineari) non necessariamente commutano. Detti Q, Ŵ due operatori, [ ] la grandezza Q, Ŵ = QŴ Ŵ Q è detta commutatore di Q e Ŵ [ e rappresenta ] l operazione: Q, Ŵ Ψ = Q ) ( ) (Ŵ Ψ Ŵ QΨ Esercizio: dimostrare che [ p, x ] = i La misura. Sia "(x,t) la fdo di un sistema. Stante il significato probabilistico, il valore aspettato per un osservabile Q nello stato "(x,t) è: + Enrico Silva Q - proprietà = intellettuale Ψ QΨdx non ceduta Non è permessa, in particolare, la riproduzione anche parziale Due misure Per l autorizzazione immediatamente a successive riprodurre in sul parte medesimo o in tutto sistema la presente devono dare il medesimo opera è richiesto valore, il perché permesso il concetto scritto dell autore di misura abbia (E. Silva) senso. Quindi, la relazione sopra non significa che facendo numerose misure sulla stessa particella il risultato è: + Q = Ψ QΨdx Piuttosto, esso rappresenta la media di numerose misure effettuate su numerosi sistemi tutti preparati allo stesso modo (stesso stato "). Effettuando una misura, la fdo collassa in un certo stato.

23 La misura. Effettuare una misura di Q = applicare l operatore corrispondente e ottenere come risultato uno dei possibili valori di q, ovvero un autovalore: Questo Non è permessa, è possibile in solo particolare, se fdo la è riproduzione un autostato di anche, parziale per cui: QΨ Q,n = qψ Q,n opera è richiesto dove le il permesso sono scritto le autofunzioni dell autore di(e. Silva) Ψ Q,n Di conseguenza, una misura di un osservabile proietta la fdo in uno degli autostati dell operatore a esso associato. una misura successiva fornirà nuovamente la misura q. Effettuando una misura, la fdo collassa in un certo stato. Esercizio: cercare su Google paradosso di Zenone quantistico o effetto Zenone quantistico o quantum Zeno effect o quantum Zeno paradox