Docente: Alessandro Melchiorri Slides delle lezioni: oberon.roma1.infn.it/alessandro/astro2014

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1 Astronomia Lezione 14/11/2014 Docente: Alessandro Melchiorri Slides delle lezioni: oberon.roma1.infn.it/alessandro/astro2014

2 Atmosfere Stellari Nel caso di equilibrio termodinamico vale a dire che ogni fotone assorbito corrisponde ad un fotone emesso, le temperature di ionizzazione, eccitazione, cinetica e di corpo nero sono le stesse. Tuttavia questo non e vero per una stella: vi sono zone piu o meno calde, la temperatura puo variare da punto a punto e vi è trasporto di energia. In prima approssimazione pero si puo assumere la condizione di equilibrio termodinamico locale ( Local Thermal Equilibrium, LTE) quando il cammino libero medio delle particelle che trasportano energia e molto minore delle distanze alle quali la temperatura varia significativamente. Ad esempio la fotosfera e la zona dell atmosfera solare da dove possono uscire i fotoni del Sole. Considerando un modello di fotosfera si ha una variazione di temperatura da 5580 K a 5790K lungo una distanza di 25 km. Possiamo considerare quindi l altezza di scala della Temperatura come:

3 Questa quantita va confrontata con il libero cammino medio delle particelle. Assumiamo che vi siano solo atomi di idrogeno allo stato fondamentale. Due Atomi di idrogeno si «scontreranno» se i loro centri sono ad una distanza minore di Due raggi si Bohr a0. Il problema e equivalente ad un singolo atomo di raggio 2a0 che Incontra i centri di vari atomi. La densita alla fotosfera e e dunque si ha una densita di atomi di idrogeno.

4 Se un atomo ha velocita v in un tempo t avra coperto un volume pari a: Dove s e la sezione d urto collisionale. In questo volume ci sono atomi di idrogeno che corrispondono al numero di urti lungo il cammino vt. Il cammino medio tra un urto e l altro sara il cammino totale diviso il numero di urti, vale a dire il libero cammino medio: Per un atomo di idrogeno: ETL OK per Idrogeno!

5 Opacita Un raggio di luce che attraversa un gas perde fotoni per assorbimento. L equazione che descrive questo processo e la seguente: vale a dire che l assorbimento per lunghezza d onda e proporzionale al cammino ds nel gas, alla densita del gas e alla intesita iniziale stessa. La quantita kl e detta coefficiente di assorbimento o opacita e dipende dalla densita, temperatura e composizione del gas.

6 Opacita Considerando la fotosfera del Sole si ha (a frequenze di 500 nm): E quindi si ha che i fotoni vengono assorbiti ad una distanza: Che e minore della altezza di scala di temperatura ma confrontabile. La condizione ETL vale quindi per gli atomi di idrogeno ma non propriamente per i fotoni. La distanza sopra definita e il cammino libero medio del fotone, da cui si puo ottenere la sezione d urto usando la definizione precedente:

7 Consideriamo adesso la profondita ottica tl definita a partire dalla quantita differenziale: Il segno meno sta ad indicare che il moto del fotone e verso di noi mentre noi guardiamo le distanze a partire dalla Terra. Per un raggio di luce che percorre una distanza s si ha una variazione nella profondita ottica: Dato che e una quantita negativa, vale a dire che la Profondita ottica diminuisce, possiamo porre la profondita ottica a zero sulla superficie della stella e considerarla Crescente mano a mano che andiamo all interno dell atmosfera stellare:

8 Nel caso di puro assorbimento abbiamo quindi: Se il raggio parte da un punto dove la profodita ottica e pari a 1, l intensita specifica sara diminuita di un fattore 1/e quando lascia la stella. La profondita ottica puo quindi essere pensata come collegata al numero di cammini liberi medi percorsi dal fotone nell atmosfera stellare. Un gas puo essere otticamente spesso se tl>>1 o otticamente sottile se tl <<1

9 Profondita ottica Chiaramente potremo osservare solo luce proveniente da regioni con profondita ottica piccola (pochi urti) con t=1. Vedremo in realta che e possibile osservare luce Proveniente al massimo da regioni con t=2/3. Questo porta a due conseguenze: 1- Ricordando che: La temperatura della stella deve diminuire andando verso l esterno (e cosi l assorbimento) altrimenti non potremmo vedere le righe di assorbimento. 2- Oscuramento al bordo. Guardando una stella possiamo vedere piu in profondita andando verso il centro rispetto all esterno che ci apparira piu oscuro.

10 Legge della secante

11 Sorgenti Generali di Opacita I processi che danno luogo all opacita di un raggio di luce ed ad un diminuire della sua Intensita possono provenire da un assorbimento dei fotoni che lo costituiscono (i fotoni in questo caso scompaiono e la loro energia si trasforma in energia termica del gas) o in uno scattering del fotone in un altra direzione (quindi ne vediamo meno). Se questi processi variano lentamente con la lunghezza d onda, allora il coefficiente di assorbimento kl dipende lentamente dalla lunghezza d onda e l assorbimento e continuo nello spettro. Altrimenti se varia rapidamente abbiamo la formazione di righe. Essenzialmente si hanno quattro meccanismi fisici che portano ad assorbimento o scattering di fotoni: 1- Transizioni legato-legato (bound-bound): In questo caso il fotone viene assorbito da un atomo e un elettrone si sposta a livello energetico piu alto. L elettrone puo quindi tornare al livello di partenza e riemettere lo stesso fotone. In questo caso e un processo di scattering. Oppure puo tornare ad un livello diverso, quindi il fotone originario e perso come in un processo di assorbimento. Un importante sottoprodotto di questo processo di assorbimento e la degradazione dell energia media dei fotoni del campo di radiazione. Se infatti l elettrone si diseccita passando per due stati, emettera due fotoni di energia inferiore di quello iniziale. Per questo processo l opac ita klbb e piccola per il continuo ed e rilevante solo per alcune frequenze (righe)

12 2- Assorbimento legato-libero (bound-free): in questo caso il fotone ha abbastanza energia per Ionizzare l atomo. Chiaramente tutti i fotoni con lunghezza d onda minore di: (dove cn e l energia di ionizzazione si un atomo al livello di eccitazione n) saranno assorbiti. Quindi questo processo con opacita klbf contibuisce al continuo. Il processo inverso (un elettrone viene catturato da un atomo emettendo un fotone) puo anch esso ridurre l energia media dei fotoni perche l elettrone puo essere catturato in un orbita piu esterna. 3- Assorbimento libero-libero (free-free). Se un elettrone passa accanto ad uno ione, questo puo frenare emettendo un fotone (radiazione di bremsstrahlung o di frenamento). Il Processo che ci interessa e quello inverso, un elettrone passa accanto ad uno ione ed accelera assorbendo un fotone. L opacita di questo processo klff contribuisce quindi al continuo.

13 4- Thomson Scattering (electron-scattering): quando un elettrone libero si scontra con un fotone si ha lo scattering Thomson. Questo puo avvenire a qualunque frequenza e quindi il coefficiente di opacita dello scattering Thomson kles non dipende dalla frequenza e quindi ha un effetto sul continuo dello spettro. Il valore della sezione d urto dello scattering Thomson e : che e molto minore della sezione d urto per ionizzazione dell atomo di Idrogeno: Quindi lo scattering Thomson ha effetto considerevole solo a grandi temperature, quando vi sono molti elettroni liberi nell atmosfera stellare.

14 L energia di ionizzazione di un atomo di idrogeno eccitato con l elettrone nello stato n=2 e pari a: si ha quindi che se n=2 e popolato l intensita della luce a lunghezze d onda inferiori a subira un assorbimento continuo dovuto all assorbimento legato-libero. Questo Salto di Balmer e chiaramente visibile, ad esempio nel Sole (figura sopra).

15 Il massimo numero di atomi di idrogeno Eccitati con n=2 si ha per temperature di Circa T=9900K. Queste sono le stelle di classe spettrale A0. Il valore di 364.7nm al di sotto del Quale si ha il salto di Balmer e al centro della banda U (365 nm). Ci possiamo quindi aspettare che stelle di tipo A0 siano meno luminose in questa banda e quindi abbiano indice di colore U-B piu grande (U e magnitudine).

16 Le stelle di tipo A0 sono infatti quelle che si discostano di piu da un corpo nero In un diagramma colore-colore. (Vedi sopra). Il Salto di Balmer puo essere usato per determinare la temperatura dell atmosfera stellare.

17 Assorbimento da parte di ione negativo H- e altri Per stelle a temperature sufficientemente basse (sotto F0) il contributo maggiore alla opacita viene dallo ione negativo di idrogeno H-. Questo ione consiste in un atomo di idrogeno con 2 elettroni. La cosa e possibile se uno dei due elettroni e piu vicino al nucleo dell altro. A causa della schermatura parziale da parte del nucleo e possibile avere un tale tipo di configurazione stabile. L energia di ionizzazione e molto bassa ev corrispondente a 1640 nm. Per tutte le lunghezze d onda inferiori a 1640 nm si avra assorbimento continuo, In stelle a bassa temperatura da classe F0 in giu. Per stelle di tipo A e B all opacita contribuiscono maggiormente la fotoionizzazione dell idrogeno e l assorbimento free-free. Per stelle di tipo O invece e piu importante l assorbimento dovuto allo scattering Thomson. per stelle molto fredde abbiamo assorbimento da parte di molecole per processi Legato-legato o legato-libero.

18 Opacita totale e media di Rosseland In generale quindi l opacita totale in una stella sara la somma di diversi termini piu o meno importanti: l opacita totale non dipende solo dalla lunghezza d onda ma dalla temperatura, composizione e densita dell atmosfera stellare. E utile considerare una opacita che non dipende dalla lunghezza d onda e considerarne una media pesata. La media maggiormente utilizzata e la media di Rosseland che ha Il maggior contributo dai valori di opacita k minori, pesata per le variazioni del corpo nero a quelle frequenze: questo valore medio non dipende piu dalla frequenza ma dalla temperatura, densita e composizione della stella.

19 Media di Rosseland Sfortunatamente non si hanno delle espressioni analitiche per le opacita medie nel caso di sistemi legato-legato perche le transizioni sono troppo complesse. Si hanno pero le seguenti utili espressioni per i meccanismi legato-libero (bound-free) e libero-libero (free-free): Dove r e la densita in kg/m^3, T e la temperatura in K, mentre X, Y e Z sono le Abbondanze in idrogeno, elio e metalli definite cosi : con, chiaramente, X+Y+Z=1. I termini gff e gbf sono chiamati fattori di Gaunt, hanno origine quanto-meccanica e sono dell ordine di 1. t invece e detto fattore di ghigliottina e vale da 1 a 100 e determina il cut-off dell atomo ionizzato.

20 Media di Rosseland Queste opacita hanno un andamento funzionale del tipo: Dove il coefficiente k0 e praticamente costante una volta fissata la composizione della stella. Questo andamento prende il nome di legge di opacita di Kramers. Per quanto riguarda lo scattering Thomson elettrone-fotone, questo non dipende dalla frequenza. Il valore medio di Rosseland e data da: Per il termine di ionizzazione dello ione H- invece si ha la seguente formula approssimata: nel caso in cui: (i valori di X e Z sono tipici per stelle in sequenza principale).

21 Media di Rosseland Si puo quindi considerare una opacita media totale: Un calcolo teorico per valori di opacita totale in funzione della temperatura e densita e riportato in figura. Si ha che a) Aumentando la densita aumenta k a parita di Temperatura. Guardando a densita costante, il primo picco e dovuto alle transizioni legato-legato dell idrogeno, la discesa seguente e invece dovuta a meccanismi Libero-legato e libero-libero (va come T^-3.5). I due picchi seguenti sono dovuti all Elio He II ionizzato (T=40000K) e a metalli come il Ferro. Tutte le curve poi convergono Ad un solo valore dato da processi di scattering Thomson (che non dipende ne da densita ne da temperatura).

22 Equazione del Trasporto Radiativo Durante il suo cammino il raggio luminoso potra anche incrementare la sua intensita grazie a fenomeni di emissione. In questo caso: dove jl e detto coefficiente di emissione. Considerando sia assorbimento che emissione si ha: Dividendo ambo i membri si puo riscrivere come: Ovvero: Detta equazione del trasporto radiativo, definendo come funzione sorgente:

23 Equazione del Trasporto Radiativo Durante il suo cammino il raggio luminoso potra anche incrementare la sua intensita grazie a fenomeni di emissione. In questo caso: dove jl e detto coefficiente di emissione. Considerando sia assorbimento che emissione si ha: Dividendo ambo i membri si puo riscrivere come: Ovvero: Detta equazione del trasporto radiativo, definendo come funzione sorgente: