Campi magnetici variabili nel tempo. Esercizi.

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1 Camp magnetc varabl nel tempo. Esercz. Mauro Sata Versone provvsora. Novembre Per comment o segnalazon d error scrvere, per favore, a: maurosata@tscalnet.t Indce 1 Induzone elettromagnetca. 1 2 Onde elettromagnetche 2 3 Soluzon 3 1 Induzone elettromagnetca. Eserczo 1.1. Enuncare e spegare la legge d Faraday-Neumann. Eserczo 1.2. In cosa consste la legge d Lenz? Eserczo 1.3. In un crcuto elettrco, nell ntervallo d = 0, 060 s s ha una varazone d corrente d 1, 4 A. Se l nduttanza del crcuto è par a L = 35 µh, s determn l valore della forza elettromotrce ndotta. Interpretare l segno ottenuto nel rsultato. Eserczo 1.4. In un crcuto elettrco, l flusso d campo magnetco è 8, Wb e l ntenstà d corrente che crcola nel crcuto è 8, A. Determnare l coeffcente d autonduzone nel crcuto. Eserczo 1.5. L nduttanza, n un crcuto elettrco, è L = 5, µh. Se l ntenstà d corrente vara da 0 a 5, A n 4, 0 s, trovare la forza elettromotrce ndotta nel crcuto. Eserczo 1.6. Descrvere l prncpo d funzonamento d un alternatore (generatore d corrente alternata) e d una dnamo. 1 Fle: Induzone elettromagnetca esercz 2014.tex 1

2 Eserczo 1.7 (Lmt d valdtà della legge d Ampere.). La legge d Ampere vale nel caso d corrent unform. Che cosa succede se la corrente vara nel tempo? Spegare. Eserczo 1.8 (Legge d Ampere-Maxwell.). Maxwell modfcò la legge d Ampere ntroducendo un correttvo che la rende valda anche nel caso d corrent varabl nel tempo. In cosa consste tale modfca? Spegare. Eserczo 1.9 (Corrente d spostamento.). Un condensatore pano è formato da due armature crcolar d raggo poste a breve dstanza una dall altra. La carca afflusce su una armatura e deflusce dall altra con rapdtà = 1, 8 A. Determnare l ntenstà della corrente d spostamento tra le armature. Eserczo 1.10 (Induzone magnetca tra le armature d un condensatore durante la fase d carca.). Un condensatore pano è formato da due armature crcolar d raggo poste a breve dstanza una dall altra. Se l ntenstà della corrente d conduzone che afflusce sull armatura postva è, s determn l vettore nduzone magnetca n un punto tra le due armature che s trova a dstanza r (r < ) dall asse delle armature. Eserczo Per mantenere n moto una spra d rame n un campo magnetco s applca la forza F. Se l ntenstà del campo magnetco vene raddoppata, quale forza occorre applcare alla spra per mantenerla n moto alla stessa veloctà? Eserczo Un solenode è formato da 5 spre rettangolar; le dmenson d cascuna spra sono 2, 0 cm e 3, 0 cm. Il solenode è dsposto perpendcolarmente a un campo magnetco unforme d ntenstà B = 4, T. Se l ntenstà del campo magnetco s rduce a zero n t = 10 3 s, determnare, n tale ntervallo d tempo, la forza elettromotrce ndotta nel solenode. 2 Onde elettromagnetche Eserczo 2.1. In quale modo s possono generare onde elettromagnetche? 2

3 3 Soluzon Eserczo 1.1 S consder l caso d una spra conduttrce mmersa n un campo magnetco. Se l flusso d B concatenato con la spra vara nel tempo, nella spra s regstra passaggo d corrente. In altr termn, se nell ntervallo d tempo s ha una varazone d flusso allora la forza elettromotrce ndotta f nella spra eguagla la varazone Φ(B) d flusso rspetto all ntervallo d tempo f = Φ(B) (3.1) f costtusce l valore medo della forza elettromotrce ndotta nella spra, nell ntervallo. Essa è uguale alla rapdtà d varazone del flusso magnetco nel tempo. Ovvamente, se s provoca la stessa varazone d flusso n un ntervallo d tempo mnore la forza elettromotrce sarà maggore. Per trovare la forza elettromotrce all stante t bsogna passare al lmte per 0 Φ(B) f = lm = dφ(b) 0 (3.2) L uguaglanza (3.2) s chama legge d Faraday-Neumann. Possbl approfondment: descrzone dell espermento dell anello attraverso l quale Mchael Faraday scoprı, nel 1831, l nduzone elettromagnetca. Eserczo 1.2 S consder un crcuto mmerso n un campo magnetco. Se l flusso magnetco concatenato con l crcuto vara nel tempo allora nel crcuto s nduce una forza elettromotrce f = dφ(b) (legge d Faraday- Neumann). S può rcavare l valore dell ntenstà d corrente che crcola nel crcuto all stante t rcordando la legge d Ohm (f = ). S ottene: (t) = f = 1 dφ(b) La legge d Lenz stablsce l verso con cu questa corrente scorre nel crcuto. Pù precsamente, la corrente è causata dalla varazone (nel tempo) del flusso Φ(B), dove B è l campo magnetco n cu è mmerso l crcuto. Tuttava la corrente che crcola nel crcuto genera a sua volta un campo magnetco B l cu flusso Φ(B ) ha segno opposto rspetto a quello d Φ(B). La legge d Lenz esprme la tendenza de sstem fsc elettromagnetc, ad oppors a rapde varazon d stato, così come n dnamca corp tendono ad oppors a rapde varazon d veloctà (nerza meccanca). Per spegare l segno meno che compare nella legge d Lenz f = dφ(b) s può utlzzare l prncpo d conservazone dell energa. La corrente ndotta nel crcuto dà orgne a un campo magnetco e, d conseguenza, a un flusso concatenato con l crcuto. Questo flusso deve oppors alla varazone d flusso che ha nzalmente generato la corrente ndotta, altrment, se tale corrente generasse un flusso che favorsse la varazone complessva d flusso, la forza elettromotrce ndotta aumenterebbe e cò provocherebbe un ulterore aumento della forza elettromotrce ndotta. In (3.3) (3.4) 3

4 questo modo la corrente nel crcuto crescerebbe ndefntvamente senza spese d energa, contraddcendo così l prncpo d consevazone dell energa. Eserczo 1.3 Da f = Φ(B) f = L = 3, 5 1, 10 5 = L s rcava: 4 A 0, 060 s = 8, V Eserczo 1.4 Eserczo 1.5 Eserczo 1.6 1, H f = 69 mv S veda l lbro d testo e gl appunt n rete. Eserczo 1.7 La legge d Ampere afferma che: n un campo magnetco generato da un flo d forma qualsas percorso da corrente stazonara la crcutazone d B lungo una qualunque lnea γ, chusa, orentata e concatenata con l flo, vale µ 0. Ossa B dl = µ 0 (3.5) Anztutto occorre precsare cosa s ntende per curva concatenata con l flo. Sono possbl due defnzon Prma defnzone. S dce che la curva γ è concatenata con l flo se ogn superfce S d bordo γ nterseca l flo; vceversa s dce che γ non è concatenata con l flo se esste una superfce S d bordo γ che non nterseca l flo. Seconda defnzone. S dce che la curva γ è concatenata con l flo se ogn deformazone contnua che rduce la curva γ a un punto nterseca l flo conduttore almeno una volta; vceversa s dce che γ non è concatenata con l flo se esste una deformazone contnua che rduce la curva γ a un punto senza ma ntersecare l flo. Fatta questa precsazone c s chede cosa succede nel caso d corrent varabl nel tempo: vale ancora la legge d Ampere? Il caso d un condensatore durante la fase d carca. S consder l condensatore schematzzato n fgura: durante la fase d carca ne fl conduttor scorre corrente varable nel tempo: essa passa da un valore massmo, quando le due armature sono scarche, fno ad annullars, quando le armature sono completamente carche. Da questo momento n po, coè da quando le armature sono completamente carche, non v è pù alcun passaggo d corrente. 4

5 P Q γ Fgura 1: Il caso d un condensatore durante la fase d carca. S consder ora (fgura 1) la crconferenza γ avente centro sul flo e raggo r. Per quanto s è detto sopra la crconferenza non è concatenata con l flo: nfatt, per esempo, la superfce S a forma d tazza avente per bordo γ (s veda la fgura 2 ) non nterseca l flo conduttore. S P Q Fgura 2: La superfce S avente per bordo γ non nterseca l flo conduttore, qund la crconferenza γ non è concatenata con l flo. γ Ora, se n un dato stante t della fase d carca del condensatore, s vuole calcolare la crcutazone d B lungo γ, dalla legge d Ampere s ottene B dl = µ 0 = 0 (3.6) Tuttava, nel medesmo stante d tempo, attorno a fl del condesatore s è generato un campo magnetco B: n ogn punto d γ esso avrà ntenstà B 0, drezone tangente alla crconferenza e verso stablto dalla regola della mano destra. Segue che, al tempo t, la crcutazone d B vale B dl = 2πr B 0 (3.7) Confrontando le uguaglanze (3.6), (3.7) è mmedato accorgers che s è gunt a una contraddzone. Le ve d uscta sono due : lmtare la valdtà della legge d Ampere al caso d corrent stazonare, oppure (e questa è la va seguta da Maxwell) modfcare la legge n modo che essa rsult valda anche nel caso d corrent varabl. Eserczo 1.8 S analzz ancora una volta l caso d un condensatore durante la fase d carca. Durante questo ntervallo d tempo non v è passaggo d corrente tra le due armature, nonostante cò tra d esse è presente un campo elettrco varable nel tempo le cu lnee d campo vanno dall armatura su cu s stanno accumulando le carche postve a quella su cu s stanno accumulando le carche negatve (l campo 5

6 elettrco è nullo nello spazo al d fuor delle armature). Pertanto s ha una varazone d flusso del campo elettrco E. Maxwell allora potzzò che, così come la varazone d flusso d un campo magnetco produce un campo elettrco (legge d Faraday-Neumann), anche la varazone d flusso d un campo elettrco deve produrre un campo magnetco. P Q S Fgura 3: All stante t (durante la fase d carca del condensatore) l flusso d E attraverso l dsco d area S rappresentato n fgura è Φ(E) = E S = σ S, dove σ(t) = Q(t) è la denstà superfcale d carca sulle ε 0 S due armature. S ottene Dfferenzando due termn della precedente uguaglanza s rcava Φ(E) = E S = Q(t) ε 0 (3.8) = 1 ε 0 dq(t) (3.9) Maxwell chamò la quanttà s = dq(t) Ampere = ε 0 corrente d spostamento; egl dmostrò che la legge d B dl = µ 0 (3.10) s poteva generalzzare sosttuendo con la somma della corrente d conduzone e della corrente d spostamento s : B dl = µ 0 ( + s ) = µ 0 + µ 0 ε 0 L uguaglanza (3.11) s chama legge d Ampere-Maxwell. (3.11) In altr termn, Maxwell potzzò che dovesse valere una legge analoga a quella d Faraday-Neumann-Lenz dove B e E hanno ruol scambat. Egl verfcò che E dl = dφ(b) B dl = µ 0 ε 0 (3.12) (3.13) 6

7 Il termne a destra del segno d uguaglanza s chama corrente d spostamento; esso è l correttvo che bsogna ntrodurre nella legge d Ampere affnchè essa rest valda anche nel caso d corrent varabl nel tempo. La legge B dl = µ 0 + µ 0 ε 0 (3.14) s chama legge d Ampere-Maxwell. Il rsultato ottenuto da Maxwell è d fondamentale mportanza, non tanto per l fatto d aver rsolto un paradosso, ma perchè l suo rsultato permse d prevedere l esstenza delle onde elettromagnetche. Solo qualche decenno pù tard Hertz realzzò alcun famos esperment che ne confermarono l esstenza. Eserczo 1.9 Durante la fase d carca del condensatore, dcamo al tempo t, l campo elettrco E ha drezone perpendcolare alle armature, verso che va dall armatura postva a quella negatva e ntenstà E = σ, dove σ è la denstà superfcale d carca su cascuna armatura. Sa P un pano tra le ε 0 due armature e parallelo ad esse. Il flusso attraverso P è Qund, l ntenstà della corrente d spostamento è Φ P (E) = π 2 E = π 2 σ ε 0 = Q(t) ε 0 (3.15) s = ε 0 dφ P (E) = dq = 1, 8 A (3.16) Eserczo 1.10 Eserczo 1.11 La corrente che crcola nella spra raddoppa. La forza F applcata alla spra è proporzonale sa a che a B; pochè entrambe raddoppano la forza sarà quattro volte maggore. Eserczo 1.12 Il flusso d campo magnetco attraverso una sezone S (ortogonale) del solenode è Φ(B) = B S = 4, T (2, m 3, m) = 2, Wb (3.17) La forza elettromotrce ndotta n una spra è Φ = 2, V. Per determnare la forza 10 3 s elettromotrce nel solenode bsogna moltplcare questo valore per l numero d spre = 2, Wb f = 5 2, V = 1, V (3.18) Eserczo 2.1 Le carche elettrche accelerate sono la causa della radazone elettromagnetca. Tutte le volte che una carca elettrca vene accelerata s producono onde elettromagnetche. Nella maggor parte de cas per produrre onde elettromagnetche s usano partcolar crcut oscllant 7