Luciano Battaia. Versione del 22 febbraio L.Battaia. Condensatori e resistenze

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1 Lucano attaa Versone del 22 febbrao 2007 In questa nota presento uno schema replogatvo relatvo a condensator e alle, con partcolare rguardo a collegament n sere e parallelo. Il target prncpale è costtuto dagl student Lceal che s accngono ad affrontare l esame d stato. È trattato solo l caso delle corrent contnue. Pag. 1 d 13

2 Pag. 2 d 13 1 Condensator Resstenze attere Collegament n sere e n parallelo Crcut RC Condensator I condensator sono de dspostv, costtut da due conduttor appaat, dett armature, n grado d accumulare carca. ss sono caratterzzat da una costante, detta capactà, data da C = Q V, dove Q è la carca accumulata e V è la dfferenza d potenzale tra le due armature. nche se le analoge draulche non sono sempre correttamente applcabl all elettromagnetsmo, n prma approssmazone un condensatore può essere paragonato a una coppa d serbato per lqud, per esempo a forma d paralleleppedo, dentc. Se ess contengono la stessa quanttà d lqudo, la dfferenza tra lvell raggunt ne due serbato è nulla. Se, medante un opportuno dspostvo, l lqudo vene trasferto da un serbatoo all altro, allora s produce una dfferenza d lvello, tanto pù grande quanto pù pccola è la sezone de parallelepped. Questo processo corrsponde alla carca del condensatore: la quanttà d acqua n eccesso n un serbatoo rspetto all altro corrsponde alla carca Q, la dfferenza d lvello alla dfferenza d potenzale V. La mnore o maggore sezone orzzontale corrsponde alla mnore o maggore capactà.

3 Se, dopo aver prodotto un certo dslvello, s collegano due serbato, s ha un flusso d lqudo che però dura solo fn quando s è rstablto l equlbro, per po cessare completamente. I condensator s rappresentano ne crcut elettrc con l smbolo seguente: C 2. Resstenze Fgura 1: Smbolo per condensator Le sono conduttor che collegano tra d loro var dspostv elettrc. C nteressamo esclusvamente alle ohmche, caratterzzate da una costante, detta resstenza, data dalla legge (d Ohm) R = V, Pag. 3 d 13 dove è la corrente e V la dfferenza d potenzale. Ne crcut elettrc le s ndcano con l smbolo seguente: R Fgura 2: Smbolo per le

4 Se l potenzale n è maggore che n, la corrente flusce da verso : s usa dre che l passaggo d corrente n una resstenza provoca una caduta d potenzale nel verso della corrente. Qualunque componente d un crcuto metallco dove crcol corrente ha una resstenza, ma, nella pratca, alcune part del crcuto hanno enormemente pù elevate che altre: per questo s usano schematzzare crcut con le concentrate solo n determnate zone, rappresentate col smbolo sopra ndcato, mentre le restant part sono consderate prve d resstenza e rappresentate con tratt d flo rettlneo. S deve notare che, su un tratto d flo rettlneo, l passaggo d corrente non provoca caduta d potenzale, ovvero che su quest tratt l potenzale è costante, esattamente come avvene per conduttor n equlbro elettrostatco. Proseguendo con l analoga draulca, e sempre tenendo conto de suo lmt, una resstenza può essere pensata come un tubo d collegamento fra due serbato che hanno lqudo a dverso lvello, e con la caratterstca d frenare l lqudo stesso nel passaggo da un serbatoo al altro. Se per esempo collego con una resstenza le due armature d un condensatore carco, avrò un passaggo d corrente molto forte all nzo, e po va va pù debole, man mano che la dfferenza d potenzale fra le due armature dmnusce fno ad annullars. È sostanzalmente quanto avverrebbe se collegass due serbato d acqua n cu l acqua s trov a dvers lvell. Pag. 4 d attere Una battera (o pla, o generatore) è un dspostvo n grado d mantenere a suo cap una dfferenza d potenzale costante. Rprendendo l analoga draulca, n prma approssmazone una battera può essere pensata come una coppa d serbato per lqud, d cu uno contenente acqua fno ad una certa quota h e l altro vuoto. Se due serbato vengono collegat, s ha un

5 flusso d acqua dal serbatoo peno verso quello vuoto. Il meccansmo nterno d funzonamento, a dfferenza d quello che succede ne condensator, è però n grado d rportare l acqua dal basso verso l alto, mantenendo costante la dfferenza d quota e l flusso nel tubo d collegamento. L analoga draulca c può anche far capre bene l fatto che, dopo che due serbato sono stat collegat, c è scuramente un po d rtardo nel rportare l acqua dal basso verso l alto: la dfferenza d lvello durante l funzonamento è un po pù pccola d quanto non sa a serbato scollegat. S usa schematzzare questo fatto dcendo che la battera è un dspostvo n grado d mantenere una dfferenza d potenzale fssa, connesso con una resstenza, detta resstenza nterna, che, durante l funzonamento, rende la dfferenza d potenzale effettva un po pù pccola d quella nomnale. Un generatore s dce deale se questa resstenza nterna è nulla (o meglo trascurable). La caratterstca dstntva d un generatore è la sua forza elettromotrce, ovvero la dfferenza d potenzale che esso è n grado d mantenere; essa s ndca generalmente con f o con e s rappresenta con l smbolo seguente: Pag. 5 d 13 Fgura 3: Smbolo per le battere, o ple dove l segmento pù lungo ndca l punto a potenzale pù alto. S deve tenere conto che, per generator deal, è la dfferenza d potenzale sa a crcuto aperto (assenza d corrente) che a crcuto chuso (crcolazone d corrente); per generator real, coè con resstenza nterna non nulla, la dfferenza d potenzale a crcuto chuso è leggermente nferore rspetto a quella a crcuto aperto.

6 Una battera collegata ad un condensatore provocherà la carca del condensatore stesso; una battera collegata ad una resstenza farà crcolare corrente nella resstenza stessa: s tratta de due crcut elettrc pù semplc possble. C R +Q Q Q = C Fgura 4: Condensatore e resstenza n un crcuto semplce = R 4. Collegament n sere e n parallelo Una stuazone molto comune nelle applcazon prevede collegament d due o pù condensator o, collegament che possono avvenre n sere o n parallelo. Pag. 6 d 13

7 V 1 V 2 V 1 V 2 C 1 C2 +Q Q +Q Q R 1 R2 Fgura 5: Collegament n sere C 2 +Q 2 Q 2 2 R 2 +Q Q C 1 +Q 1 Q 1 1 R 1 Pag. 7 d 13 Fgura 6: Collegament n parallelo

8 La domanda che c possamo porre è la seguente: è possble sostture a due condensator [alle due ] un unco condensatore [un unca resstenza], n modo che tutta le restante parte del crcuto rmanga nalterata, ovvero che non cambno le dfferenze d potenzale e la carca [la corrente] che l generatore spedsce su condensator [sulle ]? In sostanza s tratta d sostture crcut d fgure 5 e 6 con crcut semplc come quell d fgura 4. La rsposta a questa domanda è affermatva e anz è facle calcolare la capactà [resstenza] del condensatore [della resstenza] da sostture: la chameremo capactà equvalente [resstenza equvalente]. Usamo le seguent nomenclature: V è la dfferenza d potenzale tra punt e; Q è la carca totale spedta dalla battera su condensator [ è la corrente totale fatta crcolare dalla battera nel crcuto]; C eq è la capactà equvalente [R eq è la resstenza equvalente]; Tenamo noltre conto che, per le propretà de condensator [delle ], s deve avere: V = Q [ ; V = Req ]. C eq Possamo allora costrure la seguente tabella. Pag. 8 d 13

9 Condensator In sere Resstenze V = V 1 + V 2 V = V 1 + V 2 Q = Q + Q C eq C 1 C 2 R = R 1 + R 2 1 = C eq C 1 C 2 R = R 1 + R 2 In parallelo Q = Q 1 + Q 2 = V C eq V = C 1 V + C 2 V = V + Q R eq R 1 R 2 1 C eq = C 1 + C 2 = R eq R 1 R 2 Lo schema proposto rende evdent le analoge e le dfferenze tra l caso de condensator e quello delle e, tra l altro, l fatto che la capactà è una caratterstca statca de conduttor, mentre la resstenza è una caratterstca dnamca. Pag. 9 d Crcut RC Un crcuto che preveda la presenza sa d un condensatore che d una resstenza s chama un crcuto RC: n esso la corrente contnua può crcolare solo durante

10 la fase d carca o d scarca del condensatore, n quanto l condensatore può essere consderato equvalente a una nterruzone del crcuto. Consderamo l crcuto nella fase d carca. R K Pag. 10 d 13 Fgura 7: Crcuto RC nella fase d carca lla chusura dell nterruttore K, la pla comnca a carcare l condensatore: fn tanto che l processo non è completato, e la carca sul condensatore non ha raggunto l suo valore massmo Q = C, nel crcuto flusce una corrente, avente ntestà massma subto dopo la chusura del crcuto (quando l condensatore è ancora scarco) e po ntenstà va va decrescente man mano che l condensatore s carca. Se ndchamo con q e V la carca e l potenzale sul condensatore n una fase ntermeda, possamo notare che sa q che V varano nel tempo: q = q(t) e V = V (t); la corrente che flusce nel crcuto è allora = q (t) = dq /dt. vremo qund: n t = 0 + (subto dopo la chusura del crcuto) la carca e l potenzale del condensatore saranno 0; n un stante ntermedo t, la carca e l potenzale del condensatore avranno raggunto valor q e V rspettvamente; alla fne del processo, la carca e l potenzale del condensatore avranno raggunto valor massm Q e rspettvamente, con Q = C. In tutte le fas la somma d tutte le dfferenze d potenzale nel crcuto deve essere

11 0. Dunque ovvero q C R = 0, q(t) C Rq (t) = 0. S tratta d un equazone che ha come ncognta la funzone q = q(t) e che stablsce un legame tra l ncognta e la sua dervata prma: un equazone d questo tpo s chama un equazone dfferenzale. Non è faclssmo (ma nemmeno troppo dffcle) trovarne le soluzon. Qu però c nteressa solo segnalare che la funzone ( ) q = q(t) = C 1 e t RC è l unca soluzone che soddsfa anche la condzone che, per t = 0, s abba q = 0. C q R 0.63 C O RC t O t Pag. 11 d 13 Fgura 8: Grafco della carca e della corrente nella fase d carca d un crcuto RC S not, nella fgura 8, che dopo un tempo t = RC, la carca ha raggunto crca due terz del suo valore fnale.

12 Per la fase d scarca del crcuto basta mmagnare, una volta carcato l condensatore, d elmnare la pla, collegando suo cap. R K Pag. 12 d 13 Fgura 9: Crcuto RC nella fase d scarca L equazone del crcuto dfferrà dalla precedente solo per la mancanza del termne : q(t) C + Rq (t) = 0. C sarà la seguente modfca delle condzon: n t = 0 + (subto dopo la chusura del crcuto) la carca e l potenzale del condensatore avranno l valore massmo Q e, con Q = C; n un stante ntermedo t, la carca e l potenzale del condensatore saranno calat fno a raggungere valor q e V rspettvamente; alla fne del processo, la carca e l potenzale del condensatore saranno null. nche questa volta l equazone che fornsce la carca è un equazone dfferenzale, e l unca soluzone che verfca le condzon nzal date è: q = q(t) = Ce t RC. Questa volta grafc della carca e della corrente (anz del modulo della corrente, perchè, come dervata della carca, essa sarebbe negatva) sono:

13 q C R 0.37 C O RC t O t Fgura 10: Grafco della carca e della corrente nella fase d scarca d un crcuto RC S not, nella fgura 10, che dopo un tempo t = RC, la carca è calata a crca un terzo del suo valore nzale. Pag. 13 d 13