La corrente vale metà del valore finale quando 0,2(1 e ) = 0, 1; risolvendo l equazione si

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1 7.6 La corrente nzale è edentemente nulla. on l nterruttore chuso la costante d tempo è τ = L/ = 1/200 s. Il alore fnale è ( ) = 20/100 = 0,2 A. on l espressone (7.13b) a pag. 235 del lbro s ottene 200t 200t ( = (0 0,2) e 0,2 = 0,2(1 e ) A 200 t La corrente ale metà del alore fnale quando 0,2(1 e ) = 0, 1; rsolendo l equazone s ln(2) ottene t = 3, 46 ms La corrente nzale s rcaa dal crcuto sotto a snstra: 20 ( 0 ) = = 10 ma 2 Il crcuto per t>0 è mostrato sotto a destra. La costante d tempo è τ = L/ = 1 ms. on l espressone (7.7b) a pag. 231 del lbro s ottene 1000 t ( = 10 e ma 1 kω 1 kω (0 ) 1 kω ( 20 V 1 Η 7.8 La corrente nzale s rcaa dal crcuto sotto a snstra: ( 0 ) = 0. Il crcuto per t>0 è mostrato sotto a destra. La costante d tempo è τ = L/ = 0,5 ms. Il alore fnale ( ) s ottene consderando l nduttore come un c.c.: 20 ( ) = = 10 ma 2 on l espressone (7.14) del lbro s ottene 2000 t ( = 10 e 10 ma 1 kω (0 ) 1 kω 1 kω ( 20 V 1 Η 1

2 7.9 Quando l nterruttore è n poszone 1 da molto tempo la corrente dell nduttore è 5 ma, qund l energa è (formula (6.15) del lbro): w = ½ L 2 = 12,5 nj. Assumamo per comodtà t 0 = 0. Per t> t la corrente s rcaa con l espressone (7.7b) del lbro: ( = 5 e ma. L energa dsspata è w d t = dt = e dt = = 12,5 nj 7.11 La resstenza equalente sta dal condensatore s ottene con la trasformazone trangolo-stella, come llustrato nelle fgure seguent. Percò eq = // = = 0, τ = = 0,5 s Ω 1 Ω 1/ 1/ 1/ 7.12 Per l prncpo d sosttuzone, possamo consderare due crcut del prmo ordne che eolono separatamente per t >0 (fgure sotto). La costante d tempo è la stessa per entramb: τ = 1 = L/ 2 = 6 ms. La tensone è la dfferenza delle tenson e L. L 3 kω 10 Ω 32 V 2 μf 32 V L 60 mh rcuto. Per t l condensatore denta un c.a. qund l alore fnale d è 32 V. Utlzzando l espressone (7.14) del lbro, abbamo t ( = (0 32) e 32 V 2

3 rcuto L. Per t l nduttore denta un denta un c.c. qund l alore fnale d L è 3,2 V. Utlzzando l espressone (7.14) del lbro, abbamo t ( = (0 3,2) e 3,2 A L La tensone L s può ottenere dalla relazone caratterstca dell nduttore: dl 3 3,2 t /τ L ( = L = e = 3 dt 6 10 La tensone s annulla quando = L oero: t /τ t /τ /τ 32e t 32(1 e ) = 32e t = τ ln 2 4,16 ms La costante d tempo è 1 ms, sa nella fase d carca sa durante la scarca. Tra 0 e 2 ms l nterruttore è n poszone 1 e l condensatore s carca con alore nzale nullo e alore fnale 1 V. Dopo due costant d tempo la dfferenza dal alore fnale s è rdotta del fattore 0,135, qund 1- (2 ms) = 0,135 V (2 ms) = 0,865 V. Tra 2 ms e 4 ms l condensatore s scarca a partre da 0,865 V qund, dopo due costant d tempo, l alore è (4 ms) = 0,135 (2 ms) = 0,117 V. Tra 4 ms e 6 ms l condensatore s carca d nuoo; 1-(6 ms) = 0,135(1-0,117) = 0,12 V (6 ms) = 0,88 V. Il grafco è rportato sotto. V (, V 0, ,865 0,88 0 0, t/τ 7.14 on rfermento alla fgura seguente, l condensatore n basso costtusce, con l resstore, un crcuto con un generatore d tensone costante n. Indcando con τ l prodotto, la tensone 1 è 2 t 1 ( = n (1 e ) n 1 _ o _ 3

4 Per l c.c. crcuto rtuale, la corrente ale 1 /. Percò, per la tensone 2 possamo screre 1 t 1 t n t 2 ( = ( x) dx ( x) dx = 0 τ 0 1 = t n ( e 1) τ La tensone d uscta è: o ( = 2 ( 1 ( = n 1 t t = ndx τ τ Per t = 0 l nterruttore è chuso e l condensatore è un c.a. La tensone è uguale alla corrente d 1 ma per la resstenza equalente 2k//6k = 1,5 kω, oero (0 ) = 1,5 V. Per t>0 la costante d tempo è τ = = 2kΩ 1μF = 2 ms = 1/500 s. Il alore fnale d è nullo perché l generatore non 500t 500t ha effetto sulla tensone del condensatore per t>0. Qund ( = (1,5 0) e 0 = 1,5e V (1) Il crcuto n t =0 è mostrato nella fgura seguente. La tensone (0 ) è nulla poché l ponte è n equlbro (4 3 = 2 6). 10 V 2 Ω (2) Il crcuto per t è mostrato nella fgura seguente. I resstor n sere d 2 Ω e non sono percors da corrente, percò la tensone concde con la tensone sul resstore da che ale ( ) = = 6 V 10 V 2 Ω (3) La resstenza equalente s rcaa dallo schema seguente: eq = 4//63 = 5,. La costante d tempo è τ = eq = 54 μs. Infne t ( = (0 6) e 6 V 2 Ω 4

5 7.17 (1) Il crcuto n t = 0 è mostrato nella fgura seguente. 40 Ω 50 Ω 20 V 30 V 60 Ω La corrente è = = 0, 05 A. La tensone rchesta è ( 0 ) = = 27, 5 V. 200 (2) Il crcuto per t è mostrato d seguto. 40 Ω 30 V 60 Ω 30 La corrente è = = 0, 2 A. La tensone rchesta è ( 0 ) = = 20 V. 150 (3) La resstenza equalente sta dal condensatore è = 50//100 = 100/. La costante d tempo 9 6 è τ = = = 10 s = 1 μs. 3 t Infne ( = 7,5e 20 V onene rcaare la tensone ( e po da questa la corrente. Il crcuto n t = 0 è mostrato nella fgura seguente. La tensone (0 ) s ottene con l teorema d Mllman: (0 ) = = 16 V 12 V 20 V 5

6 Per t >0 s ha un semplce crcuto con un generatore costante percò: ( = (16 12) e doe τ = = ½ s. d La corrente è ( = = 1 4 ( 2e 2t ) = dt t 12 e 2t A. (1) La corrente rchesta non è contnua n t=0 percò conene rcaare la corrente L (0 ). 12 V 20 V L (0 ) = 3 A L (2) Per la contnutà della corrente L, n t = 0 abbamo l crcuto seguente. 12 V 3 Α 20 V IF Anals nodale: = = 10 V (0 20 ) = = 2,5 A 4 (3) t 12 V 20 V ( ) = -20/4 = - 5 A 6

7 (4) eq = 2 Ω τ = 1 secondo Soluzone: ( = ( 2,5 5) e 5 A t 7.20 Per t > 0 la tensone concde con la tensone del condensatore. Qund è suffcente rcaare la (. (1) t = 0 12 V 4 kω kω 12 V ( 0 ) = = = 3 V (2) t 4 kω 12 V 4 kω (3) τ = 2 ms = 1/500 s ( ) = 6 V 500 t Soluzone: ( = ( = (3 6) e 6 V 7.21 (1) t = 0 2 Ω 9 Ω 15 V 4. L 7

8 on l teorema d Mllman: = = 9 V, qund L (0 ) =9/9 = 1 A. 1/ 2 2 / 9 1/ 9 (2) t = 0 2 Ω 15 V 4. 1 A Anals nodale: 15 1 = 0 2 4,5 = 9 V (0 ) = 2 A (3) t 2 Ω 2 Ω 15 V eq ( ) = 0 perché l resstore è cortocrcutato. (4) eq = 4.5//2 = 9/6. τ = L/ eq =2 6.5/9 =13/9 s Infne 9t /13 ( = 2e A 7.22 I due nduttor n parallelo equalgono ad un solo nduttore d 2 H. Qund la corrente rchesta concde con la corrente dell nduttore equalente (pertanto è contnua n t = 0). Il crcuto n t = 0 è mostrato d seguto n (a). S rcaa = 1 A. 6 V 6 V 12 V (a) 6 / 3 12 / 3 Il crcuto per t è mostrato n (b). on la formula d Mllman s rcaa = = 6 V; 1 qund = 0. 8

9 La resstenza equalente sta dall nduttore s rcaa spegnendo generator d tensone; essa ale 9t / 4 = 33//3 = 4, τ = 2/4,5 = 4/9 s. La soluzone è ( = e A (1) Il crcuto n t=0 - è mostrato d seguto. La tensone del condensatore s rcaa con l parttore d 4 tensone: ( 0 ) = 14 = 8V V (2) Il crcuto n t=0 è mostrato d seguto. Sosttuendo l condensatore con un generatore da 8 V, e applcando la LKT al percorso ndcato, s rcaa: ( 0 ) = 14 8 = 6 V 8 V 14 V (3) ( ) = 0 perché l nterruttore è aperto, l condensatore è un c.a. qund nel resstore non c è corrente. (4) La resstenza equalente sta dal condensatore per t > 0 è (spegnendo l generatore da 14 V le resstenze da 6Ω e 4Ω n sere sono cortocrcutate). La costante d tempo è τ = 6 ms. t /τ La soluzone è: ( = 6e V (1) In t = 0 la tensone concde con la tensone del resstore da, che ale 9 4/(54) = 4 V (fgura a snstra). 9V 9V 60 Ω 60 Ω 9

10 (2) Per t la tensone è nulla (fgura a destra). (3) La resstenza equalente concde con la resstenza d 60 Ω (le altre non contano a causa del c.c.). La costante d tempo è τ = = 0,6 μs. La soluzone è ( = 4 e -t/τ V (1) In t = 0 rcaamo la tensone che ale 12 2/(24) = 4 V (fgura sotto a snstra). (2) In t = 0 rcaamo la corrente che ale 4/2kΩ = 2 ma (fgura sotto a destra). 4 kω 4 kω 4 kω 12 V 2 kω 24 V 2 kω 4 V (3) Per t la corrente è 24/10 kω = 2,4 ma (fgura sotto a snstra). (4) eq = 2 kω//8 kω = 1,6 kω τ = 1, = 8 ms = 1/125 s. 4 kω 4 kω 4 kω 4 kω 24 V 2 kω 2 kω eq La soluzone è ( = (2-2,4) e 125t 2,4 ma Per t < 0 S1 dee essere chuso; altrment, ndpendentemente dallo stato d S2, la tensone sul condensatore (n condzon d regme costante) sarebbe d 100 V. Per 0<t<1 ms la tensone cresce e tende erosmlmente al alore d 100 V; noltre dopo 1 ms ale 63 V qund la costante d tempo è propro 1 ms. Poché la capactà ale 0,5 μf, la resstenza equalente dee essere 2 kω; pertanto S1 sarà aperto così come S2. Per t >1 ms la costante d tempo è mnore (la cura ha pendenza maggore) mentre tende sempre a 100 V. Qund S1 dee rmanere aperto mentre S2 è chuso; n questo modo la costante d tempo denta 0,5 ms Il crcuto n t = 0 è mostrato d seguto. Non crcolano corrent qund la tensone è par alla tensone del generatore (9 V). 10

11 2 12 Ω 9 V 0 < t < 18 ms Il generatore d tensone e la resstenza d 2 non hanno effetto per a del c.c. proocato dal prmo nterruttore. La rsposta è un esponenzale; l alore asntotco e la costante d tempo s possono rcaare consderando l secondo nterruttore aperto (fgura sotto a snstra). Abbamo ( ) t /τ = 0, eq = 18 Ω, τ = 18 ms. La soluzone è ( = 9e V. 12 Ω 12 Ω t > 18 ms La rsposta è ancora un esponenzale; l alore nzale s ottene dall espressone precedente: (18 ms) = 9e 1 3,31 V. Il alore asntotco e la costante d tempo s rcaano consderando l secondo nterruttore chuso (fgura sopra a destra). Abbamo ( ) = 0, eq = 612//6 = 10 Ω, τ 1 = 10 ms = 1/100 s. La soluzone 100t sarebbe ( = 3,31e V se l stante nzale fosse 0. Poché n realtà questa soluzone ale per t >18 ms, abbamo ( = 3,31e 100( tτ ) V, doe τ=18 ms (1) In t=0 la tensone del condensatore concde con la tensone a cap della sere -, che è percorsa dalla corrente d 1 A. Qund (0 - )=10 V. 1 A 20 Ω (2) Sosttuendo l condensatore con un generatore d tensone s ottene lo schema per t=0. La corrente è par a 10/5 = 2 A. 11

12 10 V 1 A 20 Ω (3) Per t la corrente concde con la corrente del generatore: =1 A. 1 A 20 Ω (4) La resstenza equalente s deduce dallo schema seguente: eq =V/I =. S not che la sere 20Ω- 5Ω è cortocrcutata, qund non ha corrente. La costante d tempo è τ = 5 ms = 1/200 s. I V 20 Ω 200 t Infne: ( = (2 1) e 1A. Dalla fgura del punto (1) s deduce (0 - ) = 1 A. Poché (0 ) ale 2 A la corrente è dscontnua n t= (1) In t=0 - è facle erfcare che le resstenze da 12 e 4 kω non sono percorse da corrente. Qund la tensone è nulla (è nulla anche la corrente ). 12 kω 6 kω 4 kω 6 kω 12 V (2) In t=0 l condensatore equale ad un cortocrcuto, essendo la tensone nulla. 12

13 12 kω 6 kω 4 kω 6 kω - 12 V 2 Abbamo 6k//4k//12k = 2 kω. Qund la tensone è = 12 = 3V e la corrente = -/12k = ,25 ma. (3) Per t l condensatore è un c.a. d conseguenza la corrente è nulla. 12 kω 6 kω 4 kω 6 kω - 12 V (4) La resstenza equalente sta dal condensatore s deduce faclmente dallo schema precedente, spegnendo l generatore: eq = 12k//4k6k//6k = 3k3k = 6 kω. Qund τ =1,8 s = 9/5 s. 5t / 9 Infne: ( = 0,25e ma I due condensator sono n parallelo, qund hanno la stessa tensone ed equalgono ad un solo condensatore d capactà 2. In 0 s ha lo schema seguente. 18 V 2 2 La tensone s rcaa consderando l parttore d tensone formato dalle resstenze n sere d alore 2 e 4: 13

14 2 ( 0 ) = 18 = 6 V 6 Per t s ha lo schema sotto a snstra. Le resstenze d alore 2 sono n sere e cortocrcutate, qund non hanno corrente: ( ) = 0 V. 18 V Lo schema sopra a destra permette d rcaare la resstenza equalente. Le resstenze d alore sono n sere e cortocrcutate, qund non hanno corrente; le resstenze 2 sono n parallelo: eq = 2//2 = 2 τ = 2 2 = 4 t /(4) Infne ( = 6e V. Per t>0 s ha l crcuto seguente. Le resstenze d alore sono n sere qund hanno la stessa tensone. Applcando la LKT alla lnea chusa tratteggata s rcaa = -18/2 = -9 V. 18 V Per l c.c. rtuale all ngresso dell operazonale, la tensone o concde con la tensone del condensatore. Il alore n t = 0 è dato (zero). Se l nterruttore non commutasse d nuoo, per t l crcuto sarebbe n regme costante come mostrato nella fgura seguente: ( ) = o = -10(1/2) = - 5 V. La resstenza equalente sta dal condensatore è la resstenza d 1 kω (spegnendo l generatore la resstenza d 2 kω rsulta cortocrcutata); pertanto la costante d tempo è 1 secondo. t Per 0<t<1 s, la soluzone è o ( = ( = (05) e -5 = 5(e -t 1) V. 14

15 1 kω 2 kω _ 10 V o _ Per t > 1 s l nterruttore è aperto, percò l crcuto equale a quello mostrato nella fgura seguente. A causa del c.a. rtuale, l condensatore s scarca attraerso la resstenza d 1 kω, percò ( t1) o ( = ( = (1) e V. Il alore (1) s rcaa dalla soluzone precedente: 1 (1) = 5( e 1) = 3.16 V. 1 kω 1 mf _ o _ 7.35 S erfca faclmente che n 0 la corrente dell nduttore è nulla. Percò n 0 l nduttore s comporta come un crcuto aperto (fgura sotto a snstra). Qund (0 ) = 10/8 = 1,25 A. 2 Ω 2 Ω 10 V 10 V Per t l nduttore è un c.c. Dalla fgura sopra a destra, consderando l parttore d corrente, s 10 1 rcaa: ( ) = = 1A. La resstenza equalente sta dall nduttore è 62//6 = 61,5 = 7, τ= 4 ms = s ( = ¼ e -250 t 1 A (1) In rcaamo la corrente L : L ( 0 ) = = 2 A

16 10 Ω 10 V L (2) In 0 abbamo l crcuto seguente. 10 Ω 10 V 2 A on la LK s scre l equazone Qund = (10-)/5 = 18/11 A. = 2 4 IF = 20/11 V. (3) Per t s rcaa =10/5 = 2 A. 10 Ω 10 V (4) Spegnendo l generatore d tensone s rcaa la resstenza equalente sta dall nduttore che 4 10t /11 ale eq = 10//5//4 = 20/11 Ω τ = 11/10 s; ( = e 2 A Il crcuto n t=0 è mostrato d seguto. Applcando la LK alla lnea chusa s scre (l resstore a destra è cortocrcutato qund non ha corrente): 12 2 = 0 = -1 A 4 12 V

17 Per t s ha lo schema seguente. La corrente è la stessa del caso precedente. Poché (0) = ( ) la corrente rmane costante al alore -1 A per ogn t >0. 12 V Il crcuto equalente n t=0 è mostrato sotto a snstra. La tensone tra a e b ale: qund ab (0 4,5 = 18 = 13,5 V 4,5 1,5 ) = 13,5 9 = 1,5 A 18 V a 9 Ω ( 18 V a c ( 1. 9 Ω 1. Il crcuto equalente per t è mostrato sopra a destra. La resstenza equalente tra nod a e b è ancora 4,, qund la tensone tra a e b è la stessa rcaata sopra (13,5 V). La tensone tra c e b s ottene consderando l parttore d tensone: qund cb ( ) = 1,5 = 13,5 = 4,5 V 1,5 3 4,5 3 = 1,5 A Poché ( 0 ) = (0 ) = ( ), la corrente dell nduttore rmane costante per t> In t=0 l crcuto equale al seguente. b b 17

18 ( 0 ) = = 9 ab 3 = 3 V a b 0 Per t l crcuto equale al seguente. / 2 ( 0 ) = 9 = / = 5,4 V 9V /2 9V Dallo schema sopra, spegnendo l generatore, s rcaa la resstenza equalente sta dal condensatore: eq = //( / 2) = (3/5) τ = eq = (3/ 5) = 3/5 s ( = (3 5,4) e 5t / 3 5,4 V 7.40 In t = 0 l crcuto equale al seguente. 10 ( 0 ) = = A 10 V 30 V Per t l crcuto equale al seguente. on l teorema d Mllman s rcaa ab = = V ( ) = ab = A

19 a b 10 V Inoltre: eq τ = = 3 // 6 6 = 8Ω L eq = 1 24 s 30 V ( ) 24 t t = e = e 24t A La condzone nzale è nota ( (0) = 0). Il crcuto per t è mostrato d seguto. La tensone concde con la tensone del generatore controllato. Applcando la LKT alla magla d snstra s 3 3 scre = 12 = 3 ma. Qund ( ) = = 6 V. 2 kω 4 kω 12 V kω La resstenza equalente s rcaa dallo schema seguente. 2 kω 4 kω kω Applcando la LKT alla magla d snstra s scre = 0 = 0. Qund l resstore ertcale da 4 kω è cortocrcutato. La resstenza sta dal condensatore è la sola resstenza da 4 kω n sere τ = 4 s. Infne: ( = 6 (1 e t/4 ) V In t=0 l crcuto equale al seguente. on la formula del parttore d tensone: 3 ( 0 ) = 30 = 10 V 9 19

20 30 V Per t s ha lo schema sotto a snstra al quale s applca la trasformazone trangolo-stella: ( ) = 30 / 2 = 15V _ 30 V _ 1 Ω _ 1 Ω 1 Ω 30 V Dallo schema precedente, spegnendo l generatore, s rcaa la resstenza equalente: eq = 1 4 // 4 = 3Ω τ = 1s t ( = 5e 15 V 7.43 In 0 s ha lo schema seguente. S erfca faclmente che = 12 V (nella magla non scorre corrente). 12 V 12 V Per t s ha lo schema seguente, dal quale s rcaa = 12 8/12= 8 V. 12 V 20

21 La resstenza equalente sta dal condensatore è 8//4 = 8/. La costante d tempo è 1/3 s. La soluzone è ( ) 4 t t = e 8 V. La tensone ( ale 10 V quando 4 3 t e = 2 3 t e = t = ln 2 t = ln In t=0 l crcuto equale al seguente. on l teorema d Mllman abbamo: ab = = 4 V (0 ) = = 0,5 A a 5 V b 5 V Per t lo schema è l seguente. on l teorema d Mllman s rcaa, come prma: cb = = 4 V ( ) = 0,5 A a 5 V b 5 V c Poché ( 0 ) = (0 ) = ( ), la corrente dell nduttore rmane costante per t> In t=0 l crcuto equale al seguente. Poché 20 Ω// =, l ponte è n equlbro qund ab ( 0 ) = = 0 V 21

22 1 Ω a 90 V 20 Ω b Per t lo schema è l seguente. on la formula del ponte abbamo: 5 5 ( ) = ab = 90 = 5V Ω a 90 V b Dallo schema precedente, spegnendo l generatore, s rcaa la resstenza equalente: 20 5 eq = 1 4 // 5 5// 5 = 1 5,72 Ω 9 2 τ 11,44 ms ( = 5 (1 exp(-t/τ)) V 7.46 Effetto della condzone nzale. La tensone nzale è 1 V mentre generator sono spent. Percò l alore fnale è certamente nullo. Non rmane che calcolare la costante d tempo (fgura seguente): 8 eq = 4 // 8 = Ω 3 τ = 16 μs ( = exp(-t/τ)) V 22

23 8 Ω Effetto del generatore d 12 V. La condzone nzale è nulla. Il generatore d 30 V è spento. Il crcuto equalente per t è l seguente. La costante d tempo è narata. 8 ( ) = 12 = 8 V 12 ( = (0-8) exp(-t/τ)) 8 V 12 V 8 Ω Effetto del generatore d 30 V. Procedendo come nel caso precedente s rcaa 4 ( ) = 30 = 10 V 12 ( = (0-10) exp(-t/τ)) 10 V Sommando tre contrbut abbamo ( = exp(-t/τ) -8 exp(-t/τ) 8-10 exp(-t/τ) 10 = exp(-t/τ) V 7.47 Effetto della condzone nzale. La condzone nzale s rcaa dallo seguente a snstra. on la LKT s erfca che due resstor da n parallelo non sono percors da corrente. Pertanto (0 ) = 9 A. Assumendo generator spent, la corrente tende a zero per t. La resstenza equalente sta dall nduttore s rcaa dallo schema sotto a destra: = 6 6 // 6 = 9Ω τ = 0,1/9 = 1/90 ms eq t /τ ( = 9e A 9 A 18 V 23

24 Effetto del generatore d corrente. La condzone nzale è nulla. Il alore fnale s rcaa dal crcuto seguente. ( ) = 9A ( = 9e t 9A 9 A Effetto del generatore d tensone. La condzone nzale è nulla. Il alore fnale s rcaa dal crcuto seguente. ( ) = 2 A ( = 2e t 2 A Sommando tre contrbut s ottene: 18 V t /τ t t ( = 9e 9e 9 2e 2 = 11 2 /τ e t 7.48 Per erfcare la stabltà dobbamo rcaare la resstenza equalente sta dal condensatore per t>0 (fgura seguente). 12 Ω A 2 12 Ω _ o LK soluzone 2 = = 6 o o 24

25 9 A 18 V Pertanto la resstenza equalente è eq = - < 0: l crcuto è nstable. La costante d tempo è τ = - 18 ms. La soluzone d un crcuto autonomo nstable del prmo ordne ha l espressone: t ( (0) T ) e T ( = doe T è la tensone a uoto a cap del condensatore. La condzone nzale s rcaa faclmente con l nterruttore aperto e ale ( 0 ) = 60 V Per rcaare la tensone a uoto s consdera l crcuto seguente. 12 Ω 30 V 2 12 Ω T _ 60 V IF LK 30 T 30 T T T 60 = soluzone T = 30 V t Infne: ( = ( 60 30) e 30 = t 30 30e V 7.50 In t=0 l crcuto equale al seguente. 2 A 4 V 6 V IF 25

26 4 6 LK: 2 = = 9,6 V = (0 ) Per t l crcuto è l seguente. on la formula d Mllman s rcaa = 4 / 4 6 / 6 = 4,8 V V 6 V Dallo schema precedente, spegnendo generator, s rcaa la resstenza equalente: eq = 4//6 = t /τ 2,. La costante d tempo è 12 ms. Infne: ( = (9,6 4,8) e 4, 8 = 4,8(1 e t ) V La costante d tempo è τ = 2 ms. Per 0<t< 4 ms l alore nzale è zero, l alore fnale è 2 V. t /τ 2 La rsposta è ( = 2(1 e ) V. Il alore per t = 4 ms è 2(1 e ) 1,73 V Per 4 ms<t< 8 ms l alore nzale è 1,73 V, l alore fnale è 0. ( t2τ ) /τ La rsposta è ( = 1,73e V. Il alore per t = 8 ms è 1,73e 2 0,234 V Per t> 8 ms l alore nzale è 0,234 V, l alore fnale è 2 V. ( t4τ ) La rsposta è ( = (0,234 2) e 2 V. Il alore per t = 10 ms è 1,766e 1 2 1,35 V < t < 5 ms 1 μf kω 10 kω 5 kω o La corrente è nulla (LK per la lnea chusa rossa). Qund l condensatore rmane scarco e o = 0 (LKT per l percorso tratteggato). 26

27 5 ms < t < 10 ms La condzone nzale del condensatore è nulla. onsderamo l crcuto a regme (t ) mostrato sotto. 10 kω 10 kω 10 V 5 kω o Applcando la LK al nodo cerchato e tenendo conto del c.c. rtuale s ottene: Inoltre o = 0 o = 20 V ( ) = 10 = 10 V eq = 10 kω τ = 10 ms ( = 10e ( tt ) 10 V o ( = 10 ( = o 20 10e ( tt ) /τ V 1/ 2 (10ms) = 10e 10 3,93 V t > 10 ms Il crcuto è lo stesso della prma fgura. La corrente è nulla qund l condensatore s scarca sulla resstenza da 1 kω n parallelo. La tensone nzale è -3,93 V, qund ( t2t ) /τ ( = 3,93e V = o 7.53 A causa del c.c. rtuale, l generatore d tensone, l resstore e l condensatore n sere costtuscono un crcuto autonomo, percò la tensone 1 è un esponenzale con alore nzale nullo e alore fnale 10 V: t 1 ( = 10(1 e ) V doe τ = V 1 o _ 27

28 La corrente è qund d1 10 t /τ ( = = e A dt 1 = t t 2 ( ( x) dx = 10e 10 V 0 t o ( = 2 ( = 10( e 1) V 28