Teoremi dei circuiti

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1 Teorem de crcut (ersone del ) Teorema d Tellegen Ipotes: Crcuto con n nod e l lat ers d rfermento scelt per tutt lat secondo la conenzone dell utlzzatore {,..., l } = nseme d tenson che soddsfano la LK per l crcuto consderato {,..., l } = nseme d corrent che soddsfano la LKI per l crcuto consderato La somma estesa a tutt lat del crcuto de prodott k k è nulla l k k k 0

2 Teorema d Tellegen Dmostrazone () Le tenson de lat soddsfano la LK possono essere espresse come dfferenze tra tenson d nodo (rspetto ad un nodo d rfermento arbtraro) S ndca con PQ QP la corrente totale de lat che collegano l nodo P al nodo Q (dretta da P a Q) se non c è nessun lato tra nod P e Q PQ se c è un solo lato k che collega nod P e Q se l lato a da P a Q k k P Q PQ se l lato a da Q a P k k Q P QP P Q PQ se c sono pù lat che collegano nod P e Q l prodotto P Q PQ rappresenta la somma de prodott k k estesa a tutt quest lat 3 Teorema d Tellegen Dmostrazone () Qund s ha l k k k n n n n P Q PQ P PQ Q QP P0 Q0 n P0 P n 0 PQ Q0 n Q0 P0 Q0 Q n 0 QP P0 0 I fattor ½ derano dal fatto che, se nod P e Q arano su tutto l nseme de nod del crcuto, ogn lato ene contato due olte Le sommatore tra parentes sono nulle perché rappresentano rspettamente la corrente totale uscente dal nodo P e dal nodo Q (e le corrent de lat per potes soddsfano la LKI) 4

3 Teorema d Tellegen - Note Il teorema rchede solo che le tenson e le corrent de lat soddsfno le legg d Krchhoff, non è necessaro che soddsfno anche le equazon de component Se le tenson e le corrent soddsfano anche le equazon de component prodott k k rappresentano le potenze assorbte La somme delle potenze assorbte da component d un crcuto è nulla S ndca con K G l nseme de alor d k per qual l lato k è un generatore kk G k k kk G k k La potenza complessamente erogata da generator è uguale alla somma delle potenze assorbte dagl altr component 5 Teorema d sosttuzone Ipotes: Crcuto con l lat Unca soluzone k k0 k k0 (k =,...,l) Il lato h corrsponde a un bpolo Caso a): Il crcuto che s ottene sosttuendo l lato h con un generatore d tensone h0 ammette un unca soluzone Caso b): Il crcuto che s ottene sosttuendo l lato h con un generatore d corrente h0 ammette un unca soluzone Sa nel caso a) sa nel caso b) la soluzone del crcuto con l generatore al posto del lato h concde con la soluzone del crcuto orgnale Dmostrazone: è mmedato erfcare che la soluzone del crcuto orgnale soddsfa anche le equazon de crcut modfcat a) e b) le equazon de collegament de due crcut concdono la corrente (caso a) o la tensone (caso b) del lato h è compatble con l generatore che sosttusce l lato stesso 6

4 Teorema d sosttuzone - Nota Il teorema s può applcare solo se l crcuto ottenuto sosttuendo l lato h con un generatore ammette una e una sola soluzone In alcun cas la sosttuzone d un lato con un generatore può dare orgne a crcut mpossbl o ndetermnat Esempo 7 Teorema d sorapposzone Ipotes: crcuto formato da component lnear resst e da N generator ndpendent d tensone G,..., GN N I generator ndpendent d corrente G,..., GNI La tensone e la corrente del generco lato h sono combnazon lnear delle tenson e delle corrent mpresse de generator ndpendent h h N k N k g I k N N I k r Dmostrazone: la propretà è dretta conseguenza del fatto che le tenson e le corrent de lat sono la soluzone d un sstema d equazon lnear algebrche nel quale le tenson e le corrent mpresse de generator costtuscono termn not 8

5 Coeffcent d rete I coeffcent delle combnazon sono dett coeffcent d rete I coeffcent d rete non dpendono dalle tenson e corrent de generator ndpendent, ma solo da parametr degl altr component h Gj Gj 0 jk 0 j r h Gj Gj 0 j 0 jk guadagno d tensone resstenza d ngresso (h k) resstenza d trasfermento (h k) g h Gj Gj 0 jk 0 j conduttanza d ngresso (h k) conduttanza d trasfermento (h k) h Gj Gj 0 j 0 jk guadagno d corrente 9 Sorapposzone degl effett Cascuno de termn delle sommatore rappresenta l alore che assume la tensone h o la corrente h se nel crcuto agsce un solo generatore ndpendente e tutt gl altr sono spent (coè le loro tenson o corrent sono azzerate) h h N k N k g I k N N I k r Le tenson e le corrent possono essere ottenute sorapponendo gl effett prodott da sngol generator ndpendent 0

6 Anals medante sorapposzone degl effett L anals d un crcuto con pù generator ndpendent può essere eseguta studando tutt crcut che s ottengono mantenendo un solo generatore olta e azzerando rmanent Spegnere un generatore ndpendente d tensone corrsponde a sostturlo con un cortocrcuto Spegnere un generatore ndpendente d corrente corrsponde a sostturlo con un crcuto aperto La soluzone del crcuto è ottenuta sommando contrbut de sngol generator (se n tutte le fas della rsoluzone s mantengono gl stess ers d rfermento) Il procedmento è conenente quando crcut con un solo generatore hanno struttura pù semplce rspetto al crcuto completo In alcun cas può essere conenente ddere generator n grupp, nece che consderarl sngolarmente Teorema d sorapposzone e potenza Il teorema d sorapposzone non ale per le potenze, legate da relazon non lnear alle tenson e alle corrent de generator p G G ( G G ) G p G G G p p p p

7 Teorema d sorapposzone e generator dpendent Il teorema d sorapposzone non rguarda generator dpendent dato che le loro tenson o corrent non sono termn not delle equazon del crcuto E comunque possble utlzzare l teorema d sorapposzone per rsolere crcut con generator dpendent medante l seguente procedmento: S sosttuscono generator dpendent con generator ndpendent d alore ncognto Medante sorapposzone, s determnano le tenson o le corrent che controllano generator (arabl d controllo) n funzone delle tenson o corrent ncognte de generator (arabl controllate) S sosttuscono alle arabl controllate le loro espresson n funzone delle arabl d controllo In questo modo s ottengono delle equazon n cu compaono come ncognte le sole arabl d controllo Note le arabl d controllo, e qund anche quelle controllate, s determnano le rmanent tenson e corrent 3 Esempo () G 0 Determnare le corrent ne resstor. 4

8 Esempo () S sosttusce l generatore dpendente con un generatore ndpendente d tensone ncognta G e s calcola la arable d controllo 3 medante sorapposzone G G 3 G Esempo (3) Sommando contrbut de due generator e sosttuendo a G la sua espressone n funzone della arable d controllo 3 s ottene un equazone nell ncognta 3 G G 3 3 Nota 3 s possono determnare le corrent ne resstor I I I 3 G G A.5 A ( ) 3 5 A 6

9 esstenza equalente () S consder un bpolo A-B formato da component lnear (non contenente generator ndpendent) Se l bpolo è comandato n tensone è possble collegare a suo termnal un generatore ndpendente d tensone Il crcuto così ottenuto è lneare la corrente entrante nel bpolo rsulta proporzonale alla tensone del generatore ndpendente l bpolo è equalente a un resstore La costante d proporzonaltà rappresenta la conduttanza equalente del bpolo (e l suo recproco la resstenza equalente) G eq eq 7 esstenza equalente () Se l bpolo A-B è comandato n corrente è possble collegare a suo termnal un generatore ndpendente d corrente Dato che l crcuto è lneare, la tensone a termnal del bpolo rsulta proporzonale alla corrente del generatore ndpendente La costante d proporzonaltà rappresenta la resstenza equalente del bpolo (e l suo recproco la conduttanza equalente) eq G eq 8

10 esstenza equalente - Nota In cas partcolar l alore della resstenza equalente può rsultare negato Se eq 0, n ogn condzone d funzonamento (tranne l che per ab 0, ab 0) la potenza erogata dal bpolo è posta, qund l bpolo A-B è atto La resstenza equalente può essere negata solo se l bpolo A-B contene component att (come generator dpendent) 9 Esempo Determnare la resstenza equalente del bpolo A-B. Il bpolo è comandato sa n tensone che n corrente E possble alutare la resstenza equalente collegando un generatore d tensone arbtrara a suo termnal e calcolando la corrente I collegando un generatore d corrente arbtrara I a suo termnal e calcolando la tensone 0

11 Esempo Metodo S collega un generatore d tensone a termnal del bpolo A-B (l alore d è rrleante a fn del calcolo d eq ) In prmo luogo s rcaa l espressone della tensone, che controlla l generatore dpendente, n funzone d Dalla LK s ha S esprme n funzone d I ( I g ) g Sosttuendo questa espressone nell equazone precedente s rcaa g g Esempo Metodo Nota s può calcolare la corrente I I I g Dato che l bpolo A-B è lneare, s è ottenuta una corrente proporzonale alla tensone del generatore ndpendente Il rapporto tra e I non dpende da e rappresenta la resstenza equalente del bpolo A-B eq I g

12 Esempo Metodo S collega un generatore d tensone a termnal del bpolo A-B (l alore d è rrleante a fn del calcolo d eq ) Dato che è n sere al generatore, s ottene mmedatamente l espressone della arable d controllo n funzone d I I S calcola la tensone Dalla LK s ha S rcaa l espressone d n funzone d I I I g ) ( g ) ( I 3 Esempo Metodo Utlzzando le espresson d e n funzone d I, s rcaa la seguente espressone d ) ( g I Dato che l bpolo è A-B lneare, s è ottenuta una tensone proporzonale alla corrente del generatore ndpendente Il rapporto tra e I non dpende da I e rappresenta la resstenza equalente del bpolo A-B eq I g 4

13 Note Se l bpolo è comandato sa n tensone che n corrente due metod sono equalent S può sceglere d utlzzare l generatore con cu la soluzone del crcuto rsulta pù semplce Se s dee rsolere l crcuto per a numerca, s può attrbure alla tensone o alla corrente del generatore ndpendente un alore scelto arbtraramente. Ad esempo: s può collegare al bpolo un generatore d tensone da, n modo che l alore numerco (n ampere) della corrente I concda con quello della conduttanza equalente del bpolo (n semens) s può collegare un generatore d corrente da A, n modo che l alore numerco (n olt) della tensone concda con quello della resstenza equalente (n ohm) 5 Teorema d Théenn Ipotes: s consdera un bpolo A-B formato da component lnear e generator ndpendent comandato n corrente Il bpolo A-B equale a un bpolo formato da un generatore ndpendente d tensone 0 n sere con un resstore eq 0 è la tensone a uoto del bpolo A-B eq è la resstenza equalente del bpolo A-B con generator ndpendent azzerat 0 eq 6

14 Teorema d Théenn Dmostrazone () Per potes l bpolo è comandato n corrente ad ogn alore della corrente corrsponde uno e un solo alore della tensone Per determnare la relazone tra la corrente e la tensone s può mporre l alore della corrente a termnal medante un generatore ndpendente d corrente e alutare la tensone rsolendo l crcuto così ottenuto Dato che l crcuto è lneare, è possble applcare l teorema d sorapposzone e scomporre la tensone n due contrbut uno douto a generator ndpendent contenut all nterno del bpolo, alutato con l generatore azzerato ( crcuto aperto) uno douto alla corrente, alutato con generator ndpendent ntern azzerat 7 Teorema d Théenn Dmostrazone () A B 0 eq 8

15 Teorema d Théenn Dmostrazone (3) Il prmo contrbuto,, rappresenta la tensone a uoto del bpolo A-B è una combnazone lneare delle tenson e delle corrent mpresse da generator ndpendent contenut nel bpolo A-B non dpende dalla corrente Il secondo contrbuto,, è proporzonale alla corrente del generatore esterno la costante d proporzonaltà, coè l rapporto tra e, rappresenta la resstenza equalente del bpolo che s ottene azzerando generator ndpendent contenut nel bpolo A-B 9 Teorema d Norton Ipotes: s consdera un bpolo A-B formato da component lnear e generator ndpendent comandato n tensone Il bpolo A-B equale a un bpolo formato da un generatore ndpendente d corrente cc n parallelo con un resstore d conduttanza G eq cc è la corrente d cortocrcuto del bpolo A-B (con erso d rfermento, nel cortocrcuto, dretto da A a B) G eq (/ eq ) è la conduttanza equalente del bpolo A-B con generator ndpendent azzerat cc G eq 30

16 Teorema d Norton Dmostrazone () Per potes l bpolo è comandato n tensone ad ogn alore della tensone corrsponde uno e un solo alore della corrente Per determnare la relazone tra la tensone e la corrente s può mporre l alore della tensone a termnal medante un generatore ndpendente d tensone e alutare la corrente rsolendo l crcuto così ottenuto Dato che l crcuto è lneare, è possble applcare l teorema d sorapposzone e scomporre la corrente n due contrbut uno douto a generator ndpendent contenut all nterno del bpolo, alutato con l generatore azzerato ( cortocrcuto) uno douto alla tensone, alutato con generator ndpendent ntern azzerat 3 Teorema d Norton Dmostrazone () cc G eq 3

17 Teorema d Norton Dmostrazone (3) Il prmo contrbuto,, rappresenta l opposto della corrente d cortocrcuto del bpolo A-B ( cc ) è una combnazone lneare delle tenson e delle corrent mpresse da generator ndpendent contenut nel bpolo A-B non dpende dalla tensone Il secondo contrbuto,, è proporzonale alla tensone del generatore esterno la costante d proporzonaltà, coè l rapporto tra e, rappresenta la conduttanza equalente del bpolo che s ottene azzerando generator ndpendent contenut nel bpolo A-B 33 Teorema d Norton Nota Il erso d rfermento attrbuto alla corrente nel cortocrcuto è correlato al erso del generatore presente nel crcuto equalente una corrente dretta (nel cortocrcuto) da A erso B corrsponde alla corrente d un generatore con l erso d rfermento entrante nel nodo A se l erso d fosse scelto da B ad A, la corrente corrsponderebbe a quella d un generatore con erso entrante nel nodo B, qund l crcuto equalente dorebbe essere modfcato come ndcato nella fgura 34

18 Bpol equalent d Théenn e Norton Se l bpolo A-B ammette sa l crcuto equalente d Théenn sa l crcuto equalente d Norton, quest sono anche equalent tra loro, qund (con ers d rfermento ndcat nella fgura) algono le relazon eq 0 Geq eq cc 35 Calcolo de parametr de bpol equalent d Théenn e Norton E possble rcaare smultaneamente parametr del bpolo equalente d Théenn (o d Norton) rsolendo l crcuto ottenuto collegando al bpolo dato un generatore ndpendente d corrente (o d tensone) come è stato fatto per dmostrare teorem Spesso rsulta pù conenente calcolare separatamente tre parametr Per cascun parametro s dee studare un crcuto derso: anals del bpolo a uoto, per l calcolo d 0 anals del bpolo con termnal n cortocrcuto per l calcolo d I cc anals del bpolo con generator ndpendent azzerat per l calcolo d eq E opportuno sottolneare che le tre anals sono ndpendent tra loro: nello studo d cascuno d quest crcut non s possono utlzzare alor d tenson o corrent determnat rsolendo uno degl altr due crcut per l calcolo d eq non s deono azzerare generator dpendent 36

19 Propretà d non amplfcazone Ipotes: Crcuto con n nod e l lat ers d rfermento scelt per tutt lat secondo la conenzone dell utlzzatore (t),..., l (t) e (t),..., l (t) tenson e corrent de lat All stante t 0 rsulta h (t 0 ) h (t 0 ) < 0 k (t 0 ) k (t 0 ) > 0 k h Propretà d non amplfcazone delle tenson h (t 0 ) k (t 0 ) k Propretà d non amplfcazone delle corrent h (t 0 ) k (t 0 ) k 37 Propretà d non amplfcazone per crcut d bpol In un crcuto d bpol cascuno de prodott k k rappresenta la potenza assorbta da un componente In un crcuto d bpol, se all stante t uno solo de component eroga potenza, mentre per tutt gl altr la potenza assorbta è posta, alor assolut della tensone e della corrente a termnal del bpolo che eroga potenza non possono essere superat da quell delle tenson e delle corrent degl altr bpol In un crcuto formato da resstor pass contenente un solo generatore ndpendente, alor assolut delle corrent e delle tenson de resstor non possono superare l alore assoluto della corrente e della tensone del generatore In un crcuto contenente bpol dnamc pass con un solo generatore, è possble che l alore assoluto della tensone o della corrente del generatore sa superato da quello d altr component (n questo caso l generatore non è l unco componente n grado d erogare potenza) 38

20 Propretà d non amplfcazone delle tenson Dmostrazone () P = nodo non concdente con un estremo del lato h S assume che tutt lat collegat a P abbano erso d rfermento entrante n P S può ottenere questa condzone modfcando ers d alcun lat (questo non camba segn de prodott k k ) P tensone del nodo P rspetto ad un nodo d rfermento arbtraro 39 Propretà d non amplfcazone delle tenson Dmostrazone () LKI le corrent de lat collegat a P non hanno tutte lo stesso segno Per lat collegat a P rsulta k k > 0 Le tenson non hanno tutte lo stesso segno Esstono due nod Q e M tal che P < M e P > Q La massma e la mnma tensone d nodo deono essere quelle degl estrem del lato h La massma tensone d lato (n alore assoluto) è quella del lato h 40

21 Propretà d non amplfcazone delle corrent Dmostrazone () P, Q estrem d un lato j h P, Q ( P Q ) tenson d P e Q rspetto ad un nodo d rfermento arbtraro S ddono nod del crcuto n due grupp, a seconda che la loro tensone sa Q o Q I lat che collegano due grupp d nod formano un taglo Per la propretà d non amplfcazone delle tenson questo taglo dee comprendere l lato h 4 Propretà d non amplfcazone delle corrent Dmostrazone () Modfcando (eentualmente) ers d alcun lat, s può fare n modo che sano tutt concord con l erso del taglo Tenson e corrent modfcate: k, k Per costruzone: k > 0 Per potes: k k > 0 k h k k h h < 0 h h k h k k h Equazone del taglo: 0 k k h k 4