GLI ERRORI SPERIMENTALI NELLE MISURE DI LABORATORIO

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1 GLI ERRORI SPERIMETALI ELLE MISURE DI LABORATORIO MISURA DI UA GRADEZZA FISICA S defnsce grandezza fsca una propretà de corp sulla quale possa essere eseguta un operazone d msura. Msurare una grandezza fsca sgnfca confrontarla con un altra grandezza ad essa omogenea scelta come untà d msura. La msura ndca quante volte l untà d msura è contenuta nella grandezza msurata. Es: una msura d lunghezza ha fornto l seguente valore: L 5. m grandezza fsca msura untà d msura Il confronto d una grandezza fsca con l untà d msura è reso partcolarmente semplce ed mmedato con l utlzzo d strument d msura coè apparecch dove l untà d msura è rprodotto su d ess e dove un ndce (strument analogc) o un numero su un dsplay (strument dgtal) fornsce drettamente la msura. Def: Portata ndca l ntervallo d msura entro cu lo strumento può operare. Se s usa uno strumento per msure superor alla sua portata s rscha d rovnarlo! Def: Sensbltà è la pù pccola varazone della grandezza che lo strumento permette d rlevare. Pertanto la sensbltà d uno strumento è la sua capactà a rspondere prontamente a varazon della grandezza da msurare. ota: ormalmente portata e sensbltà sono caratterstche contrastant tra loro nel senso che a strument d msura con grande portata corrsponde una scarsa sensbltà e vceversa. Def: Precsone è un ndce della qualtà dello strumento d msura utlzzato ed è defnto come l rapporto tra l errore commesso nella lettura della msura ed l valore della msura stessa espresso n percentuale. Ad esempo un termometro clnco può msurare temperature comprese tra 36 e 44 C con un errore del decmo d grado. Se s consdera 40 C come un valore tpco della temperatura msurata con questo strumento la sua precsone meda è d 0. C/40 C x00 0.5%. ERRORI ELLE MISURE Esstono sempre degl error assocat alle msurazon. C'è un'eccezone: se la msurazone consste nel contare grandezze dscrete coè costtute d element separat, come l numero degl student n un laboratoro, allora l numero può essere esatto. Quando s parla d errore non s ntende rferrs ad uno sbaglo. Il sgnfcato tecnco d errore potrebbe essere descrtto meglo con l termne ncertezza. In qualsas msura d varabl contnue, come la lunghezza, la massa, l tempo e così va, è nevtable che c sa ncertezza nella determnazone del loro valore esatto. La mglor cosa che è possble fare è fornre un partcolare valore della msura, detto valore pù attendble o probable p, con la garanza che l valore "vero" sa quello stesso numero, pù o meno una certa quanttà, chamata errore assoluto o massmo. Allora, l rsultato dell'espermento vene dato nella forma:

2 () p ± S dstnguono due tp d error: gl error sstematc e gl error casual. Gl error sstematc pù comun sono quell dovut al cattvo funzonamento della strumentazone utlzzata. Tal error nfluscono sul rsultato d una msura sempre n un medesmo senso e portano o a msure n dfetto o a msure n eccesso rspetto a quelle che s avrebbero n loro assenza. Se, ad esempo, un cronometro rtarda (va ndetro) l'ntervallo d tempo che s msura rsulterà pù breve d quanto esso non sa n realtà, la msura del tempo sarà allora errata per dfetto. Oppure se n un rghello costruto male l trattno usato per ndcare l mllmetro è mnore del gusto s commetterà un errore per eccesso n tutte le msure d lunghezza esegute. Gl error sstematc una volta ndvduata la causa che l hanno provocat possono essere elmnat. Un'altra fonte d errore sstematco s ha quando lo strumento d msura nterfersce con l funzonamento dell'apparato su cu s sta msurando una grandezza. Infatt questa è dversa con e senza strumento d msura applcato: è l caso delle msure d corrente e tensone con voltmetro e amperometro, perché con le loro resstenze nterne cambano la condzone d funzonamento del crcuto n esame. Gl error casual (dett anche accdental) sono quell dovut all'operatore ed alle condzon spermental della partcolare msura. Quest error modfcano casualmente l rsultato della msura o n eccesso o n dfetto. Tal fluttuazon sono dovute all mpossbltà d rprodurre esattamente n cascuna operazone d msura le stesse condzon spermental. Esemp d tal error sono: error d parallasse, error d start e stop nella msura d ntervall d tempo, pulza, derva d strument con la temperatura etc. Con l'utlzzo d strument pù sofstcat e con una maggor attenzone dello spermentatore è possble rendere gl error accdental pccol ma, a dfferenza d quell sstematc, non s possono elmnare del tutto. errore relatvo. ella pratca è pù sgnfcatvo, per poter stablre la bontà o accuratezza d una msura, l concetto d errore relatvo E r e d errore percentuale E %, nvece che d quello assoluto (µ,δ,σ ), defnt come: Er E p 0 E x 0 r Da notare che, mentre l'errore assoluto ha la stessa untà d msura della grandezza msurata, l'errore relatvo è admensonale. E evdente che una msura è tanto pù accurata quando pù pccolo è l errore relatvo e percentuale. Se n una msura l errore è dovuto solo alla lettura dello strumento, l accuratezza cresce all aumentare del valore della msura, perché l errore assoluto resta nvarato. Error nelle msure drette- Cenn d statstca descrttva S ndch con una generca varable aleatora, coè soggetta soltanto ad error casual, e s supponga d effettuare su d essa un numero d msure, s possono presentare seguent cas: Caso - Le msure effettuate danno lo stesso rsultato, oppure s esegue una sola msurazone. Il valore pù probable p è quello letto sullo strumento e l'ncertezza è suggerta dalla sensbltà dello strumento; s parla pertanto d errore d sensbltà.

3 Questo caso s presenta quando la msura è fatta con uno strumento poco sensble. S pens alla msura della larghezza d un foglo eseguta con un rghello mllmetrato. Con tale strumento l errore d msura non è nferore a 0.5 mm, corrspondente alla mezza dvsone che l operatore può apprezzare. Evdentemente l errore d sensbltà è un errore massmo che assorbe tutt gl error casual. Caso - S eseguono alcune msure e queste danno valor che possono essere dvers tra d loro. Questo è l caso n cu la msura è eseguta con uno strumento sensble. S defnscono: def. La frequenza assoluta f è l numero d volte che un valore o una classe d valor compare nelle msure effettuate. E' ovvo che la somma d tutte le frequenze assolute corrsponde al numero complessvo delle msure esegute. def. La frequenza relatva fr è l rapporto tra la frequenza assoluta e l numero totale delle osservazon. Se l valore x è stato msurato n volte, la corrspondente frequenza relatva è fr n / (che concde con la probabltà P(x ) quando è molto grande). Ovvamente la somma d tutte le frequenze relatve vale. def 3.La frequenza percentuale f % è la fr moltplcata per cento espressa n %. Spesso s suddvde l campo d varazone delle msure n un numero d ntervall d ampezza costante e s raggruppano n class d valor le msure ottenute che cadono n uno stesso ntervallo. L esto d questa operazone s rappresenta con un stogramma della dstrbuzone delle msure, coè con de rettangol d base uguale alla larghezza dell'ntervallo e d altezza uguale alla frequenza delle msure che cadono n quell'ntervallo. I rsultat delle msure non saranno dstrbut casualmente ma s collocheranno ntorno a quello che ragonevolmente è l valore pù probable. La forma dell'stogramma suggersce che tale valore è l valore medo o meda d tutte le msure defnta da: () f fr Una stma puttosto pessmstca dell'errore assoluto è la semdspersone λ defnta come l valore assoluto della semdfferenza tra l valore massmo e l valore mnmo fra quell ottenut: (3) λ max mn Una mglor stma dell'errore assoluto può essere ottenuto n base alle seguent consderazon.la dfferenza fra la meda e cascuna msura vene chamata devazone dalla meda (o scarto o resduo): (4) 3

4 Alcun degl scart sono postv ed altr negatv dal momento che c saranno degl pù grand della meda ed altr pù pccol. Questo mplca che la meda degl è zero, nfatt: ( ) / / 0 Pertanto la meda degl scart non è un modo utle d caratterzzare l'ncertezza della msura. Per evtare tale nconvenente s consdera l modulo degl scart defnendo devazone meda δ la seguente grandezza: ( 5) δ Dalla (5) s osserva che, al crescere del numero delle msure, δ tende a dventare sempre mnore: è questa è un'ulterore conferma della necesstà d esegure una msura un gran numero d volte per rdurre al mnmo l'errore dal quale essa è affetta. Pertanto l rsultato delle msure verrà ndcato nella forma: ( ± δ ) 3 Caso - Sono accessbl grand quanttà d dat. E' evdente che, quanto maggore è l numero d msure acquste tanto pù grande è l numero d ntervall n cu s può suddvdere l campo d varazone della, che raggunge un lmte mnmo determnato dalla rsoluzone del sstema d msurazone. L'stogramma delle msure tende allora ad appoggars ad una curva contnua d forma ben defnta chamata dstrbuzone lmte. La dstrbuzone lmte ha soltamente una forma smmetrca a "campana" centrata attorno al valore medo d x. Un parametro utle per defnre la larghezza della dstrbuzone e qund anche dell'stogramma è la devazone standard σ defnta come: (6) σ ( ) E' defnta, noltre, varanza la quanttà: ' ( 6 ) σ ( ) ella (6) e (6 ) la somma de quadrat degl scart è dvsa per - e non per come c s dovrebbe attendere. In questo modo s vuole correggere una certa tendenza che s avrebbe, dvdendo per, a sottostmare la sparpaglamento delle msure, specalmente se l loro numero è pccolo. Questa tendenza è evdente nel caso estremo d, coè l caso n cu s effettu un unca msurazone. In questo caso s avrebbe che l valore medo è l unca msura effettuata e lo scarto sarebbe zero. La (6) darebbe l rsultato ndefnto σ0/0 che evdenza la totale mpossbltà d stablre come sano dstrbute le msure, mentre dvdendo per s avrebbe l rsultato σ0 che è un assurdtà n quanto porterebbe alla conclusone che non v sono error nella msura. 4

5 S assume come valore pù probable l valore medo e come msura dell'errore assoluto la devazone standard. Il rsultato della sere d msure s esprmerà, pertanto, nella forma: ± σ devazone standard dalla meda Quando s rpete l rsultato d una sere d msure nella forma: x x ± σ s ntende dre che la probabltà che, rpetendo una sngola msura, essa cada nell'ntervallo x σ < x < x +σ è del 68,3%, oppure che l 68.3 % delle msure esegute cade n tale ntervallo. A rgore σ rappresenta qund non tanto l'ncertezza meda della dstrbuzone, ma quella delle sngole msure. Fra le msure effettuate l valore medo è quello pù affdable e la sua devazone dal valore vero è pù pccola d quella delle msure. S può dmostrare che l'ncertezza assocata al valore medo è volte pù pccola d quella delle sngole msure. Tale ncertezza è chamata devazone standard della meda e vale: σ σ Percò l rsultato della sere d msure deve essere espresso nella forma: x x ± σ Approssmazon de valor numerc delle grandezze e cfre sgnfcatve. ell attvtà pratca è spesso necessaro approssmare rsultat d una msura o, come spesso s usa dre, arrotondarl. Per fare cò è necessaro trascurare alcune cfre. Il numero d cfre da trascurare dpende da dvers fattor: a) Dal grado d approssmazone che s vuole raggungere. Il crtero d solto seguto nell arrotondamento è che se la prma cfra da elmnare è mnore d 5 le cfre rmanent restano nvarate (arrotondamento per dfetto). Se le cfre da elmnare nzano con un numero superore o uguale a 5 s aumenta d un untà la cfra precedente. S tenga presente che l numero d cfre sgnfcatve del rsultato d un operazone d pù msure deve essere uguale a quello della msura meno precsa. Es : Supponamo d sommare le tre masse 3.4 g +.36 g g. Il rsultato fornto dalla calcolatrce è g ma le non tutte le cfre dopo la vrgola hanno senso fsco poché almeno una grandezza nzale lmta la sua precsone alla prma cfra dopo la vrgola. La rsposta corretta è qund, arrotondando per eccesso, 34.3 g. 5

6 a) Dal grado d precsone con l quale la determnazone è stata effettuata, vale a dre dal numero delle cfre che hanno sgnfcato fsco (cfre sgnfcatve). E qund necessaro dstnguere n una msura le cfre sgnfcatve da quelle non sgnfcatve. L mportanza della sgnfcatvtà delle cfre è messa n luce dal seguente esempo. La lunghezza d un campone msurata con un rghello mllmetrato è d 9,7 cm. Cò sgnfca che la lunghezza reale è compresa tra 9.6 e 9.8 cm. Pertanto la massa del campone dovrebbe esprmers correttamente n (9,7±0.)cm e non avrebbe senso scrvere 9.70 cm perché cò avrebbe dovuto comportare l uso d uno strumento sensble al centesmo d cm coè (9,70±0.0)cm; n tal caso la msura assumerebbe una cfra sgnfcatva n pù perché lo strumento è pù sensble. E lecto assegnare agl error statstc (meda, devazone standard) un valore d un ordne d grandezza mglore d quella dell errore massmo (errore d sensbltà, semdspersone). E ragonevole non ndcare nella msura pù cfre decmal d quante ne ha la sua ncertezza. S ha così la regola generale: L ultma cfra sgnfcatva del rsultato d una msura deve essere dello stesso ordne d grandezza dell errore. Per questa ragone non è corretto dcharare per una msura d una lunghezza L(3.045±0.0)m. La stessa msura è pù ragonevolmente espressa da L(3.05±0.0)m otazone scentfca, ordne d grandezza In fsca spesso s ncontrano grandezze le cu msure sono espresse da numer molto grand o molto pccol. Per semplfcare calcol tal numer devono essere ndcat con la notazone scentfca coè come prodotto d una cfra compresa tra e 0 per una potenza d 0. Def: Ordne d grandezza d un numero è la potenza d dec pù vcna al valore numerco consderato. ota: se la parte non esponenzale del numero è superore a 5, s deve arrotondare per eccesso all ordne d grandezza successvo: così l numero x0 4 ha ordne d grandezza 0 5. Alcun comment general su grafc: Da qualche parte del grafco mettere sempre una ddascala, mes pù tard nell'mmnenza dell'esame c s domanda ma che dagramma era? Sugl ass vanno ndcat nome delle varabl e l'untà d msura mpegate. Sceglere la scala n modo che venga utlzzata la maggor porzone possble del foglo per l grafco. D fatto non esstono "punt" sul grafco poché le msure sono affette da error. Gl scart dervant da quest error vanno rappresentat sul grafco rportando, con centro nel punto due segmentn uno orzzontale e l altro vertcale d lunghezza par al doppo dell errore 6

7 commesso. Le barre d errore n lnea d prncpo sono su entramb gl ass. Spesso avvene che la msura lungo un asse sa molto pù precsa d quella lungo l'altro asse, per cu soltamente s ndca una sola barra d errore. Se s vuole raccordare con una curva dat rportat sul grafco farlo con una lnea regolare. Infatt data la contnutà de fenomen fsc s può ammettere che l legame fra la grandezza n ascsse e quella n ordnate sa n genere rappresentable medate una curva contnua. A rappresentare rsultat s sceglerà qund una curva che pass all nterno delle regon ndvduate da segment suddett ntorno a punt rappresentatv delle msure. Le msure che non soddsfano a questo requsto vanno r-verfcate. S not che a volte è possble traccare dverse curve comprese ne lmt degl error, n tal caso la conoscenza, n sede teorca, d una relazone tra le grandezze n esame è determnante per stablre l andamento della curva spermentale. Quando l grafco d una sere d dat ha un andamento regolare è possble rcavare con buona attendbltà valor d una grandezza anche n condzon che non sono state spermentate (nterpolazone ed estrapolazone grafca). ERRORI ELLE MISURE IDIRETTE- PROPAGAZIOE DEGLI ERRORI Premessa. Se z f (x,y) s chama dervata totale d z rspetto a t la grandezza: (7) dz z dx z dy + dt x dt y dt questa è anche la formula d dervazone delle funzon composte. Se nella (7) toglamo la dpendenza dalla varable t s ottene l dfferenzale totale dz (8) z z dz dx + dy x y E noto nfatt che l dfferenzale d una funzone rappresenta la sua varazone nfntesma per varazon nfntesme delle varabl ndpendent x, y. Errore massmo d una msura ndretta. Le msure drette sono quelle msure effettuate con apparecch tarat coè determnate dal confronto dretto con una untà d msura presa come rfermento. S consderno le msure ndrette, coè le msure d quelle grandezze rcavate attraverso relazon analtche n cu compaono pù msure drette, cercando d valutare l nfluenza degl error con cu s conoscono le seconde, sugl error con cu s conoscono le prme. Se la funzone z z (x, x, x 3, ) dpende dalle msure x, x, x 3, rcavate con operazon spermental c domandamo qual è l ncertezza con cu no conoscamo z tenendo presente l ncertezza sulle msure x, x, x 3,? Il dfferenzale totale d z è: 7

8 z (9) dz dx x Se consderamo che gl error massm delle grandezze drette x rappresentno pccole varazon delle varabl ndpendent, allora possamo stmare l errore della grandezza dervata tramte l dfferenzale totale della funzone z z (x, x, x 3, ) z (0) z x x S vede charamente che l'errore da cu è affetta una msura ndretta è sempre superore a quell d cu sono affette le msure fatte drettamente. Sarebbe qund consglable procedere n modo dretto, ma spesso non esste altra soluzone che l metodo ndretto. La presenza del modulo nella relazone precedente è gustfcato dal fatto che alla base della teora degl error, v è la condzone per cu l errore d una qualsas grandezza rcavata con msura ndretta, non può essere mnore del pù elevato tra gl error delle grandezze component. In base a questa propretà, anche se l applcazone della (9) darebbe luogo a operazon d dfferenza sugl error, tal dfferenze vengono trasformate n somme (prncpo d addtvtà degl error). Qund la (0) rappresenta l valore massmo dell errore della grandezza z z (x, x, x 3, ). Con cò s è combnato l effetto de x nel pù pessmstco de mod propro per ottenere l errore massmo possble anche sulla msura d z; nfatt può verfcars una cancellazone parzale degl error n x. Quando le ncertezze x sono ndpendent e casual, la somma della (0) può essere rmpazzata da una somma n quadratura ottenendo una valutazone meno pessmstca per l ncertezza nel valore calcolato d z. f () z x x () σ f σ z x x ella () è stato sosttuto l errore assoluto x d cascuna msura dretta con la devazone standard σ, cò sgnfca che se le msure x sono governate da dstrbuzon normal ndpendent, con devazone standard σ x allora anche valor z sono anch ess dstrbut normalmente con devazone standard data dalla (). Es: In un espermento con un pendolo semplce sono state ottenute le seguent msure: - lunghezza del pendolo. L (.000 ± )m - durata d 0 oscllazon complete t (0.0 ± 0.)s determnare l errore assoluto, relatvo e percentuale nella msura d g. Calcolamo l perodo d oscllazone del pendolo n base a dat assegnat: T (.00 ± 0.0) s Il perodo d oscllazone d un pendolo semplce è legato all accelerazone d gravtà g e alla lunghezza del pendolo L dalla relazone: T π L g qund L 4 π m g 9.87 T s 8

9 Dfferenzando, utlzzando la (0), rcavamo l errore assoluto: g g 4π 8π L g L + T L + T L T T T m s Pertanto g (9.87 ± 0.0) m/s E r g 0.0 E % % g APPROFODIMETO: LA CURVA DI GAUSS E stato osservato che se s effettuasse un numero nfnto d msure e se l sstema d msura non presentasse lmt d rsoluzone l nvluppo de rettangol dell stogramma tende a dvenre una curva contnua f(x) chamata dstrbuzone lmte. La funzone d dstrbuzone tpca è la "dstrbuzone normale" o "Gaussana" la cu espressone matematca è: (3) f( x) πσ e ( xµ ) σ Il coeffcente davant all esponenzale è detto coeffcente d normalzzazone. Il σ è un parametro d larghezza della dstrbuzone e µ ne è l valore atteso. Il valore centrale µ della dstrbuzone, che tende al valore vero della msura, è defnto da: che è equvalente alla (). (4) lm xf( x) dx µ + Per dmostrare la (4) basta esegure l cambamento d varabl y x-µ dydx l ntegrale dventa: x y+µ, nfatt + y + σ x + ye dy µ e σ π y σ l prmo ntegrale vale zero mentre l secondo è σ π e pertanto s ha che l valore medo è µ. Analogamente l valore lmte della varanza dopo molte msure è: dy 9

10 + lm σ ( x x) f ( x) dx La devazone standard ha l sgnfcato d parametro d larghezza della funzone d dstrbuzone. Essa è la metà della larghezza della funzone ad un altezza par a dell altezza massma della funzone stessa. Tale rsultato lo s ottene ponendo nella (3) x-µσ. Se s calcola la dervata seconda della (3) e la s pone uguale a zero è facle renders conto che la devazone standard rappresenta l ascssa del punto d flesso della funzone dsegnata assumendo l orgne n µ. σ L anals della funzone d Gauss rvela che s tratta d una curva a campana smmetrca ntorno a x µ. In µ la curva ha l suo unco massmo, che è d altezza nversamente proporzonale alla larghezza σ. Il grafco mostra due dstrbuzone gaussane. Per la curva a tratto contnuo µ e σ0.4, per la curva tratteggata µ e σ. La probabltà che una sngola msura cada n un dato ntervallo [a,b], è data da: b ( xµ ) σ ( e P a < x b) σ π Rsulta, d conseguenza, che la probabltà che x prenda esattamente un valore c, qualunque sa c, è zero. Infatt: c P( x c) f ( x) dx 0 Una nterpretazone ntutva del concetto d denstà d probabltà può essere rcavata nel modo seguente. Poché: c a dx ε ε P( a < x < a + ) ε a+ ε a f ( x) dx f ( a) ε ne emerge che l valore f(a) della denstà nel punto a è proporzonale alla probabltà che la varable x prende un valore vcno ad a. La probabltà per una msura d cadere n un punto qualunque d tutto l asse è la certezza, qund vale. Infatt: + f ( x) dx La probabltà che una msura cada entro una devazone standard è data dall ntegrale: 0

11 Ponendo y(x-µ)/σ dxσdy s ottene: P( entro σ ) µ + σ µ σ σ π e ( xµ ) σ dx + P( entro σ ) e π y dy 0.68 Per un ntervallo generco µ-tσ<x<µ+tσ l ntegrale dventa la error functon erf(t) espressa da: + t P( entro tσ ) erf ( t) e dy π t y Il rsultato d tale ntegrale non avendo soluzone analtca deve essere determnato al computer è: non rlevato, dell operatore. Il grafco mostra che l 68% d un numero elevato d msure d una grandezza, presenta una devazone nferore a ±σ; l 95,4 % delle msure ha un devazone nferore a ± σ, mentre l 99.7 % delle msure ha una devazone nferore a ±3σ. La statstca fornsce così un crtero per consderare non attendbl, e qund da scartare, que rsultat che presentano una devazone superore a ± 3σ: ess con ogn probabltà sono mputabl ad un errore sstematco, BIBLIOGRAFIA - John R.Taylor Introduzone all'anals degl error Zanchell - Gaetano Cannell Metodologe spermental n fsca EdSES - A.De March, L.Lo Prest Incertezze d msura Clut - E.Bava, R.Ottobon, C.Svelto Prncp d msura Poltecnco d Mlano

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