Compito di SISTEMI E MODELLI 25 Gennaio 2016

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1 Compto d SISTEMI E MODELLI 5 Gennao 06 È vetato l uso d lbr o quadern. Le rsposte vanno gustfcate. Saranno rlevant per la valutazone anche l ordne e la charezza espostva. Consegnare SOLO la bella copa, con le rsposte rportate nel gusto ordne. Ex [5 pt.. L economa d una famgla è basata sulle seguent regole Il tempo é rappresentato dal flusso de mes. Qund t rappresenta una varable ntera (che ndca l mese che s sta consderando) Le entrate mensl (basate su stpend) rappresentano l ngresso u (t) Le uscte sono le spese panfcate e quelle mprevste. Quelle mprevste rappresentano l ngresso u (t) La famgla ha un conto corrente e due forme d nvestmento. Sano x (t), x (t), x 3 (t) rspettvamente l mporto sul conto e su due nvestment, e sa y(t) (l uscta del sstema) l totale mporto posseduto. Entrate e spese agscono sempre e solo su x (t) Le spese panfcate sono (drettamente) proporzonal a y(t) secondo la costante a = 0.5 L nvestmento n. ha rendmento proporzonale secondo la costante b = 0.0, rendmento che almenta nteramente l nvestmento n. (a sua volta con rendmento proporzonale, secondo la costante c = 0.0) Il conto corrente e l nvestmento n. s scambano denaro proporzonalmente alla dfferenza tra loro mport (dal prodotto con maggor denaro verso quello con mnor denaro), secondo la costante d = 0.3 S scrva un modello lneare (matrc F, G, H, J) che descrva l evolvere dell economa famlare. Ex [5 pt.. Dato l sstema non lneare dscreto dpendente da due parametr real a, b ẋ (t) = ax (t) x 3 (t) ẋ (t) = bx (t) S determn la matrce F del sstema lnearzzato (nell ntorno del punto d equlbro nullo) S stud la stabltà del sstema lnearzzato con l anals degl autovalor S stud (quando possble) la stabltà del sstema lnearzzato con Lyapunov (sceglendo Q = I e determnandone tutte le soluzon) S stud la stabltà d x = 0 nel sstema non lneare, rcorrendo ne cas crtc a V (x, x ) = x + x4 Ex 3 [4 pt.. Dato l sstema compartmentale defnto dalla matrce K = Dsegnare l grafo corrspondente Determnare tutt gl eventual sottosstem chus, evdenzando l massmale ed mnmal Determnare se λ = 0 è o meno autovalore d K, la sua molteplctà, e tutt punt d equlbro Determnare x(+ ) sapendo che x(0) = [ 0 0 T

2 Ex 4 [4 pt.. Dato l sstema contnuo ẋ = F x, F = Rcavare la forma d Jordan d F rportando anche la matrce T d cambo d base. Elencare mod del sstema e studare la stabltá del sstema. Trovare tutte le condzon nzal tal che l evoluzone lbera x l (t) converga al vettore [0 0 0 T. Ex 5 [4 pt.. Dato l seguente sstema a tempo contnuo n forma d stato ẋ (t) = k x (t) + k 3 x 3 (t) ẋ (t) = k x (t) ẋ 3 (t) = (k + k 3 )x 3 (t) + δ(t) y(t) = x (t) dove k, k, k 3 sono parametr ncognt. S stud l dentfcabltá a pror del sstema a partre da condzon nzal nulle Ex 6 [5 pt. S consder l seguente modello d msura: y = ax x bx + e dove e sono gl error d msura assunt ndpendent con e N (0, 5 ). Sono dsponbl le seguent msure: (x, y ) = (, ), (x, y ) = (4, 4) S stm l valore de parametr a e b tramte mnm quadrat pesat. S calcol la precsone d stma del parametro a esprmendola come ntervallo d confdenza a 3 SD. S calcol l MSE dello stmatore a mnm quadrat pesat de parametr a e b. Ex 7 [6 pt.. S consderno n varabl aleatore ndpendent e Gaussane y N (θ, ) (e.g. y 3 ha meda θ e varanza /3). S rcav lo stmatore a massma verosmglanza (ML) ˆθ ML d θ funzone delle y. Sugg.: s rcord l uguaglanza n = = n(n + )/. S calcol la varanza d ˆθ ML (esatta, senza utlzzare Fsher). S consderno ora le n varabl aleatore ndpendent e Gaussane y N (0, θ ). S rcav lo stmatore a massma verosmglanza (ML) ˆθ ML d θ funzone delle y. S calcol un lmte nferore alla varanza d ˆθ ML.

3 Soluzone EX. x (t + ) tene conto d x (t) (somma gà presente), s ncrementa d u (t) e decrementa d u (t) e d 0.5y(t) = 0.5[x (t)+x (t)+x 3 (t), noltre s modfca anche d 0.3[x (t) x (t) (l segno postvo rende questo un ncremento se e solo se l conto contene meno dell nvestmento, come dev essere). Qund x (t + ) = x (t) + u (t) u (t) 0.5[x (t) + x (t) + x 3 (t) + 0.3[x (t) x (t) mentre x (t + ) tene conto d x (t) e s modfca d 0.3[x (t) x (t) (opposto al termne analogo n x (t + )), ed nfne x 3 (t + ) tene conto d x 3 (t) e de due ncrement par a 0.0x (t) e 0.0x 3 (t), qund x (t + ) = 0.3x (t) + 0.7x (t), x 3 (t + ) = x 3 (t) + 0.0x (t) + 0.0x 3 (t) oltre a y(t) = x (t) + x (t) + x 3 (t), da cu x(t + ) = x(t) u(t), y(t) = [ x(t) + [ 0 u(t) Soluzone EX. Lnearzzando s ottene F = a 0 0 b λ = a, b da cu stabltà asntotca se a < 0, b < 0, solo semplce se a = 0, b 0 oppure a 0, b = 0 (compreso l caso a = b = 0, vsta la forma d Jordan dagonale), ed nstabltà se a > 0 oppure b > 0. Lyapunov F T P + P F = Q = I porge la soluzone P = a 0 0 (se b a) b mentre se b = a abbamo nfnte o nessuna soluzone a seconda che sa a 0 oppure a = 0 P = a y, y R (se b = a 0, mentre nessuna soluzone se a = b = 0) y a Il caso b = a mpedsce qund la stabltà asntotca, mentre b a rende P > 0 se e solo se a < 0 e b < 0. Qund solo n tal caso s può dedurre la stabltà asntotca, mentre negl altr cas (P non defnta postva, nfnte o nessuna soluzone) non s può dscrmnare tra eventuale stabltà semplce ed nstabltà. Le concluson con la lnearzzazone per l non-lneare sono le stesse del caso lneare se uno almeno tra a, b è postvo, oppure se sono entramb negatv. I cas crtc sono qund quell che nel lnearzzato conducono a stabltà semplce, coè a = 0, b 0 oppure b = 0, a 0. Ne cas crtc s ottene V (x, x ) = x ( a + x ) + 4bx 4 defnta negatva se a = 0, b < 0 (stabltà asntotca), e solo semdefnta negatva se b = 0, a 0, con N concdente con la retta x = 0, che sosttuta nelle equazon dfferenzal porge nfnte soluzon costant dentro N, par a x = 0, x = costante qualsas. In tal cas la stabltà è solo semplce per Krasowsk. Soluzone EX 3. Il grafo è n fgura, ed evdenza come l nodo abba un flusso verso l esterno ed l nodo verso l nodo, mentre nessun altro nodo ha fluss verso,. Qund (3, 4, 5, 6) è l chuso massmale. 3

4 Al suo nterno sono present altr 4 chus: (3, 4, 5) e (3, 4, 6) non mnmal, e (3, 4) e (6) entramb mnmal, da cu λ = 0 ha ν =. I punt d equlbro relatv a chus mnmal sono x eq, = [ T e x eq, = [ T, qund x eq = [ 0 0 a a 0 b T, a, b 0 e, lo vedremo tra un attmo, x(+ ) = [ T sono tutt punt d equlbro. Pochè l chuso mnmale (6) è sconnesso da altr nod e vale x 6 (0) =, per ogn t 0 s ha x 6 (t) = e qund anche x 6 (+ ) =. Inoltre x (0) = x (0) = 0 garantsce che la somma x 3 (t) + x 4 (t) + x 5 (t) + x 6 (t) rmanga costante e par a 7 (l valore nzale), ed l punto d equlbro cu tende l sstema deve avere b = per quanto appena vsto, da cu faclmente a = 3 per la condzone d somma costante. Qund x(+ ) è propro quello ndcato sopra. Soluzone EX 4. Rguardo al prmo punto osservamo che la matrce F é dagonale a blocch F = = F 0 0 F Essterá qund un cambo d base T n forma d Jordan, partzonato n modo conforme ad F : T 0 T =, T T = 0 0 T 0 T tale che [ F J = T T F T = F T 0 F J 0 T F = 0 T 0 F J Trattamo qund separatamente le sottomatrc F e F. Per quanto rguarda la sottomatrce F, l suo polnomo caratterstco è s +s+ e qund possede l unco autovalore λ = con molteplctá algebrca ν =. S ha [ 3 3 F + I = 3 3, (F + I) = L autospazo assocato a λ è generato da v = T. Possamo po sceglere come autovettore generalzzato v = [ 0 T e ω = (F + I)v = [3 3 T. D conseguenza la sottomatrce d cambo base per F rsulta: 3 T = [ ω v = 3 0 e F n forma d Jordan rsulta: F J = T F T = 0 4

5 Per quanto concerne F, essa rsulta gá n forma d Jordan qund T = I. La matrce d cambo base T e la forma d Jordan rsultano qund: T = , F J = Per l secondo punto, calcolamo l esponenzale della matrce modale n forma d Jordan: e t te t 0 0 e F J t = 0 e t t D conseguenza mod del sstema rsultano: {e t, te t,, t} e l sstema è nstable. Rguardo al terzo punto, vsta la struttura d e F J t e T, è facle concludere che le condzon nzal cercate sono α x(0) = β, 0 dove α, β varano n R. Soluzone EX 5. Il modello lneare qund s usa l metodo della funzone d trasfermento (Laplace): X (s) = k 3 s + k + k 3 s + k = da cu s rcava l seguente sommaro esaustvo: Rsolvento s ottene: k 3 s + (k + k + k 3 )s + (k + k 3 )k k 3 = a k + k + k 3 = b k (k + k 3 ) = c k 3 = a k = k a + b k + (a b)k + a ab = 0 Il parametro k ammette due soluzon qund l modello localmente (ma non globalmente) dentfcable a pror. Soluzone EX 6. utlzzando l smbolsmo del lbro Φ = qund Per semplct s consder l modello n questa forma: y = ax bx 3/ + e, Φ = [ 6 8 ∠= (G Σ G) G Σ y = b 5 [ [ / 3/, y =, 5 0, Σ =, 4 0 5

6 per cu ˆb = 9/4. Precsone d stma: (G Σ G) = 65/64 35/64, da cu: â = 35/64 645/64 ± 3 65/64 = ± 5 MSE = (Bas) +Tr(G Σ G) =0+405/3 Soluzone EX 7. lkelhood è Consderando l prmo tpo d varabl aleatore, rguardo al prmo punto la meno log l θ = n (θ y ) + K, dove K è una costante che non dpende da θ. Da semplc calcol s ottene = l θ θ = n (θ y ), = da cu ˆθ ML = n = y n = = n = y n(n + ). La varanza d ˆθ ML rsulta n = V ar y n θ n(n + ) = 4 = V ar θ y n = n (n + ) = 4 n (n + ) = n(n + ). Consderando l secondo tpo d varabl aleatore, rguardo al prmo punto la meno log lkelhood è l θ = n = θy n log θ + K, dove K è una costante che non dpende da θ. Qund l θ θ = n = y n θ, da cu ˆθ ML = n n. = y Per rspondere all ultmo punto, calcolamo la matrce d Fsher: I(θ) = E θ l θ θ = E n θ θ = n θ. Il bound nferore rsulta qund (θ )/n. 6