Equilibrio e stabilità di sistemi dinamici. Stabilità interna di sistemi dinamici LTI
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- Alessia Di Matteo
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1 Equlbro e stabltà d sstem dnamc Stabltà nterna d sstem dnamc LTI
2 Stabltà nterna d sstem dnamc LTI Stabltà nterna d sstem dnamc LTI TC Crter d stabltà per sstem dnamc LTI TC Stabltà nterna d sstem dnamc LTI TD Crter d stabltà per sstem dnamc LTI TD Esemp d anals della stabltà nterna 2
3 Stabltà nterna d sstem dnamc LTI Stabltà nterna d sstem dnamc LTI TC
4 Stabltà nterna d sstem dnamc LTI TC (1/5) Dato un sstema dnamco, a dmensone fnta, MIMO, a tempo contnuo, lneare e stazonaro (LTI), descrtto dall equazone d stato xt () = Axt () + But (), se ne consderno due dverse evoluzon temporal: Un movmento nomnale xt () ottenuto applcando un ngresso nomnale ut () al sstema posto n uno stato nzale nomnale xt ( = 0) = x 0 0 xt () soddsfa l seguente sstema d equazon xt () = Axt () + But (), xt ( = 0) = x 0 0 Un movmento perturbato xt () ottenuto applcando lo stesso ngresso nomnale ut () al sstema posto n uno stato nzale dfferente ( perturbato ) x x 0 0 xt () soddsfa l seguente sstema d equazon xt () = Axt () + But (), xt ( = 0) = x 0 0 4
5 Stabltà nterna d sstem dnamc LTI TC (2/5) La dfferenza fra due dvers movment costtusce la perturbazone sullo stato del sstema: n δxt () = xt () xt () xt () = xt () + δxt () L evoluzone temporale della perturbazone sullo stato δx (t ) è soluzone dell equazone dfferenzale xt d ( δx() t ) d ( x() t x() t ) δ () = = = () () dt dt xt xt = = Ax() t + Bu () t [ Ax () t + Bu () t ] = = Ax() t Axt () = Axt ( () xt ()) = Axt δ () con condzone nzale δxt ( = 0) = xt ( = 0) xt ( = 0) = x x = δx
6 Stabltà nterna d sstem dnamc LTI TC (3/5) La soluzone δx (t ) dell equazone dfferenzale δxt () = Aδxt (), δxt ( = 0) = x x = δx èdata da δxt () = e At δx, t 0 0 Nel caso d un sstema dnamco LTI TC, l evoluzone temporale della perturbazone sullo stato δx() t non dpende qund dallo stato nzale nomnale x 0 o dall ngresso nomnale ut (), coè non dpende dal partcolare movmento nomnale xt () consderato nel caso de sstem dnamc LTI TC, la propretà d stabltà rguarda l ntero sstema e non sngol movment, come avvene nvece nel caso de sstem dnamc non lnear 6
7 Stabltà nterna d sstem dnamc LTI TC (4/5) Come conseguenza de rsultat dell anals modale, l evoluzone temporale della perturbazone sullo stato δxt () = e At δx, t 0 0 è combnazone lneare de mod propr del sstema, che n generale sono del tpo μ 1 e( λ ) t ( ( ) ) m () t t e cos m t, 1, μ = I λ + ϕ μ μ L evoluzone temporale de mod propr dpende dagl autovalor λ della matrce d stato A. In partcolare, mod propr d un sstema dnamco LTI TC sono: Esponenzalmente convergent se Re(λ ) < 0 Lmtat se Re(λ ) = 0 e μ = 1 Polnomalmente dvergent se Re(λ ) = 0 e μ > 1 Esponenzalmente dvergent se Re(λ ) > 0 7
8 Stabltà nterna d sstem dnamc LTI TC (5/5) La perturbazone δx (t ) rmane lmtata nel tempo e tende a zero asntotcamente ( t ) se e soltanto se tutt mod propr sono convergent l sstema dnamco LTI è asntotcamente stable La perturbazone δx (t ) rmane lmtata nel tempo ma non tende a zero asntotcamente se e soltanto se nessun modo propro è dvergente ed almeno un modo propro è lmtato l sstema dnamco LTI è semplcemente stable La perturbazone δx (t ) non è lmtata nel tempo e anz dverge se e soltanto se almeno un modo propro è dvergente l sstema dnamco LTI è nstable S possono così formulare alcun crter d stabltà 8
9 Stabltà nterna d sstem dnamc LTI Crter d stabltà per sstem dnamc LTI TC
10 Crtero d asntotca stabltà per sstema LTI TC Dato un sstema dnamco LTI a tempo contnuo, condzone necessara e suffcente affnché rsult asntotcamente stable èche : e λ ( A) < 0 ( ) In tal caso la perturbazone sullo stato δx (t ), oltre a rmanere lmtata, tende a zero asntotcamente per qualsas perturbazone nzale δx (t 0 ) l sstema è globalmente asntotcamente stable Se l ngresso nomnale è costante e par ad u, esste 1 un unco stato d equlbro par a x = A Bu (nfatt n la matrce A è nvertble, poché det A = = 1λ 0) ed è globalmente asntotcamente stable 10
11 Crtero d nstabltà per sstema LTI TC Dato un sstema dnamco LTI a tempo contnuo, condzone (soltanto) suffcente affnché rsult nstable èche : e λ ( A) > 0 ( ) 11
12 Crtero d semplce stabltà per sstema LTI TC Dato un sstema dnamco LTI a tempo contnuo, condzone (soltanto) suffcente affnché rsult semplcemente stable èche : e λ ( A) 0 ( ) ( λ A ) k ( λ A ) k : e ( ) = 0 k: e ( ) = 0 μ = 1 k k 12
13 Caso crtco per lo studo della stabltà (1/3) Dato un sstema dnamco LTI a tempo contnuo tale che : e λ ( A) 0 ( ) ( λ A ) k : e ( ) = 0, μ > 1 k esso può rsultare semplcemente stable oppure nstable, a seconda che mod polnomalmente dvergent sano effettvamente present nella evoluzone temporale della perturbazone δx (t ) k 13
14 Caso crtco per lo studo della stabltà (2/3) Esempo #1: s consder l sstema dnamco LTI TC 0 0 avente matrce d stato A =, caratterzzato 0 0 dall autovalore λ = 0 con molteplctà μ = 2. La perturbazone sullo stato δx (t )èsoluzonedella equazone dfferenzale 0 δ x () t = 0 1 δx () t = δx (0) 1 1 δxt () = Aδxt () = 0 δx () t = 0 x () t x (0) 2 δ = δ 2 2 δx (t ) è costante e qund è lmtata ma non tende a zero asntotcamente l sstema rsulta semplcemente stable 14
15 Caso crtco per lo studo della stabltà (3/3) Esempo #2: s consder l sstema dnamco LTI TC 0 0 avente matrce d stato A =, caratterzzato 1 0 ancora dall autovalore λ = 0 con molteplctà μ = 2. La perturbazone sullo stato δx (t )èsoluzonedella equazone dfferenzale 0 0 δx () t 1 0 δxt () Aδxt () = = = 1 0 δx () t δx () t 2 1 δx () t = 0 x () t x (0) 1 δ = δ 1 1 δx () t δx () t = δx () t tδx (0) δx (0) 2 1 = δx (t ) dverge polnomalmente, se δx 1 (0) 0 l sstema rsulta nstable 15
16 Prospetto rassuntvo per sstem dnamc LTI TC Autovalor λ (A ) del sstema ( ) : e λ ( A) < 0 : e λ ( A) > 0 ( ) ( ) : e λ ( A) 0 k : e ( λ ( A) ) = 0 k k : e ( λ ( A) ) = 0 k μ = 1 k ( ) : e λ ( A) 0 k : e ( λ ( A) ) = 0, k μ > 1 k Mod propr del sstema Convergono tutt esponenzalmente Almeno uno dverge esponenzalmente Oltre a quell che convergono esponenzalmente, è presente almeno uno lmtato Oltre a quell che convergono, almeno uno dverge polnomalmente oppure è lmtato Propretà d stabltà del sstema Asntotca stabltà Instabltà Semplce stabltà Instabltà oppure Semplce stabltà 16
17 Stabltà nterna d sstem dnamc LTI Stabltà nterna d sstem dnamc LTI TD
18 Stabltà nterna d sstem dnamc LTI TD (1/5) Dato un sstema dnamco, a dmensone fnta, MIMO, a tempo dscreto, lneare e stazonaro (LTI), descrtto dall equazone d stato xk ( + 1) = Axk ( ) + Buk ( ), se ne consderno due dverse evoluzon temporal: Un movmento nomnale xk () ottenuto applcando un ngresso nomnale uk () al sstema posto n uno stato nzale nomnale xk ( = 0) = x 0 0 xk () soddsfa l seguente sstema d equazon xk ( + 1) = Axk ( ) + Buk ( ), xk ( = 0) = x 0 0 Un movmento perturbato xk () ottenuto applcando lo stesso ngresso nomnale uk () al sstema posto n uno stato nzale dfferente ( perturbato ) x x 0 0 xk () soddsfa l seguente sstema d equazon xk Axk Buk xk x ( + 1) = ( ) + ( ), ( = 0) =
19 Stabltà nterna d sstem dnamc LTI TD (2/5) La dfferenza fra due dvers movment costtusce la perturbazone sullo stato del sstema: n δxk ( ) = xk ( ) xk ( ) xk ( ) = xk ( ) + δxk ( ) L evoluzone temporale della perturbazone sullo stato δx (k ) è soluzone dell equazone alle dfferenze δxk ( + 1) = xk ( + 1) xk ( + 1) = = Ax() k + Bu () k [ Ax () k + Bu () k ] = = Ax() k Axk () = Axk ( () xk ()) = Aδxk () con condzone nzale δxk ( = 0) = xk ( = 0) xk ( = 0) = x x = δx
20 Stabltà nterna d sstem dnamc LTI TD (3/5) La soluzone δx (k ) dell equazone alle dfferenze δxk ( + 1) = Aδxk ( ), δxk ( = 0) = x x = δx èdata da δxk ( ) = A k δx, k 0 0 Nel caso d un sstema dnamco LTI TD, l evoluzone temporale della perturbazone sullo stato δx( k) non dpende qund dallo stato nzale nomnale x 0 o dall ngresso nomnale uk ( ), coè non dpende dal partcolare movmento nomnale xk ( ) consderato nel caso de sstem dnamc LTI TD, la propretà d stabltà rguarda l ntero sstema e non sngol movment, come avvene nvece nel caso de sstem dnamc non lnear 20
21 Stabltà nterna d sstem dnamc LTI TD (4/5) Come conseguenza de rsultat dell anals modale, l evoluzone temporale della perturbazone sullo stato δxk ( ) = A k δx, k 0 0 è combnazone lneare de mod propr del sstema, che n generale sono del tpo μ 1 k ( ( ) ) m () k k cosarg k, 1, μ = λ λ + ϕ μ μ L evoluzone temporale de mod propr dpende dagl autovalor λ della matrce d stato A. In partcolare, mod propr d un sstema dnamco LTI TD sono: Geometrcamente convergent se λ < 1 Lmtat se λ = 1 e μ = 1 Polnomalmente dvergent se λ = 1 e μ > 1 Geometrcamente dvergent se λ > 1 21
22 Stabltà nterna d sstem dnamc LTI TD (5/5) La perturbazone δx (k) rmane lmtata nel tempo e tende a zero asntotcamente ( k ) se e soltanto se tutt mod propr sono convergent l sstema dnamco LTI è asntotcamente stable La perturbazone δx (k) rmane lmtata nel tempo ma non tende a zero asntotcamente se e soltanto se nessun modo propro è dvergente ed almeno un modo propro è lmtato l sstema dnamco LTI è semplcemente stable La perturbazone δx (k)nonèlmtataneltempoe anz dverge se e soltanto se almeno un modo propro è dvergente l sstema dnamco LTI è nstable S possono così formulare alcun crter d stabltà 22
23 Stabltà nterna d sstem dnamc LTI Crter d stabltà per sstem dnamc LTI TD
24 Crtero d asntotca stabltà per sstema LTI TD Dato un sstema dnamco LTI a tempo dscreto, condzone necessara e suffcente affnché rsult asntotcamente stable èche : λ ( A) < 1 In tal caso la perturbazone sullo stato δx (k ), oltre a rmanere lmtata, tende a zero asntotcamente per qualsas perturbazone nzale δx (k 0 ) l sstema è globalmente asntotcamente stable Se l ngresso nomnale è costante e par ad u, esste 1 un unco stato d equlbro x = ( I A) Bu (nfatt la n matrce I A è nvertble: det( I A ) = = 1(1 λ ) 0) ed è globalmente asntotcamente stable 24
25 Crtero d nstabltà per sstema LTI TD Dato un sstema dnamco LTI a tempo dscreto, condzone (soltanto) suffcente affnché rsult nstable èche : λ ( A) > 1 25
26 Crtero d semplce stabltà per sstema LTI TD Dato un sstema dnamco LTI a tempo dscreto, condzone (soltanto) suffcente affnché rsult semplcemente stable èche : λ ( A) 1 k : λ ( A) = 1 k k: λ ( A) = 1 μ = 1 k k 26
27 Caso crtco per lo studo della stabltà (1/3) Dato un sstema dnamco LTI a tempo dscreto tale che : λ ( A) 1 k : λ ( A) = 1, μ > 1 k esso può rsultare semplcemente stable oppure nstable, a seconda che mod polnomalmente dvergent sano effettvamente present nella evoluzone temporale della perturbazone δx (k ) k 27
28 Caso crtco per lo studo della stabltà (2/3) Esempo #1: s consder l sstema dnamco LTI TD 1 0 avente matrce d stato A =, caratterzzato 0 1 dall autovalore λ = 1 con molteplctà μ = 2. La perturbazone sullo stato δx (k ) è soluzone della equazone alle dfferenze δx () k 1 δxk ( + 1) = Aδxk ( ) = δxk ( ) = δx () k 2 δx ( k + 1) = δx ( k) ( ) (0) 1 1 δx k = δx 1 1 δx ( k 1) δx ( k) + = x ( k) x (0) 2 2 δ = δ 2 2 δx (k ) è costante e qund è lmtata ma non tende a zero asntotcamente l sstema rsulta semplcemente stable 28
29 Caso crtco per lo studo della stabltà (3/3) Esempo #2: s consder l sstema dnamco LTI TD 1 0 avente matrce d stato A =, caratterzzato 1 1 ancora dall autovalore λ = 1 con molteplctà μ = 2. La perturbazone sullo stato δx (k ) è soluzone della equazone alle dfferenze 1 0 δx () k δx () k δxk ( 1) Aδxk ( ) = = = 1 1 δx () k δx () k δx () k δx ( k+ 1) = δx ( k) x ( k) x (0) 1 1 δ = δ 1 1 δx ( k 1) δx ( k) δx ( k) + = + δx ( k) kδx (0) δx (0) = δx (k ) dverge polnomalmente, se δx 1 (0) 0 l sstema rsulta nstable 29
30 Prospetto rassuntvo per sstem dnamc LTI TD Autovalor λ (A ) del sstema : λ ( A) < 1 : λ ( A) > 1 : λ ( A) 1 k : λ ( A) = 1 k k : λ ( A) = 1 k μ = 1 k : λ ( A) 1 k : λ ( A) = 1, k μ > 1 k Mod propr del sstema Convergono tutt geometrcamente Almeno uno dverge geometrcamente Oltre a quell che convergono geometrcamente, è presente almeno uno lmtato Oltre a quell che convergono, almeno uno dverge polnomalmente oppure è lmtato Propretà d stabltà del sstema Asntotca stabltà Instabltà Semplce stabltà Instabltà oppure Semplce stabltà 30
31 Stabltà nterna d sstem dnamc LTI Esemp d anals della stabltà nterna
32 Esempo #1 d anals della stabltà Dato l sstema dnamco LTI TC descrtto dal modello xt () = Axt () + But () y () t = Cx() t + Du() t analzzarne la propretà d stabltà nterna, sapendo che gl autovalor λ (A )dellamatrcedstatoa sono { λ ( A) } = { 2, 0.4, 0.2, 0.1} Per analzzare la stabltà nterna de sstem dnamc LTI a tempo contnuo, occorre consderare la parte reale degl autovalor { e ( λ ( A) ) } = { 2, 0.4, 0.2, 0.1} Tutt gl autovalor hanno Re(λ (A )) < 0 l sstema è globalmente asntotcamente stable 32
33 Esempo #2 d anals della stabltà Dato l sstema dnamco LTI TC descrtto dal modello xt () = Axt () + But () y () t = Cx() t + Du() t analzzarne la propretà d stabltà nterna, sapendo che gl autovalor λ (A )dellamatrcedstatoa sono { λ ( A) } = { 1, 0.5, 0, 0.5 } Per analzzare la stabltà nterna de sstem dnamc LTI a tempo contnuo, occorre consderare la parte reale degl autovalor { e ( λ ( A) ) } = { 1, 0.5,0,0.5} L autovalore λ 4 = 0.5 ha Re(λ 4 ) = 0.5 > 0 l sstema è nstable 33
34 Esempo #3 d anals della stabltà Dato l sstema dnamco LTI TC descrtto dal modello xt () = Axt () + But () y () t = Cx() t + Du() t analzzarne la propretà d stabltà nterna, sapendo che gl autovalor λ (A )dellamatrcedstatoa sono { λ ( A) } = { 0.5 ± 0.1 j, 0.4 ± 0.2j } Per analzzare la stabltà nterna de sstem dnamc LTI a tempo contnuo, occorre consderare la parte reale degl autovalor { e ( λ ( A) ) } = { 0.5, 0.5, 0.4, 0.4 } La coppa λ 3,4 =0.4±0.2j ha Re(λ 3,4 )=0.4>0 l sstema è nstable 34
35 Esempo #4 d anals della stabltà Dato l sstema dnamco LTI TC descrtto dal modello xt () = Axt () + But () y () t = Cx() t + Du() t analzzarne la propretà d stabltà nterna, sapendo che gl autovalor λ (A )dellamatrcedstatoa sono { λ ( A) } = { 10, 5, 0.1,0} Per analzzare la stabltà nterna de sstem dnamc LTI a tempo contnuo, occorre consderare la parte reale degl autovalor { e ( λ ( A) ) } = { 10, 5, 0.1, 0 } Tutt gl autovalor hanno Re(λ (A )) 0 ed un solo autovalore λ 4 =0 ha Re(λ 4 )=0 l sstema è semplcemente stable 35
36 Esempo #5 d anals della stabltà Dato l sstema dnamco LTI TC descrtto dal modello xt () = Axt () + But () y () t = Cx() t + Du() t analzzarne la propretà d stabltà nterna, sapendo che gl autovalor λ (A )dellamatrcedstatoa sono { λ ( A) } = { 1, ± j,0} Per analzzare la stabltà nterna de sstem dnamc LTI a tempo contnuo, occorre consderare la parte reale degl autovalor { e ( λ ( A) ) } = { 1,0,0,0} Tutt gl autovalor hanno Re(λ (A )) 0 e tutt quell con Re(λ k (A)) = 0 sono dstnt, coè hanno μ k =1 l sstema è semplcemente stable 36
37 Esempo #6 d anals della stabltà Dato l sstema dnamco LTI TD descrtto dal modello xk ( + 1) = Axk ( ) + Buk ( ) y ( k) = Cx( k) + Du( k) analzzarne la propretà d stabltà nterna, sapendo che gl autovalor λ (A )dellamatrcedstatoa sono { λ ( A) } = { 2, 0.4, 0.2, 0.1} Per analzzare la stabltà nterna de sstem dnamc LTI a tempo dscreto, occorre consderare l modulo degl autovalor { λ ( A) } = { 2, 0.4, 0.2, 0.1} L autovalore λ 1 = 2 ha λ 1 = 2 > 1 l sstema è nstable 37
38 Esempo #7 d anals della stabltà Dato l sstema dnamco LTI TD descrtto dal modello xk ( + 1) = Axk ( ) + Buk ( ) y ( k) = Cx( k) + Du( k) analzzarne la propretà d stabltà nterna, sapendo che gl autovalor λ (A )dellamatrcedstatoa sono { λ ( A) } = { 1, 0.5, 0, 0.5 } Per analzzare la stabltà nterna de sstem dnamc LTI a tempo dscreto, occorre consderare l modulo degl autovalor { λ ( A) } = { 1, 0.5, 0, 0.5 } Tutt gl autovalor hanno λ (A ) 1 ed un solo autovalore λ 1 = 1 ha λ 1 =1 l sstema è semplcemente stable 38
39 Esempo #8 d anals della stabltà Dato l sstema dnamco LTI TD descrtto dal modello xk ( + 1) = Axk ( ) + Buk ( ) y ( k) = Cx( k) + Du( k) analzzarne la propretà d stabltà nterna, sapendo che gl autovalor λ (A )dellamatrcedstatoa sono { λ ( A) } = { 0.5 ± 0.1 j, 0.4 ± 0.2j } Per analzzare la stabltà nterna de sstem dnamc LTI a tempo dscreto, occorre consderare l modulo degl autovalor λ ( A) = =,, =, Tutt gl autovalor hanno λ (A ) < 1 l sstema è globalmente asntotcamente stable { } { }
40 Esempo #9 d anals della stabltà Dato l sstema dnamco LTI TD descrtto dal modello xk ( + 1) = Axk ( ) + Buk ( ) y ( k) = Cx( k) + Du( k) analzzarne la propretà d stabltà nterna, sapendo che gl autovalor λ (A )dellamatrcedstatoa sono { λ ( A) } = { 10, 5, 0.1,0} Per analzzare la stabltà nterna de sstem dnamc LTI a tempo dscreto, occorre consderare l modulo degl autovalor { λ ( A) } = { 10,5,0.1,0} Gl autovalor λ 1 = 10 e λ 2 = 5 hanno λ 1 =10>1 e λ 2 =5>1 l sstema è nstable 40
41 Esempo #10 d anals della stabltà Dato l sstema dnamco LTI TD descrtto dal modello xk ( + 1) = Axk ( ) + Buk ( ) y ( k) = Cx( k) + Du( k) analzzarne la propretà d stabltà nterna, sapendo che gl autovalor λ (A )dellamatrcedstatoa sono { λ ( A) } = { 1, ± j,0} Per analzzare la stabltà nterna de sstem dnamc LTI a tempo dscreto, occorre consderare l modulo degl autovalor { λ ( A) } = { 1, 1, 1, 0 } Tutt gl autovalor hanno λ (A ) 1 e tutt quell con λ k (A ) = 1 sono dstnt, coè hanno μ k =1 l sstema è semplcemente stable 41
42 Esempo #11 d anals della stabltà (1/2) Dato l sstema dnamco LTI TC con matrce d stato A = analzzarne la propretà d stabltà nterna Per analzzare la stabltà nterna de sstem dnamc LTI a tempo contnuo, occorre consderare la parte reale degl autovalor In questo caso, la matrce A è dagonale a blocch gl autovalor λ (A ) sono gl autovalor de blocch quadrat post sulla dagonale prncpale d A 42
43 Esempo #11 d anals della stabltà (2/2) A A = λ ( A) = λ ( A ) 0.2, 0.3 { } { } { } 1 λ 1 pc..( A ) = det( λi A ) = = λ + 4λ+ 4 = ( λ+ 2) λ+ 4 λ ( A) = 2, 2, 0.2, 0.3 { } { } ( ) { } { } 2 2 e λ ( A) = 2, 2, 0.2, 0.3 Tutt gl autovalor hanno Re(λ (A )) < 0 l sstema è globalmente asntotcamente stable 43
44 Esempo #12 d anals della stabltà (1/2) Dato l sstema dnamco LTI TD con matrce d stato A = analzzarne la propretà d stabltà nterna Per analzzare la stabltà nterna de sstem dnamc LTI a tempo dscreto, occorre consderare l modulo degl autovalor In questo caso, la matrce A è dagonale a blocch gl autovalor λ (A ) sono gl autovalor de blocch quadrat post sulla dagonale prncpale d A 44
45 Esempo #12 d anals della stabltà (2/2) A A = λ ( A) = λ ( A ) 0.2, 0.3 { } { } { } λ 1 pc..( A ) = det( λi A ) = = λ + 4λ+ 4 = ( λ+ 2) λ+ 4 λ ( A) = 2, 2, 0.2, 0.3 { λ ( ) } = { 2, 2, 0.2, 0.3 } A 1 { } { } 2 2 Gl autovalor λ 1 = λ 2 = 2 hanno λ 1 = λ 2 =2>1 l sstema è nstable 45
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