Sistemi e Funzione di Trasferimento

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1 Sste e FdT - Corso d Laurea n Ingegnera Meccanca Sste e Funzone d Trasferento DEIS-Unverstà d Bologna Tel Eal: cross@des.unbo.t URL: www-lar.des.unbo.t/~cross

2 Sste e FdT - 2 Sste orentat Modell ateatc de sste ngress (cause) e uscte (effett): scheatzzazone non sepre facle e non unvoca, dpende dal problea perché l nterpretazone causa-effetto abba senso l uscta non deve dpendere da valor futur dell ngresso: sste causal l uscta può però dpendere da valor passat dell ngresso regolazone della teperatura dell acqua n una docca! Sste statc: l uscta al tepo t dpende solaente dal valore dell ngresso al tepo t resstenza elettrca Sste dnac: l uscta al tepo t dpende anche da valor passat dell ngresso sstea assa olla lega tra segnal e non tra sngol valor Per descrvere l sstea s utlzza un odello ateatco, coè un nsee d relazon ateatche che legano segnal d uscta a quell d ngresso

3 Sste e FdT - 3 Modell ateatc de sste Un odello ateatco perette n lnea d prncpo d calcolare l uscta per ogn possble segnale d ngresso l nuero d possbl segnal è nfnto s vuole caratterzzare l sstea senza dover analzzare tutte le possbl rsposte studo della struttura del odello ateatco C ltereo a odell dat da equazon dfferenzal ordnare lnear e stazonare ordnare: non copaono dervate parzal, l unca varable ndpendente de segnal è l tepo S: sste eccanc rgd, sste elettrc a paraetr concentrat, ecc.. No: descrzone delle onde, odell propagator, ecc Noralente n questo caso s resce a dare una descrzone de fenoen prncpal utlzzando un odello approssato a valor ed lnear: potes forte, cerchereo d gustfcarla tra poco S: sstea assa olla No: pendolo

4 Sste e FdT - 4 Modell ateatc de sste stazonare: coeffcent dell equazone lneare sono costant e non dpendent dal tepo potes ragonevole n oltss cas, specalente se l ntervallo teporale non è olto lungo detto u(t) l ngresso e y(t) l uscta, l odello generale è n n n 2 d y() t d y() t d y() t d y() t + an a n 2 a 2 a y() t n + n = n dt dt dt dt 2 d ut () d ut () d ut () dut () b b b b b u() t dt dt dt dt L enfas è sulle propretà del odello, non sulle soluzon partcolar ordne dell equazone: n,, dfferenza n- valor de coeffcent a e b se l sstea e causale, s ha sepre n>

5 Sste e FdT - 5 Lneartà e prncpo d sovrapposzone degl effett L potes d lneartà perette seplfcazon notevol evoluzone lbera ed evoluzone forzata n () ( j) = j = j= a y () t b u () t () y y n () = =,, ( j) u uj j () = =,, problea nzale n () ( j) f = j = j= () f a y () t b u () t y () = =,, n ( j) u uj j () = =,, evoluzone forzata n = () l a y () l () t = y () = y =,, n evoluzone lbera yt () = y() t + y () t l soluzone copleta f

6 Sste e FdT - 6 Lneartà e prncpo d sovrapposzone degl effett lneartà applcata all evoluzone forzata ( α β 2 ) n () ( j ) ( j ) = j + = j= a y () t b u () t u () t u () = u u () = u ( j) ( j) j 2 2 j rsposta a cobnazone lneare d due ngress n () ( j) = j = j= u a y () t b u () t () = u ( j) j n () ( j) 2 = j 2 = j= u a y () t b u () t () = u ( j) 2 2 j yt () = α y() t + β y() t cobnazone lneare delle rsposte 2

7 Sste e FdT - 7 Soluzon d equlbro Data una equazone dfferenzale ordnara, anche non lneare, ed un segnale d ngresso costante, una soluzone costante s dce soluzone d equlbro segnale d uscta costante, se condzone nzale dell uscta par alla costante e condzon nzal su tutte le dervate dell uscta nulle le soluzon d equlbro possono non esstere, nel caso esstano possono non essere unche calcolo seplce n lnea d prncpo: s pongono tutte le dervate nulle nell equazone dfferenzale e s rsolve l equazone algebrca rsultante può essere coplesso per sste non lnear banale per sste lnear Una soluzone d equlbro s dce solata se non ne esstono altre arbtraraente vcne per sste lnear con ngresso nullo, la soluzone y(t)= è sepre d equlbro e può essere l unca soluzone solata se l orgne è soluzone solata del sstea con ngresso nullo, allora con ngresso dverso da zero esste una sola soluzone d equlbro

8 Sste e FdT - 8 Soluzon d equlbro per sste non lnear Data una equazone dfferenzale ed una soluzone d equlbro ( n) ( n ) ( ) ( ) ( ) f y, y,, y, y, u, u,, u, u = u( t) = u ( ) yt ( ) = y f,,,, y,,,,, u = e e e per pccol spostaent rspetto a questa soluzone nonale, la soluzone è approssable con la soluzone d un equazone lneare ut () = ue + δut () y() = ye + δ y y( t) ye + δ y( t) δut () yt () ye < ε n () ( j) δ = jδ = j= a y () t b u () t δu () = δu δ y () = δ y ( j) ( ) j j sepre vero per tep pccol, a nteressante quando s rane sepre nell ntorno della soluzone d equlbro e

9 Sste e FdT - 9 Lnearzzazone Il processo che porta ad approssare la soluzone nell ntorno dell equlbro con la soluzone d un equazone lneare s chaa lnearzzazone Lo studo de sste lnear dvene portante per studare anche l evoluzone de sste non lnear nell ntorno d soluzon d equlbro sulla base della lnearzzazone s può concludere anche se la soluzone non lneare s anterrà nell ntorno valdo per l approssazone allo scorrere del tepo suffcente che la soluzone lneare non tenda all nfnto, a ranga ltata la propretà precedente non dpende dall apezza dell ngresso l ranere suffcenteente pccola dpende nvece dall apezza dell ngresso per la propretà d lneartà, oltre che da quanto è lontana la condzone nzale da quella d equlbro non è necessaro rsolvere l equazone non lneare portante perché non s conoscono etod d soluzone generale per equazon non lnear

10 Esepo: lnearzzazone pendolo nverso ( ) + ( ) + sn ( ) = ( ) 2 Mlθ t hlθ t Mgl θ t C t h g θ θ θ θ θ Ml l Ml Sste e FdT - () t = () t sn () t + C 2 () t = f (,, C) Punto d equlbro ( ) = () t () t C t C θ = θ = θ Mglsnθ = C ( t) = + () t C () t = C+ C() t θ θ δθ δ Sstea lnearzzato f f f δθ = δθ + δθ + δc θ θ= θ= C θ θ θ θ = = θ= θ θ= θ C = C C = C C = C h g δθ = δθ cos( θ ) δθ + δ C 2 Ml l Ml

11 Sste e FdT - Sste lnear Nel corso c s lta allo studo de sste lnear stazonar Tutto quello detto n precedenza vale anche se segnal d ngresso e d uscta hanno densone aggore d uno: s parla d sste MIMO (Multplo Input Multple Output) T T q p ut () = u() t u() t yt () = y() t y () t C ltereo allo studo d sste SISO (Sngle Input Sngle Output) n cu segnal hanno densone untara n realtà avreo sste con pù ngress, a sngolarente la varable anpolable, dsturb n ngresso ed n uscta ed l ruore d sura saranno onodensonal consderereo pù propraente sste costtut da nterconessone d sste eleentar SISO, ed n cu gl ngress a sngol sottosste saranno soa d segnal onodensonal processo, controllore, sensore s rcha lo schea n retroazone della ntroduzone

12 Sste e FdT - 2 Funzone d trasferento Sstea con odello ateatco descrtto da ODE lneare stazonara utlzzo della trasforata d Laplace per lo studo gà vsto per l calcolo della soluzone ad ngresso fssato enfas sulla struttura delle soluzon Condzon nzal nulle applcando la trasforata ad entrab ebr s ottene n () ( j) j a y () t = bj u () t bj s = j= j= Y s = n n j asys () = bsus j () as = j= = () U() s H() s j bj s j= n n n s + an s + + as+ a as = b s b s b s b Ns () = = = Ds () Funzone d trasferento FdT

13 Sste e FdT - 3 Funzone d traferento Descrve l uscta forzata d un sstea Zer e pol della FdT s dcono rspettvaente zer e pol del sstea j bj s j= j= n n = = ( s zj ) H() s = = b n as s p ( ) l terne costante è detta costante d trasferento nsee alla conoscenza d pol e zer descrve copletaente la FdT obettvo: studare le caratterstche del sstea al varare del nuero e della poszone de pol e zer e della costante d trasferento pol defnscono la struttura delle rsposte eleentar del sstea, gl zer coe esse contrbuscono alla costruzone della soluzone coplessva, la costante d trasferento quanto essa vene aplfcata

14 Sste e FdT - 4 Struttura della rsposta forzata Se la trasforata del segnale d ngresso è una funzone razonale fratta, anche la trasforata dell uscta lo è ( j) j= j= n n ( ) = = u ( j) s z s zu Y() s = H() s U() s = b u u u s p s pu ( ) Caso generale: pol seplc nella Y(s) e non c sono cancellazon tra pol e zer del sstea e dell ngresso l uscta presenta part dpendent solo da pol del sstea e part dpendent solo dall ngresso n nu k ku Y() s = H() s U() s = bu u + bu u s p s pu = = n nu pt yt () = bu u ke + kue = = od del sstea put od dell ngresso (forzant)

15 Sste e FdT - 5 Struttura della rsposta forzata Nella rsposta forzata sono present sa od del sstea, sa quell dell ngresso se od del sstea tendono a zero, ess nfluscono solaente sul transtoro della rsposta dopo un tepo suffcente, sono present solaente od dell ngresso: rsposta n rege peranente od dell ngresso sono oltplcat per delle costant ( resdu) che stablscono quanto ess sono sngolarente attenuat o aplfcat: resdu dpendono dagl zer del sstea e della trasforata del segnale d ngresso l sstea s dce stable: vero se tutt pol del sstea hanno parte reale negatva p t () t = k e odo corrspondente ad un polo reale σ () t = 2M e t cos( ω t+ ϕ ) odo reale corrspondente ad una coppa d pol coplessa conugata se od del sstea dvergono, la rsposta forzata del sstea dvergerà ndpendenteente da quale ngresso sollecta l sstea n questo caso l sstea s dce nstable

16 Sste e FdT - 6 Struttura della rsposta forzata Caso partcolare: un odo dell ngresso concde con un odo del sstea (rsonanza) nello svluppo n fratt seplc della rsposta forzata copaono pol ultpl la rsposta dverge anche quando la parte reale del polo è nulla sstea nstable, nel senso che n presenza d un ngresso ltato la rsposta può dvergere, anche se la parte reale de pol è nulla Caso partcolare: uno zero del sstea concde con un odo dell ngresso l odo non è pù presente sull uscta: propretà bloccante degl zer n caso d sstea stable, la rsposta a rege peranente può essere nulla la rsposta n transtoro è counque dversa da zero, od del sstea vengono ecctat e po decadono naturalente a zero se l sstea è nstable, l uscta dverge poché od nstabl sono ecctat anche se l eventuale odo dvergente dell ngresso è bloccato da uno zero del sstea

17 Sste e FdT - 7 Struttura della rsposta forzata Caso partcolare: uno zero dell ngresso concde con un polo del sstea l odo nstable del sstea non è pù presente sull uscta forzata vero n lnea d prncpo, a n realtà esste sepre una coponente d errore che anche se pccolssa porta l uscta a dvergere vedreo n seguto anche altre otvazon: non è possble evtare che l uscta dverga n presenza d un odo nstable cancellando l odo stesso con uno zero dell ngresso Caso pol ultpl nel sstea valgono le stesse consderazon, solaente che ora n presenza d pol ultpl con parte reale nulla l uscta dverge ateatcaente dentco al caso della rsonanza non è necessaro ecctare l odo del sstea con un odo analogo dell ngresso

18 Sste e FdT - 8 Introduzone della rsposta lbera La trasforata della rsposta lbera ha esattaente la stessa struttura della rsposta forzata n = Y () s Y () s a y () t = Y() s = L ( s) = = Ds () () n as = Y (s) è un polnoo d ordne n- cu coeffcent dpendono dalle condzon nzal I pol della rsposta lbera sono esattaente, con la stessa olteplctà, pol del sstea la rsposta lbera è data da una cobnazone lneare de od del sstea se od sono stabl, la rsposta lbera tende a zero e l effetto delle condzon nzal non nulle s esaurscono nel transtoro se od sono nstabl, l uscta dverge counque, ndpendente dall ngresso pra ragone per cu la cancellazone del odo nstable con uno zero dell ngresso non è fattble

19 FdT e caratterstche della rsposta Struttura coplessva della rsposta Ns () Y () s Y() s = H() s U() s + L () s = U() s + Ds () Ds () Sste e FdT - 9 Caratterstche d stabltà del sstea Tutt pol del sstea a parte reale negatva rsposta ltata ad un ngresso ltato dopo l esaurento del transtoro rsposta a rege peranente ngresso costante -> uscta costante ngresso snusodale -> uscta snusodale alla stessa frequenza (a dversa apezza e fase) Presenza d pol seplc con parte reale nulla possble rsonanza: esstono ngress ltat che portano ad uscte dvergent Pol ultpl a parte reale nulla o pol a parte reale postva l uscta del sstea dverge ndpendenteente dall ngresso

20 Sste e FdT - 2 Fora con pol e zer H() s = Fore standard della FdT ρ ρ costante d trasferento, g tpo del sstea α n,k, ω n,k pulsazon natural ζ k, δ k coeffcent d sorzaento H() s = µ costante d guadagno T, t costant d tepo 2 2 ( s z) ( s + 2ζkαn, k s+ α k n, k) 2 2 ( ) ( + 2δ k kωn, k + ωn, k) g s s p s s µ s g 2 ζ k s + Ts 2 k + s+ 2 T = αnk, αnk, z 2 δ k s + 2 s t 2 k + + = ω p nk, ωnk, ( ) ( ts)

21 Sste e FdT - 2 Sche a blocch Spesso l odello coplessvo s può dervare coe nterconnessone d sste (FdT) eleentar Dvene portante defnre coe rcavare la FdT coplessva della conoscenza delle sngole FdT Esepo: Altoparlante d L + R = u e dt f = k e= kv Mv + hv= f f x = v f = k x e e e f e k e u Ls+ R k f M s+ h v s x e k

22 Sste e FdT - 22 Algebra degl sche a blocch Sere F () s F () s 2 F() sf2() s Parallelo F () s + F () s + F () s 2 F () s 2

23 Sste e FdT - 23 Algebra degl sche a blocch Retroazone negatva + F () s F() s + F ( sf ) ( s) 2 F () s 2 Retroazone postva + + F () s F() s F ( sf ) ( s) 2 F () s 2

24 Sste e FdT - 24 Algebra degl sche a blocch Spostaento nodo soa u 2 u 2 F () s u + F () s u F () s + u 2 u 2 F () s F () s + u + F () s u

25 Sste e FdT - 25 Algebra degl sche a blocch Spostaento nodo draazone u 2 u 2 F () s u F () s u F () s u 2 u 2 F () s F () s u F () s u

26 Sste e FdT - 26 Esepo: altoparlante f e k e u Ls+ R k f M s+ h v s x e k f e k e s u Ls+ R k f M s+ h v e k

27 Sste e FdT - 27 Esepo: altoparlante u f s k Ls+ R s ( Ms+ h) + ke v e k u k f s Ls R s Ms+ h + k + ( ) e v e k

28 Sste e FdT - 28 Esepo: altoparlante u ks ( e ) ( ) ( ) Ls+ R s M s+ h + k v e k u ks 2 ( e ) ( ) ( ) Ls+ R s M s+ h + k + k s v