DINAMICA DEI SISTEMI DI PUNTI MATERIALI. Dott.ssa Silvia Rainò

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1 DIAMICA DI SISTMI DI PUTI MATRIALI Dott.ssa Slva Ranò

2 Sste d punt ateral Sstea costtuto da punt ateral P, P,, P F rsultante delle forze esterne agent su P F j forza eserctata sul generco punto P del sstea da P j : forza nterna al sstea P F F P F F j = F j forza eserctata su P j da P F F F F P F F

3 Sste d punt ateral sepo: Sstea d punt ateral, P, P, P P F F P F Sul corpo P agscono: forza esterna: F forze nterne: F + F = F I F F F F P F F La rsultante d TUTT le forze che agscono sul corpo è: F TOT = F + F I = F + F + F

4 4 La rsultante delle forze nterne agent sul generco corpo P dovute all nterazone con gl altr punt (j) è data da: I F F j,j La rsultante d tutte le forze (nterne ed esterne) agent su P è: j F = F + F I La legge d ewton applcata al oto d P dvene: F = F + F I = a =,

5 Soando le equazon, ovvero soando tutte le forze che agscono su tutt gl corp del sstea s ha I a F F rsultante d tutte le forze nterne agent sul sstea F R rsultante d tutte le forze esterne agent sul sstea I I F R

6 Per l prncpo della dnaca, le forze nterne al sstea sono a due a due ugual ed opposte ell esepo del sstea d = punt ateral: F F F F F F Dunque la soa d tutte le forze nterne agent sul sstea è: F I F I F I F I F I Fj F j F P F F F F F P F F F F F F 0 F F P F

7 In generale, per un sstea d punt ateral, rcordando che : a F R 0 I I F R j F j F Sull ntero sstea d punt ateral agsce solo la rsultante delle forze esterne R.

8 Quanttà d oto 8 Defnao quanttà d oto d un punto aterale d assa, la grandezza vettorale: p v La quanttà d oto totale d un sstea d punt ateral è, d conseguenza: P p v

9 Conservazone della quanttà d oto 9 t t t P v v a F R Se la rsultante delle forze esterne è nulla la quanttà d oto del sstea s conserva Dall espressone della rsultante delle forze esterne per un sstea d punt ateral, s ha: t P R 0 R 0 t P P cost

10 Centro d assa Consderao un sstea costtuto da punt ateral P, P,..,P P P O orgne r r O S defnsce CTRO DI MASSA d un sstea d punt ateral l punto geoetrco la cu poszone è ndvduata dal vettore poszone r P r r r r r

11 Coordnate del centro d assa X Dalla poszone del centro d assa: S deducono le coordnate del centro d assa n un sstea d ass cartesan: r Z j z k z O r P Y z r M TOT M TOT z r M TOT M TOT z r

12 sepo Deternare l centro d assa d due corp d uguale assa post a dstanza l. Il sstea è forato da = punt ateral. Scelgo un opportuno sstea d rferento cartesano e calcolo le coordnate de corp e del. P = = P (0,0) P(l,0) =l/ P =l = = M TOT M 0 l 0 0 l 0 Il centro d assa s trova sulla congungente de due punt e nel caso asse ugual nel punto edo

13 Il è pù vcno al punto aterale d assa aggore: n questo caso concde quas con l sole sepo Calcolao la poszone del d un sstea d = corp d assa dversa, ad esepo l centro d assa del sstea terra-sole S T (d TS,0) S (0,0) S S S T T T T Dstanza Terra-Sole: d TS =.50 Massa del Sole: S =0 0 kg Massa della Terra: T =60 4 kg Kg K Kg 60 Kg 0

14 sepo 4 Calcolao la poszone del d un sstea d =4 corp d uguale assa, post a vertc d un quadrato d lato l. P P P P 4 l l = = = 4 P (0,0) P (l,0) P (l,l) P4 (0,l) 4 4 l l 0 0 = l l l l 0 = l l Coe nel pro esepo, le asse sono ugual e l s trova nel centro del sstea

15 sepo 4 5 Tre asse ugual sono a vertc d un trangolo equlatero d lato L. Deternare la poszone del centro d assa L L L Lsen L L, ), cos ( ), ( ), ( L L L L Lcos60 L 0 6 L L Lsen60 0 0

16 6 Un etodo alternatvo è quello d deternare pra l centro d assa delle partcelle e = + + Þ se = = + = L Calcolao ora la poszone del della partcella e d una partcella d assa posta nella poszone del delle partcelle e. Il centro d assa s troverà sulla congungente le due partcelle: = L 0 L L L 6

17 7 Il centro d assa rveste un ruolo crucale nella dnaca de sste d punt Indpendenteente dal oto de sngol punt del sstea, l centro d assa rappresenta la poszone d un punto geoetrco che s uove coe se n esso fosse concentrata tutta la assa del sstea e fosse applcata la rsultante delle forze agent sull ntero sstea Il oto coplessvo d un sstea d oggett può essere consderato coe la soa del oto d traslazone del centro d assa e del oto d rotazone, vbrazone o d altro tpo attorno al centro d assa

18 Veloctà del centro d assa 8 Se gl punt sono n ovento rspetto al sstea d rferento dato, noralente la poszone del centro d assa varerà, e s dostra che v v v =veloctà del centro d assa dell ntero sstea: d assa M TOT, nella poszone r S defnsce, noltre: P M v TOT P = quanttà d oto totale del sstea che concde con la quanttà d oto M TOT v del centro d assa, consderato coe se fosse un unco punto aterale.

19 Accelerazone del 9 Defnao nfne: a a a = accelerazone del centro d assa dell ntero sstea, consderato coe un unco punto aterale: d assa M TOT, nella poszone r che s uove con veloctà v

20 Teorea del oto del centro d assa 0 Rcordando che R è la rsultante delle forze esterne agent sul sstea vale, la seguente relazone (senza dostrazone) R M a TOT Il centro d assa s uove coe se fosse un punto aterale n cu sa concentrata tutta la assa del sstea e a cu sa applcata la rsultante delle forze esterne R Oss: L azone delle forze nterne O può odfcare lo stato d oto del centro d assa

21 Conservazone della quanttà d oto Un sstea non soggetto a forze esterne o n cu la rsultante delle forze esterne è nulla s dce SISTMA ISOLATO. In un sstea solato s ha: R 0 a 0 v cost P cost COSRVAZIO DLLA QUATITA DI MOTO Il centro d assa d un sstea solato s uove d oto rettlneo unfore (v =cost) e la quanttà d oto totale del sstea s conserva (P=cost)

22 Cenn sugl urt Urto = collsone che avvene tra due o pù punt ateral nello spazo, caratterzzato dalla presenza d forze nterne olto ntense e d breve durata (forze pulsve), tanto da poter consderare le forze esterne trascurabl Sano ed due punt ateral nteragent nell urto e: F = forza agente su dovuta all nterazone con F = forza agente su dovuta all nterazone con F e F sono forze pulsve (olto ntense e d breve durata)

23 Cenn sugl urt Le forze pulsve che s svluppano n un urto sono MOLTO PIU ITS rspetto alle forze esterne. Le forze esterne posso essere consderate pratcaente trascurabl nell ntervallo d tepo n cu avvene l urto. Percò: R 0 P cost In un urto la quanttà d oto del sstea costtuto da due o pù punt che nteragscono s conserva ell ntervallo t F ST è trascurable rspetto alla forza pulsva F(t)

24 sepo 4 Una pstola d assa P = 5Kg spara un colpo. La assa del proettle è c =00g. Sapendo che la veloctà del colpo all uscta della pstola vale v P_fn = 500 /s n drezone parallela al suolo, s detern la veloctà d rnculo della pstola Dat nzal: P = 5kg c = 00g All stante t=0: v p_n =0, v c_n =0 Dopo lo sparo: v c_fn =500/s, v c_fn =0, v p_fn =?

25 Soluzone 5 UA DLL FORZ I GIOCO I QUSTO PROBLMA (SPLOSIO) DI ATURA IMPULSIVA (FORZA MOLTO ITSA CH AGISC I U ARCO DI TMPO PICCOLO) F LL ISTAT I CUI AVVI L ITRAZIO L FORZ STR, AD SMPIO LA FORZA PSO, SMPR PRST, POSSOO SSR TRASCURAT Fg t

26 6 V P V C I QUSTO CASO AGISCOO SOLO FORZ ITR (AZIO RAZIO) MTR QULL STR SOO TRASCURABILI R = P/ t= 0 P =0 P n = P fn POSSO APPLICAR IL PRICIPIO DI COSRVAZIO DLLA QUATITA DI MOTO

27 7 VP VC La quanttà d oto P è un vettore che scopongo nelle sue coponent lungo gl ass,: P P _ n _ n P P _ fn _ fn p p p_ n p_ n p p c _ n c _ n p p p_ p_ fn fn p p c _ c _ fn fn

28 8 P P v v VP 0 0 p_ n p_ n v c v c c _ n c _ n VC P P v v p_ p_ fn fn v c v c c _ Dalle condzon nzal: v p_n =0, v c_n =0 Dopo lo sparo: v c_fn =500/s, v c_fn =0, c _ fn fn

29 9 VP VC fn p P fn c c fn p P v v v _ fn p fn c P c fn p v s s g g s Kg g v v _