Momenti d inerzia. 1 Momenti d inerzia di superfici

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1 Moent d nerza La dnaca de ot d rotazone è analoga, nelle legg e ne prncìp fondaental, alla dnaca de ot d traslazone. In tutte le forule relatve a ot rotator la assa è però sosttuta da una nuova grandezza (l oento d nerza d assa), alla cu defnzone e calcolo dedcereo un reve captolo pra d affrontare lo studo partcolareggato de ot rotator. Dedcereo la pra parte d questo captolo allo studo de oent d nerza d superfc pane, per passare, successvaente, a oent d nerza d assa e al loro calcolo, per sold geoetrc ce pù frequenteente anno relazone con ot d rotazone. Lo studo de oent d nerza d superfc non serve solo coe ezzo per l calcolo de oent d assa, ce saree edato se eseguto con procedent d ntegrazone non ancora conoscut dallo studente. Servrà ance, e avrà grande portanza, nella parte dedcata alla resstenza de ateral, parte ce verrà approfondta nel secondo volue. In ulta anals, qund, l portanza de oent d nerza d superfce è duplce: consentono l calcolo de oent d nerza d assa senza rcorrere a procedent d ntegrazone; costtuscono la ase per l densonaento d strutture statce e d organ eccanc, coè d tutta la teora su cu è postata la resstenza de ateral. Moent d nerza d superfc Le Nore UNI CEI IS 8-: 6 consglao d utlzzare l solo I per l oento d nerza d superfce, e l solo J per l oento d nerza d assa. Sa data una superfce pana generca d area A (FIGURA.) e supponao coe aao fatto nel caso de oent statc ce essa sa coposta da un nuero grandsso d pccolsse aree eleentar ce ndcereo con a ; sa data noltre una retta r coplanare con la superfce ctata, counque orentata. P S defnsce oento d nerza della superfce, rspetto alla retta r assegnata, la soatora de prodott delle sngole aree eleentar a per quadrat delle rspettve dstanze y dalla retta consderata. Indcando questa nuova grandezza con l solo I, questa defnzone s espre n fora analtca con la relazone: I = a y (.) A dfferenza del oento statco, ce può assuere valor postv, negatv o null, l oento d nerza è una grandezza essenzalente postva; le vare dstanze y, nfatt, possono assuere l segno postvo o quello negatvo, a seconda ce le rspettve aree s trovno da una parte o dall altra rspetto alla retta data (FIGURA.), a loro quadrat rsulteranno counque postv. Se s esclude l procedento d calcolo ntegrale, ce presuppone conoscenze ateatce non ancora note, l calcolo d un oento d nerza con la (.) è possle. 8 A Meccanca

2 Ne pross paragraf llustrereo etod pù eleentar (ance se approssat) per trasforare la defnzone generca n una sere d forule d dretta applcazone, ltataente alle fgure geoetrce pù coun. A a a a. Teorea d trasposzone o d Huygens Sa data una superfce generca (FIGURA.) d cu sa nota la poszone del arcentro G e s sa gà calcolato n precedenza l oento d nerza I rspetto a una retta passante per l arcentro. S rcerc ora l oento d nerza della stessa superfce rspetto a una seconda retta parallela a e dstante d da essa. y y r y r. Moento d nerza assale d una superfce. P S può dostrare ce l oento d nerza rspetto alla seconda retta sottene soando al oento d nerza arcentrco, I, l prodotto dell area A della superfce per l quadrato della dstanza d esstente fra le due rette (teorea d Huygens o teorea d trasposzone): I = I + A d (.) r a y y a a y. Il oento d nerza è una grandezza sepre postva. DIMSTRAZINE DEL TEREMA DI HUYGENS La dostrazone del teorea è edata. Con le notazon della FIGURA. la dstanza d ogn sngola area eleentare a, dalla seconda retta, è y = y ± d, se con y s ndcano le dstanze rferte alla retta arcentrca. Quadrando s ottene: y = ( y± d). Il oento d nerza della superfce rspetto alla retta vale: I = a y = a ( y ± d) ossa, svluppando l quadrato del noo: I = a y + a d ± d a y (.) I tern al secondo ero valgono rspettvaente: a y = I arcentrca); (oento d nerza rspetto alla retta a d = d a = d A se con A s ndca l area della superfce, par alla soa d tutte le nfnte aree eleentar; d a y = d a y = d S n cu S rappresenta l oento statco della superfce rspetto alla retta arcentrca ce, per sua defnzone, è nullo. Rsulta percò: d a y = e la (.) s rduce alla fora: I = I + A d coe s doveva dostrare. y9 y a a y y a G. Trasposzone de oent d nerza assal. y9 y9 d. Raggo d nerza I oent d nerza non godono delle propretà d cu godono oent statc. In pro luogo, le aree eleentar non possono essere asslate a fgure pane d denson fnte; n secondo luogo, non è valda l applcazone del teorea d Vargnon, ce per oent statc era d uso coune. Moent d nerza 8

3 P S può postare però una relazone analoga al teorea suddetto, scrvendo: I = A ρ (.) tenendo conto, ennteso, ce l solo ρ non rappresenta la dstanza effettva esstente fra l arcentro della superfce G e la retta, ensì la dstanza (fttza) dalla retta fno a un punto n cu s dovree concentrare tutta l area A della superfce per ottenere lo stesso valore del oento d nerza. L espressone (.) non è un seplce artfco ateatco, a serve a defnre una nuova grandezza (ρ ) detta raggo d nerza, l cu uso è d notevole portanza nel calcolo d alcune strutture. Dalla (.) s rcava ρ = I / A e nfne: I ρ = (.5) A espressone analtca del raggo d nerza della superfce d area A rspetto alla retta a essa coplanare.. Moento centrfugo d una superfce P S defnsce oento centrfugo (o prodotto d nerza) d una superfce, rspetto a due rette qualsas e y, la soa de prodott delle sngole aree eleentar a per le rspettve dstanze delle due rette consderate; n fora analtca (FIGURA.): Iy = a y (.6) Il oento centrfugo a le denson d un oento d nerza (lungezza alla quarta) e può assuere, coe l oento statco, valor postv, negatv o null, n relazone al fatto ce le vare dstanze possono assuere segno dverso.. Moento d nerza polare P S defnsce oento d nerza polare d una superfce rspetto a un punto P nello stesso pano (FIGURA.5), la soatora de prodott delle sngole aree eleentar a per quadrat delle rspettve dstanze z dal punto dato. Indcando tale oento con l solo I P possao scrvere: I = I + A d (.7) P G a a z z z P a a y y y a a y. Defnzone del oento d nerza centrfugo..5 Moento d nerza polare d una superfce. 8 A Meccanca

4 y a G P y z d P.6 Moento d nerza polare coe soa d oent assal..7 Trasposzone de oent d nerza polar. Scelte due rette e y, perpendcolar fra loro e passant per l punto P (FIGURA.6), per ogn sngola area eleentare a la dstanza z dal punto P vale: z = + y (.8) D conseguenza l oento d nerza polare rspetto a P può esprers coe: a è ance: I = a ( + y ) = a + a y P a = I a y = I y Ne consegue l portantssa relazone: I p = I + I y (.9) P Il oento d nerza polare I p, rspetto a un punto P dato, è uguale alla soa de due oent d nerza assal I e I y, calcolat rspetto a due rette ncdent n P e perpendcolar fra loro. Ance per oent d nerza polar esste la possltà d applcare la forula d trasposzone; senza dlungarc n una ulterore dostrazone, se è nota la poszone del arcentro G della superfce (FIGURA.7) ed è stato calcolato l oento d nerza polare I G rspetto a esso, per qualsas altro punto P del pano, dstante d da G, vale la relazone: perfettaente analoga alla (.). I p = I G + A d (.) Moent d nerza d fgure geoetrce seplc Data l possltà d pegare drettaente le forule (.), (.6) e (.7) per l calcolo de oent d nerza, cercereo d rcavare da esse, edante alcun artfc, altre forule pù adatte all uso pratco, ltataente alle fgure geoetrce pù coun. D tal fgure dao edataente, nella TABELLA. (a pagne seguente), una sntes de rsultat, randando tutte le dostrazon agl approfondent on lne. Moent d nerza 8

5 TABELLA. Moent d nerza d fgure geoetrce coun Rettangolo d ase e altezza Moento d nerza rspetto a un asse, arcentrco e parallelo alla ase : I = Parallelograa d ase e altezza Moento d nerza rspetto all asse arcentrco e parallelo alla ase: I = (coe per l rettangolo) Trangolo G Moento d nerza rspetto a un asse arcentrco e parallelo alla ase: I = 6 I y I I I y Cerco d raggo r Moento d nerza rspetto a un asse o y passante per l centro : π π r I = I = r I = y y d e d Corona crcolare d daetro esterno d e e daetro nterno d Grande spessore: d π I I d d I d d 6 ( ) π y e ( = = = ) o e Pccolo spessore: d = d+d s= d d e e I = I = π s d I = π s d 8 y La forula I = ce, coe da TABELLA., dà l oento d nerza, rspetto ad un asse arcentrco e parallelo alla ase, d un rettangolo d ase e altezza, c consente d sottolneare l portanza de oent d nerza d superfce nel calcolo della 8 A Meccanca

6 resstenza delle strutture. Supponao d appoggare su due cavallett una tavola d legno d spessore olto pccolo rspetto alla largezza e d carcarla con un peso P concentrato n ezzera. Se l peso non è trascurale, la tavola s nflette pù o eno senslente e può ance ropers. Al contraro, la stessa tavola, posta «d taglo» su due cavallett e gravata dello stesso peso P, non anfesta nflesson apprezzal né, tanto eno, corre l rsco d ropers. Pocé le denson della tavola sono sepre le stesse, coe nvarate sono le condzon d vncolo e d carco, sogna concludere ce l suo dverso coportaento dpende da un altra caratterstca. Questa caratterstca è propro l oento d nerza della sezone, ce vara senslente da un caso all altro: nella pra potes esso è olto odesto n quanto è pccola l altezza della tavola (coè lo spessore), entre nella seconda potes tale altezza concde con la largezza della tavola e l suo valore ncde sul oento d nerza auentandolo notevolente. Con facl odfce e con l pego della forula d trasposzone (.) s possono ottenere oent d nerza del rettangolo rspetto ad altre rette del pano. Se c s rfersce all asse vertcale arcentrco y, asta pensare d raltare l rettangolo applcando a esso l procedento gà llustrato; scaando le due denson e, s ottene seplceente: I y = (.) l ce rende possle la valutazone del oento d nerza polare rspetto al arcentro G; rcordando la (.9) è I = I + I e, con le opportune sosttuzon: G y IG = ( + ) (.) Applcando l teorea d trasposzone, è possle calcolare l oento d nerza del rettangolo, rspetto a qualsas retta del pano parallela a una delle rette arcentrce. Per esepo, se s vuole calcolare l oento d nerza I rspetto alla ase del rettangolo, rsulta: I = I + A d = + = + = Queste seplc consderazon costtuscono una antcpazone sul prograa del prosso anno e devono servre da stolo all allevo per consglarlo a non trascurare l argoento de oent d nerza ce, allo stato attuale del corso, non sera partcolarente portante. Notao ce l espressone ottenuta è aggore (essendo pù pccolo l denonatore della frazone) d quella corrspondente al oento d nerza calcolato rspetto all asse arcentrco. Tale rsultato poteva essere dedotto drettaente dall esae della forula d trasposzone: essendo A e d grandezze essenzalente postve, l oento d nerza d una fgura assue l valore no quando è calcolato rspetto a un asse arcentrco. Moent d nerza d fgure coplesse Per le fgure pù coplesse d quelle prevste n TABELLA. esste una regola generale: P I oent d nerza d dverse fgure possono essere soat o sottratt, purcé sano stat calcolat rspetto alla stessa retta (se assal) o allo stesso punto (se polar). Moent d nerza 85

7 B G y H Questa regola consente d rcavare oent d nerza d fgure geoetrce coplesse, suddvdendole n un certo nuero d fgure seplc, calcolando oent d nerza d queste e successvaente soandone o sottraendone valor. Per esepo, l oento d nerza, rspetto all asse arcentrco, della superfce rappresentata n FIGURA.8 s ottene per dfferenza fra oent del rettangolo esterno e del rettangolo nterno, essendo l asse arcentrco per entrae le fgure. Con le notazon della fgura ctata, s ottene: I B H B H ( = = ) espressone valda ance per tutte le superfc rappresentate nella FIGURA.9..8 Moent d nerza d un telao rettangolare. P Esepo nuerco Consderao ora la superfce d FIGURA., d cu s rcerca l oento d nerza rspetto a un asse ce supporreo concdente con la ase EF. Possao procedere n due od. Pro odo. Scoponao la fgura n due rettangol (ABCD ed EFGC) e calcolao separataente oent d nerza rspetto alla retta EF. Per l rettangolo EFGC rsulta: e, con valor nuerc: I = (rspetto alla ase) I = = c Per l rettangolo ABCD occorre la forula d trasposzone: ed essendo d = 5 c: I = + d I = + 5 = = c B B B y y H H H a) ) c).9 Moent d nerza d fgure coplesse. 86 A Meccanca

8 Il oento d nerza dell ntera fgura, rspetto alla retta EF, è pertanto: I = I + I = + = c A B H Secondo odo. Il oento cercato s può ottenere ance coe dfferenza fra oent del rettangolo AHFE e del rettangolo BHGD. Per l pro s calcola: I = da cu segue, essendo = c e = c: I c = = 6 = 6 5 C E D sure n c G F 5 Per l secondo rsulta: I = + d e qund, essendo = c, = c e d = 5 c: I = = 5 + = c Il oento coplessvo è pertanto: I = I + I = 6 = c coe ottenuto n precedenza.. Moento d nerza d una superfce a fora d «L». Calcolo nuerco. Moent d nerza assal d assa Per la defnzone de oent d nerza assal d assa procedereo n odo perfettaente analogo a quello seguto nel paragrafo dedcato a oent d superfc. Consderao nfatt un soldo generco (FIGURA.) e una retta r counque orentata rspetto a esso. Se supponao ce l soldo sa coposto da un nuero nfnto d asse pccolsse, cascuna d esse s trova a una certa dstanza y dalla retta consderata. P S defnsce oento d nerza assale d assa J d un soldo, rspetto a una retta r prefssata, la soatora de prodott delle sngole asse eleentar per quadrat delle rspettve dstanze y, valutate dal centro delle asse alla retta r. In fora analtca: J = y (.) r y y. Moento statco d assa d un soldo rspetto a una retta. r 87

9 Per quanto rguarda l untà d sura de oent d nerza d assa, è facle rlevare ce essa è kg. Per oent d nerza assal d assa valgono le regole e le propretà gà esposte per quell d superfce: l oento d nerza d assa è una grandezza essenzalente postva; assue l valore no quando è calcolato rspetto a un asse arcentrco; noto l oento d nerza d assa rspetto a un asse arcentrco, s può valutare l oento rspetto a un altro asse parallelo a, posto a dstanza d dal pro, con la forula d trasposzone: n cu è la assa totale del soldo n questone. J = J + d (.) P Raggo d nerza S defnsce nfne raggo d nerza ρ la radce quadrata del rapporto fra l oento d nerza J e la assa del corpo: J ρ = (.5) Noto l raggo d nerza ρ, l oento d nerza s ottene oltplcando la assa totale del corpo per l quadrato del raggo d nerza stesso: J = ρ (.6) L. Moento d nerza d assa d un clndro peno rspetto al suo asse geoetrco. 5 Moent d nerza d assa d alcun sold La defnzone (.) del oento d nerza assale d assa presenta le stesse dffcoltà d applcazone pratca gà segnalate per oent d superfc; è nfatt drettaente rsolule con process d ntegrazone, a non altrettanto con etod d calcolo eleentare. Nel presente paragrafo cercereo percò d valutare con procedent approssat oent d nerza de sold ce pù frequenteente appaono nella dnaca de ot rotator. P Clndro I corp clndrc ruotano quas sepre ntorno al loro asse geoetrco; doao percò calcolare l oento d nerza d assa d un clndro rspetto a tale asse. Per far questo s rcava l raggo d nerza ρ dal oento polare d superfce, rferto al centro d una sezone norale all asse geoetrco, e po s oltplca l suo quadrato ρ per la assa del clndro secondo la relazone (.6). La sezone retta del clndro è un cerco d raggo r, l cu oento polare rspetto al centro è (FIGUr RA.): π r I = L area del cerco è A = π r e l quadrato del raggo d nerza s ottene dalla relazone: ρ I π r = = A π r r = 88 A Meccanca

10 Dalla (.6), ndcando con la assa del clndro, segue: J = r (.7) Se sono note la lungezza L del clndro e la denstà ρ del aterale ce lo costtusce, la assa del clndro vale: per cu la (.7) dventa: = ρ π r L (.8) J r L r r = ρ π = ρ L π Pocé l fattore tra parentes tonde rappresenta l oento d nerza polare d superfce del cerco I, s potree calcolare l oento J oltplcando seplceente l valore d I per l terne ρ L. Questa seplce regola pratca consente l calcolo del oento d nerza d assa d qualsas soldo clndrco o prsatco rspetto al propro asse geoetrco. Non s può operare allo stesso odo su sold d tpo dverso (per esepo, cono o prade), non essendo costante la sezone ne dvers punt dell asse. P Prsa retto a sezone quadrata Se, a ttolo d esepo, consderao un prsa retto d lungezza L, a sezone quadrata e d lato, l oento d nerza arcentrco rspetto al centro della sezone è: I G = 6 D conseguenza, l oento d nerza d assa rspetto al suo asse longtudnale rsulta: J = ρ L 6 P Clndro cavo Nel caso del clndro cavo (FIGURA.), la sezone norale all asse geoetrco è una corona crcolare d ragg r e (esterno) e r (nterno); l oento d nerza polare rspetto al centro d tale corona a l espressone: π I = ( r r ) e ce può essere posta ance sotto la fora: π I = r r r r ( e + ) ( e ) Dvdendo per l area A = π ( re r ) s ottene l quadrato del raggo d nerza: L ρ π ( re + r ) ( re r ) ( re + r ) = = π ( r r ) e qund l oento d nerza d assa J rspetto all asse geoetrco vale: r e r J r r ( + ) e = (.9). Moento d nerza d assa d un clndro cavo rspetto al suo asse geoetrco. Moent d nerza 89

11 n cu l valore della assa è espresso da: = ρ L π ( r r ) Se la dfferenza fra due ragg è pccola, s usa la forula approssata: I e = π s d n cu s è lo spessore della corona crcolare e d l daetro edo: d d e s= r r d = + e Dvdendo per l area A della sezone (A = π s d ) rsulta: ρ π s d I = = A π s d d = = r per cu l oento d nerza d assa (espresso n funzone del raggo edo r ) vale pù seplceente: J= r (.) oppure, ntroducendo l daetro edo: d J = (.) P Sfera Per la sfera, la forula del oento d nerza d assa va rcavata con l calcolo dfferenzale. Rportao qund solo la forula conclusva. Se la sfera a raggo r e è la sua assa coplessva, l oento d nerza d assa rspetto a qualsas retta passante per l centro è espresso dalla relazone: J = r 5 Nella TABELLA. è dato un replogo de rsultat fnora ottenut. (.) 9 A Meccanca

12 TABELLA. Moent d nerza assal d assa per alcun sold L Clndro peno, d lungezza L e daetro d: J = r = = L r ρ π L Clndro cavo d grande spessore, daetr d (nterno) e d e (esterno), lungezza L: ( r + r ) e J = = r r e = ρ L π d d d e L Prsa retto a sezone quadrata, d lato e lungezza L: J = ρ L 6 L Clndro cavo d pccolo spessore, daetr d (nterno) e d e (esterno), lungezza L: d + d e d = (daetro edo) s= r r (spessore) e d d e J = d = r Sfera d raggo r: J = 5 r Moent d nerza 9