GRANDEZZA FISICA = ente suscettibile di definizione quantitativa, caratterizzato da un numero ed una unità di misura.

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1 GRANDEZZA FISICA = ente suscettble d defnzone quanttatva, caratterzzato da un nuero ed una untà d sura. Ogn grandezza fsca va defnta n odo operatvo. Una defnzone s dce operatva se vengono specfcate unvocaente ed unversalente, tutte le odaltà d sura della grandezza. Pertanto, una defnzone operatva d una grandezza s basa sul concetto d sura. MISURA = Insee d PROCEDURE e d CONVENZIONI che consentono d assegnare ad una grandezza un valore ed una untà d sura. Untà d sura = ntenstà d una grandezza fsca alla quale s rapporta l ntenstà d tutte le grandezze della stessa spece. Procedure = Insee d operazon tecnche e d relazon ateatche che correlano una grandezza ad un altra della stessa spece assunta coe untà d sura. Convenzon = scelta del capone d sura. Capone d sura = sstea fsco che realzza untà d sura.

2 Una sura s dce dretta quando s confronta drettaente la grandezza surata con l untà d sura (capone) o suo ultpl o sottoultpl; coe esepo, la sura d una lunghezza edante un regolo graduato (per esepo una rga) è una sura dretta. È una sura dretta anche quella effettuata edante l uso d struent pretarat (ad esepo la sura della teperatura edante un teroetro), che s basa sulla propretà dello struento d reagre sepre nella stessa anera quando vene sottoposto alla edesa sollectazone. Msure ndrette sono nvece quelle n cu non s sura la grandezza che nteressa, a altre che rsultno ad essa legate da una qualche relazone funzonale; così la veloctà d un autooble può essere valutata sa drettaente (con l tachetro), sa ndrettaente: surando spaz percors e tep pegat, da qual s rsale po alla veloctà (eda) con una operazone ateatca.

3 Le grandezze fsche s dvdono n fondaental e dervate. SI GRANDEZZE FONDAMENTALI Le grandezze fondaental sono grandezze ndpendent le cu untà d sura sono scelte arbtraraente. Le grandezze fondaental costtuscono un nucleo d poche grandezze dalle qual s ottengono tutte le altre. Le grandezze dervate sono quelle defnte da una relazone n rapporto a grandezze fondaental. Lunghezza Tepo Massa Teperatura Intenstà d corrente Intenstà lunosa (etro) s (secondo) Kg (chlograo) K (grado Kelvn) A (Apère) c (candela) Il sstea d sura attualente pù dffuso è l Sstea Internazonale (SI). Quanttà d atera ol (ole) SI GRANDEZZE DERIVATE Sono pù d un centnao Es.: area ( ) veloctà (/s) forza (N) Energa (J), frequenza (H)..

4 Lo struento d sura è un apparato che perette l confronto tra la grandezza surata e l untà prescelta. Esso è costtuto da un oggetto sensble n qualche odo alla grandezza da surare, che s può chaare rvelatore; eventualente da un dspostvo trasduttore, che traduce le varazon della grandezza caratterstca del rvelatore n quelle d un altra grandezza pù faclente accessble allo sperentatore; e da un dspostvo ndcatore che presenta l rsultato della sura a sens (generalente alla vsta) dello sperentatore: o drettaente o edante una regstrazone, grafca o d altro genere. Le caratterstche pù portant d uno struento sono le seguent: prontezza ntervallo d uso sensbltà precsone accuratezza

5 La prontezza: è deternata dal tepo necessaro perché lo struento rsponda n odo copleto ad una varazone della sollectazone; ad esepo, per avere una rsposta corretta da un teroetro s deve attendere che s raggunga l equlbro terco tra l rvelatore e l oggetto d cu s sura la teperatura. L ntervallo d uso: è defnto coe l nsee de valor copres tra la sogla e la portata dello struento, coè tra l no ed l asso valore della grandezza che lo struento può apprezzare n un sngolo atto d sura. La sensbltà: s può defnre coe l recproco della ncertezza d lettura propra dello struento, coè della pù pccola varazone della grandezza che può essere letta sulla scala, e che s assue generalente corrspondente alla pù pccola dvsone della scala stessa (o ad una frazone apprezzable d questa). La sensbltà può essere dversa n dfferent punt della scala, o per dvers valor della grandezza; è un fattore che lta l ntervallo d uso dello struento, potendo dvenre nsuffcente al d sotto della sogla od al d sopra della portata.

6 La precsone dello struento: è legata alla rproducbltà del rsultato della sura d una stessa grandezza. Esso può varare da una parte per dfett dello struento dovut alla costruzone, che non può a essere perfetta, e per l logoraento d alcune coponent n conseguenza dell uso prolungato o propro, o dell nvecchaento; e, noltre, per la presenza d vare cause d dsturbo nelnabl anche n condzon noral d uso dello struento stesso. Tutto questo fa sì che sure rpetute d una stessa grandezza fsca s dstrbuscano n un ntervallo pù o eno apo; la precsone s può defnre coe l recproco dell ncertezza sul valore della grandezza che vene deternata dall nsee d quest fattor: ed è sostanzalente legata all enttà degl error casual L accuratezza dello struento: ossa la sua capactà d fornre valor corrspondent a quello realente posseduto dalla grandezza n esae. In altre parole, se lo struento è accurato c s aspetta che rsultat d sure rpetute della stessa grandezza fsca sano equaente dstrbut n un ntorno del valore vero; questa caratterstca degl struent è legata alla presenza d error ssteatc da ess ntrodott.

7 la sensbltà e la precsone n uno struento hanno valor sl, fate attenzone a non confondere due concett: la sensbltà è una caratterstca ntrnseca degl struent, e rane percò costante n ogn stuazone; entre la precsone delle nostre sure dpende, è vero, dal tpo d struento usato (e qund dalla sua sensbltà) a anche dalle odaltà contestual d pego e dal tpo d grandezza surata.

8 Ogn grandezza è defnta dalle operazon sperental che s copono per ottenerne la sura: l rsultato d una sura dpende percò dal procedento adottato e dalle caratterstche dello struento usato nonché da tutt que fattor estern che ntervengono sullo svolgers dell'esperento e della sura. Ora no sappao che per quanto c s possa sforzare d auentare la sensbltà de nostr struent o d affnare le tecnche d prelevo de valor, tutte le sure che effettuao sono affette da errore: questo sgnfca che esse non concdono con l "valore vero" della grandezza surata.

9 MA CHE COS E IL "VALORE VERO" DI UNA GRANDEZZA? Supponao d voler surare la lunghezza d un tavolo con una precsone sepre aggore arrvereo ben presto a renderc conto che non esste la grandezza "lunghezza del tavolo": nfatt all'auentare della precsone notereo che la sura della lunghezza vara da punto a punto a causa d pccole aspertà del bordo del tavolo, s dfferenza a dvers ntervall d tepo per la dlatazone o la contrazone dovuta agl sbalz terc e va dcendo... nessuna quanttà fsca può essere surata con copleta certezza se s esegue una sura d una qualsas grandezza fsca s coettono nevtablente error, conseguenteente l valore ottenuto per la grandezza surata non è a esattaente uguale al suo vero valore, che non c potrà percò a essere noto con precsone arbtraraente grande.

10 Una sura non è a esatta, è sepre affetta da un errore Esstono error grossolan dpendent dalla dsattenzone ed error d altro genere:

11 Gl error ssteatc sono quell che copaono n ogn sngola sura e sono dovut all'pego d struent poco precs, al tarat, o nadatt alla sura n questone. D questo tpo d error fanno parte anche quell dovut all'perza o alla neglgenza dello sperentatore o quell che dervano dall'aver trascurato l'nfluenza, sul rsultato, d fattor estern coe ad esepo la pressone nel caso della surazone della teperatura dell'acqua. Gl error accdental (dett anche casual) sono quell non prevedbl e d enttà varable. Ess sono dovut sa allo stato pscofsco dello sperentatore (a perfetto), sa alla nevtable e prevedble precsone degl struent usat. Quest error possono anche essere dovut alla varazone casuale e d breve durata d fattor estern coe la pressone, l'udtà o la teperatura dell ara, d cu lo sperentatore non ha tenuto conto durante l'esecuzone della sura. Questo tpo d errore può nflure sulla sura ora n un senso, ora nell'altro; e può essere rdotto al no rpetendo pù volte la sura e facendo qund la eda artetca de valor trovat.

12 Certe cause d errore possono dar luogo a una dscrepanza tra valore surato e valore vero che s rproduce nalterata n una sere d sure rpetute: e la nosservabltà delle fluttuazon non garantsce affatto che tale dscrepanza sa nferore all ncertezza d lettura dello struento; né s può esser cert che essa sa contenuta entro l ntervallo d varabltà degl error casual (quando esso sa aggore dell ncertezza d lettura). Gl error d questo secondo tpo s dcono error ssteatc e sono pù nsdos, perché non rsultano edataente dentfcabl. Dfetto dello struento usato Interazone struento-sperentatore Interazone struento-fenoeno n esae Errate condzon d lavoro Iperfetta realzzazone del fenoeno

13 Tpc esep d dfett d funzonaento sono quell relatv alla taratura dello struento. Infatt l funzonaento del dspostvo n uso non appare alterato, a vene a ancare la concordanza tra la sua rsposta e l valore effettvo della grandezza. Esepo: Un esepo potrebbe essere un phetro che è stato calbrato n odo non corretto. Se s presue che l ph del tapone usato per la calbrazone del phetro sa 7,00, entre è n realtà 7,08, e per l resto l paccaetro funzona correttaente, tutte le letture d ph saranno nferor d 0,08 untà rspetto al valore reale. Una blanca a bracc ugual con l perno de bracc n poszone non corretta o dove, a causa d polvere o del deteroraento delle strutture, le oscllazon non possano avvenre lberaente. Entrab quest apparat daranno de rsultat vzat da error ssteatc che andranno a nfluenzare l valore della sura sepre nello stesso verso: o n eccesso o n dfetto. Quando s rpetono le sure con lo stesso struento, l'nfluenza del dfetto struentale rane celata allo sperentatore che eventualente noterà delle fluttuazon dovute ad error casual, a sarà dffclente portato a dubtare dell'affdabltà dello struento che sta usando. Gl error ntrodott dall'nterazone struentosperentatore sono forse pù facl da elnare n quanto sono frutto, spesso, d dsattenzon dello sperentatore. Esepo: dsattenzone che possa dar orgne ad error ssteatc, agnate d prelevare una sura da uno struento ad ago stando sedut d fanco ad esso. In questo odo, guardando l'ago con la scala graduata detro ad esso ntrodurrete un errore detto d "parallasse". Per ovvare a questo problea, tpco degl struent ad ago, è stato deato un pccolo stratagea: s è applcato uno specchetto al d sotto della scala graduata n odo tale che, guardando l'ago con la sua agne rflessa fno a farl cobacare, s possa elnare la parallasse. Tuttava anche attraverso questo stratagea, non s resce ad elnare totalente l'ncertezza legata alla lettura del valore, perchè, per quanto c s possa sforzare, non s ruscrà a a poszonare gl occh esattaente d fronte allo struento. Perssteranno sepre delle pccole ncertezze, rducbl usando un solo occho per la lettura, a non totalente elnabl.

14 Il fatto che uno struento, al oento del prelevo della sura, nteragsce col sstea fsco d cu s vuol surare una grandezza odfcandone n anera pù o eno consstente alcun paraetr, non è affatto charo alla aggor parte degl student (...e non solo!). Per caprlo faccao un esepo: supponao d voler surare la teperatura d un lqudo n un recpente attraverso un teroetro a ercuro. L'nserento d quest'ulto all'nterno del fludo provocherà, nel caso che due non s trovno alla stessa teperatura, un passaggo d calore dal corpo pù caldo al corpo pù freddo, odfcando d conseguenza le teperature del teroetro e del fludo. L'nsorgere d error ssteatc dovut ad errate condzon d pego della struentazone è ndpendente dalla presenza o eno d dfett nst nella struentazone stessa. Infatt con "errate condzon d lavoro" s ntendono tutte quelle stuazon n cu la taratura orgnale dello struento vene eno. Per esepo per stablre la pressone de pneuatc d una acchna è portante stablre se la sura debba essere fatta a freddo e con la ruota sontata oppure n condzon d utlzzo. In generale la pressone surata a freddo è ssteatcaente nferore a quella ottenuta n condzon d utlzzo. Oppure, per struent qual, ad esepo, l calbro o l croetro (paler), quando s lavora a teperature lontane da quelle n cu sono stat tarat (d solto 0 C): n questo caso, ateral d cu sono copost rsentono della dlatazone terca alterando così la lettura. Per ovvare a questo nconvenente a volte è l costruttore stesso che fornsce una tabella o un grafco dove sa evdenzato l coportaento de ateral al varare della teperatura per correggere tal effett.

15 A volte può captare che non s resca a realzzare un esperento così coe lo s era progettato: s prenda ad esepo la caduta d un grave. Se attraverso questo esperento s vuol verfcare la legge del oto d un corpo erso n un capo gravtazonale occorre elnare o aleno tener conto della spnta d Archede e dell'attrto dell'ara, agent quest che ntroducono error d tpo ssteatco. Oppure pù banalente Msurao l ntervallo d tepo tra l stante n cu lascao cadere l sasso e l stante n cu sentao l ruore del sasso che tocca l fondo. L ntervallo surato è n realtà quello che l sasso pega per cadere pù quello pegato dal suono per gungere dal fondo fno a no.

16 In generale ogn qualvolta che nella realzzazone d un esperento s trascurano de fattor legat ad esepo all'abente nel quale esso s svolge, s rscha d ntrodurre error ssteatc nella sura n cu gl eleent non consderat nfluscono sull'evoluzone del fenoeno. I etod per ndvduare tal error sono fondaentalente due, dettat drettaente dalla natura dell'errore ssteatco: o s rcorre ad una prevsone teorca del fenoeno e la s confronta con le sure ottenute, oppure s eseguono ulteror sure utlzzando apparat dvers che evdenzno la presenza (a non sepre la natura) d tal error. Mentre attraverso l confronto con una prevsone teorca può ranere l dubbo che quest'ulta sa errata, rpetendo le sure con struent dvers, l'ndvduazone d possbl error ssteatc attraverso le dscrepanze tra valor ottenut rsulta olto pù agevole. Dstrbuzone d X n presenza d error ssteatc Dstrbuzone d X n assenza d error ssteatc Osservare che l errore ssteatco nfluenza l valore della eda

17 Quando s rpete la sura della stessa grandezza con lo stesso struento, nelle stesse condzon e seguendo la stessa procedura, la presenza delle vare cause d errore produce delle dfferenze casual tra l valore surato ed l valore vero; dfferenze varabl da una sura all altra, ed n odo prevedble sngolarente. In conseguenza d cò, rsultat d queste sure rpetute (se lo struento è abbastanza sensble) fluttueranno apprezzablente n anera casuale n un certo ntervallo: la cu apezza defnrà la precsone delle sure stesse. Gl error d questo tpo s dcono error accdental o casual, e la loro esstenza è faclente accertable con l uso d un qualsas struento sensble.

18 Quest tp d errore s possono anfestare per svarat otv: ad esepo a causa della varazone del tepo d reazone da un soggetto ad un altro (e anche per lo stesso soggetto n stuazon dverse), per error d lettura d ndc dovut ad un non perfetto allneaento tra l'osservatore e la scala graduata o putabl ad una nterpolazone errata, o anche per seplc fluttuazon del sstea n esae attrbubl, per esepo, a degl sbalz terc. La loro natura d casualtà è propro legata al fatto che ess hanno un'orgne aleatora e olto spesso teporanea: questo, al rpeters delle sure, deterna sull'evento n esae delle fluttuazon n odo tale che le surazon che s ottengono oscllano attorno ad valore pressoché costante. Ovvaente nel caso n cu sa possble rpetere le sure l'ndvduazone d tal error è abbastanza seplce: noltre all'auentare del nuero delle sure, le fluttuazon ntrodotte tendono a "blancars" n quanto avvengono sa n dfetto che n eccesso con la stessa probabltà.

19 Qund gl error accdental: Sono osservabl solo con uno struento suffcenteente sensble, coè quando sono d enttà aggore dell ncertezza d lettura della scala. Possono essere rdott, a non possono a essere elnat. Posseggono tuttava certe propretà statstche e la loro enttà può pertanto essere stata. Copto della teora dell errore è appunto quello d stare l errore presublente coesso nell atto della sura, a partre da dat sperental stess. Scopo della sura d una grandezza fsca è l valutare sa l rapporto della grandezza stessa con una certa untà d sura, sa l errore da cu tale rapporto è presublente affetto. Il rsultato delle sure dovrà qund sepre essere espresso n una fora del tpo l = 1.34 ± 0.01 n cu copaano le tre part valore, errore ed untà d sura.

20 Fra due tp d error, quell ssteatc e quell accdental, coe s sarà notato, v è una notevole dfferenza. Agl error ssteatc è nfatt assocato l concetto d accuratezza, entre agl error accdental è assocato quello d precsone. Dreo allora che una sura è accurata quando è stata eseguta n condzon sperental adatte e facendo uso d struent done. Dreo nvece che una sura è precsa quando l'esecutore della sura stessa è n grado d ndcare l'enttà degl error da qual essa è affetta; potreo anche dre che una sura è rtenuta precsa quando rpetute esecuzon della stessa danno valor concordant. Da quanto abbao detto s deduce, qund, che una sura potrebbe essere precsa, a non accurata.

21 Accuratezza elevata Precsone PRECISIONE E ACCURATEZZA scarsa Scarsa Elevata 1 Rsultat d 50 deternazon analtche d un edeso valore vero θ esegute con 4 dfferent etod: 1- precso ed accurato -precso ed naccurato 3-precso ed accurato precso ed naccurato

22 IN CONCLUSIONE... Per rassuere, l'errore totale d una sura esente da error grossolan può essere espresso coe soa d una coponente ssteatca e d una coponente casuale. SOMMA DEGLI DEGLI ERRORI Totale Ssteatco Casuale (- θ) = (- θ) + (-) Attendbltà Accuratezza Precsone q

23 Una qualsas sura s può esprere attraverso la scrttura: L'errore, rappresenta l'ntervallo entro l quale ragonevolente rtenao che la quanttà surata s trov, a d per se non c fornsce un quadro copleto della stuazone.

24 Errore assoluto: dopo aver effettuato una sura con un certo struento, dalla precsone d quest'ulto e dall'abltà dello sperentatore s trova un dato valore ± un certo errore: ±. è detto errore assoluto e rappresenta l'ntervallo entro l quale sao convnt che s trov l valore vero della grandezza. A seconda che l rsultato da no fornto sa frutto d una sngola sura o sa l passo fnale dell'elaborazone d un gruppo d sure effettuate sulla grandezza n esae, l'errore assoluto dpende quas totalente dal etodo d sura adottato e dagl struent usat, oppure è correlato a partcolar paraetr statstc ottenbl dallo studo del gruppo d sure raccolto. 14,5 s ± 0, s = (14,5 ± 0,) s

25 L'errore assoluto c da un'ndcazone dell'ntervallo entro n quale c aspettao ragonevolente che s trov l valore vero della grandezza osservata però non descrve un quadro copleto della stuazone. Infatt entre un errore d un centetro su una dstanza d un chloetro ndcherebbe una sura nsoltaente precsa, un errore d un centetro su una dstanza d quattro centetr ndcherebbe una valutazone puttosto rozza. Dventa allora portante consderare l'errore relatvo (o errore frazonaro) Errore relatvo: l'errore relatvo o frazonaro è dato dal rapporto tra l'errore assoluto e l valore della sura stessa: errore relatvo L'errore relatvo essendo un rapporto tra due grandezze oogenee è un nuero puro, entre l'errore assoluto deve essere sepre seguto dall'untà d sura.

26 L'errore relatvo percentuale, nvece, è: errore relatvo percentuale 100 Se l'errore relatvo è d 1/10, allora quello percentuale è del 10%. L'errore relatvo è pù ndcatvo d quello assoluto perché costtusce un'ndcazone della qualtà d una sura, n quanto esso rappresenta la precsone della sura stessa. A questo punto appare evdente che la sura con l'errore relatvo nore è quella pù precsa: s not bene che s è parlato d errore relatvo e non assoluto. Infatt s consder l seguente esepo: Sano date due sure nel odo seguente A=(10 ± 1) Kg B=(100 ± 1) Kg Entrabe hanno lo stesso errore assoluto (ΔA=ΔB=1 Kg), entre hanno dfferent error relatv. Ora, entre nella pra sura abbao un errore d una untà su dec, nella seconda abbao un errore d una sola untà su cento: s è allora solt dre che la pra è una sura precsa al 10%, entre la seconda precsa al 1%.

27 Gl error possono essere assolut o relatv. Errore assoluto: E t oppure E t Errore relatvo: E r t t oppure 100 t E r t

28 Nel oento n cu due sure sono n dsaccordo dcao che tra loro v è una dscrepanza. La dscrepanza è la dfferenza tra due valor surat della stessa grandezza. d = 1 E` portante sottolneare che una dscrepanza può essere o non essere sgnfcatva.

29 Dfferenza tra valor surat d una stessa grandezza. Sgnfcatva, ntervall d sura non s sovrappongono; Non sgnfcatva, ntervall d sura s sovrappongono a) Studente A = 15 ± 1 oh Studente B = 5 ± oh Studente A da 14 a 16 oh Studente B da 3 a 7 oh b) Studente C = 16 ± 8 oh Studente D = 6 ± 9 oh Studente C da 8 a 4 oh Studente D da 17 a 35 oh La dscrepanza va valutata rspetto alle ncertezze delle sure n questone

30 Sgnfcatva Non Sgnfcatva

31 Se due student surano la capactà d un condensatore e ottengono rsultat C1=(40 ± 5)nF e C=(4 ± 8)nF la dfferenza d nf è nore de loro error: n questo odo le due sure sono ovvaente consstent. D'altra parte se rsultat fossero stat C1=(350 ± 0)nF e C=(450 ± 10)nF allora le due sure sarebbero state charaente nconsstent e la dscrepanza d 100nF dovrebbe essere sgnfcatva. In questo caso s sarebbero res necessar controll accurat per scoprre gl error coess.

32 Per quanto rguarda l odo d esprere l rsultato delle nostre sure, è un errore spngere la valutazone del rsultato stesso al d là della precsone sperentale; n altre parole, se l calcolo dell errore per la sura d una lunghezza ndca ncertezza sulla cfra, ad esepo, de centetr, è un errore dare nel rsultato la cfra de lletr, o (peggo) de dec o centes d lletro. Ne rsultat ntered possao tenere per successv calcol tutte le cfre che voglao; a, gunt al rsultato fnale, e solo una volta che l errore sa stato calcolato, bsogna troncare l rsultato stesso al lvello dell errore da no stato ed arrotondare ± 0.31 dventa 1.3 ± 0. o 1.34 ± 0.3 ; ± dventa ± o ±

33 La aggor parte delle quanttà fsche non può essere surata attraverso una sngola sura dretta, a occorre deternarla attraverso due pass dstnt: la sura dretta delle sngole grandezze e, attraverso queste, l calcolo della quanttà cercata. Per esepo, per surare la superfce d un tavolo rettangolare, occorre pra effettuare drettaente le sure de due lat valutando le relatve ncertezze, dopodchè s passa a calcolare la superfce attraverso l prodotto de due lat. Ora, coe l'operazone d sura coporta due pass, anche la deternazone dell'errore necessta d due fas: dappra occorre valutare le ncertezze delle grandezze surate drettaente, e d conseguenza s deve trovare coe tal ncertezze s propaghno attraverso calcol.

34 Supponao d avere le sure drette ( e ) delle due grandezze d cu s vuol calcolare la soa così espresse: Se chaao z la grandezza par alla soa d e, abbao che l valore "pù alto" probable per z s ha quando e assuono loro valor pù grand, coè per + e + entre l valore "pù basso" probable s ha quando entrabe e assuono l loro no ossa - e -, per cu s ha valore asso probable probable valore no

35 osservando due valor (asso e no) rcavat s vede che per la grandezza dervata z z z abbao: z z S può operare n odo analogo per calcolare l'errore coesso nel caso d una dfferenza e s raggunge lo stesso rsultato.

36 S può allora defnre la regola della coposzone degl error n una soa o n una dfferenza, generalzzando l rsultato ottenuto a soe o dfferenze d N tern, nel odo seguente: se dverse grandezze,,..., w sono surate con ncertezze d, d,... dw, e tal valor vengono utlzzat per calcolare quanttà del tpo z... ( u... w) allora l'errore nel valore calcolato d z è par alla soa z... u... w d tutt gl error assolut orgnal.

37 Abbao vsto che nel caso n cu le grandezze surate drettaente s debbano soare, allora possao stare l'errore sul rsultato coe la soa de sngol error assolut. Sotto certe condzon, le ncertezze calcolate utlzzando le suddette regole possono essere pù grand del necessaro: costtuscono coè una sovrasta. Le condzon affnchè s possa applcare la soa quadratca sono fondaentalente due e rguardano entrabe gl error sulle grandezze orgnare: quest devono essere ndpendent casual In questo odo le sure nzal s possono consderare governate da una dstrbuzone norale: essendo noltre ndpendent, la coposzone d due o pù dstrbuzon da luogo ad una dstrbuzone nuovaente d tpo norale e con devazone standard par alla radce quadrata della soa de quadrat delle devazon standard nzal.

38 In queste condzon la regola dventa: Se dverse grandezze,,..., w sono surate con ncertezze "ndpendent e casual",,..., w e tal valor vengono utlzzat per calcolare quanttà del tpo z = (u w) allora l'errore su z è la soa quadratca z u w degl error orgnar. In ogn caso, l'errore su z non è a pù grande della soa ordnara de sngol error z u w

39 Mescolaento d lqud n due recpent, dopo aver surato le asse separataente da vuote e da pene: M1=assa recpente 1 + contenuto=540±10 g 1=assa recpente 1 vuoto=7±1 g M=assa recpente + contenuto=940±0 g =assa recpente vuoto=97±1 g Calcolo della assa totale d lqudo: M=M1-1+M-=( ) g=1311 g Secondo la regola l errore è la soa delle 4 ncertezze: M~M1+1+M+=( ) g=3 g Il rsultato fnale (opportunaente arrotondato) sarà: Massa totale del lqudo=1310±30 g

40 Supponao che la grandezza che voglao calcolare sa z = : nel calcolo dell'errore ne prodott (o ne quozent) sfruttao gl error relatv delle sngole sure. Utlzzao però una fora leggerente dversa per esprere valor delle quanttà surate drettaente n tern d errore relatvo, coè: Ora, poché e costtuscono le nostre glor ste per le grandezze e, la sta glore che possao fare della grandezza z è propro 1 1 z

41 Analogaente al caso della soa e della dfferenza, l valore asso probable per z s ha quando vengono consderat valor pù grand d e, ossa nel caso n cu abbao l segno pù nell'errore relatvo: entre l valore no è dato da se ora andao a svluppare l prodotto delle due parentes nel caso del valore asso (l dscorso s può rpetere n odo analogo per l valore no) ottenao: S not che nell'ulto passaggo s è usata l'uguaglanza approssata pochè abbao trascurato l prodotto de due error relatv n quanto, essendo sngolarente nuer pccol (dell'ordne d qualche percento), l loro prodotto è assa pccolo e trascurable rspetto altre quanttà. 1 1 valore asso probable 1 1 probable valore no

42 Ne concludao n defntva che tal sure d e portano ad un valore d z= dato da: Dal confronto d questa con la fora generale per z : s può esprere l'errore relatvo su z coe la soa degl error relatv d e : Per quanto rguarda quozent l odo d operare è dentco, per cu possao enuncare la regola generale della propagazone delle ncertezze ne prodott e ne quozent nel odo seguente: z 1 z z z z 1 z z

43 se dverse grandezze,,..., w sono surate con ncertezze,,..., w e tal valor vengono utlzzat per calcolare quanttà del tpo: z... u... w allora l'errore nel valore calcolato d z è par alla soa: z z u w u w de sngol error relatv.

44 Per quanto rguarda l calcolo dell'ncertezza da assocare ad una operazone d elevaento a potenza la regola generale dce: Se è surato con ncertezza e s deve calcolare l'espressone n z dove n è un qualunque nuero noto fssato, postvo o negatvo, allora l'errore relatvo d z è n volte quello d, ossa : z z n

45 Supponao d surare una grandezza e n seguto d utlzzare tale quanttà per calcolare l prodotto z=k dove l nuero K è una costante e coe tale non ha errore. Classco esepo d tale stuazone è rappresentato dal calcolo della lunghezza d una crconferenza, ove l daetro, surato con la sua ncertezza, vene oltplcato per la costante p. Per la valutazone dell'ncertezza sul prodotto d una grandezza per una costante c rfaccao a quanto è stato detto per l calcolo dell'errore ne prodott e ne quozent. In partcolare l'errore relatvo su z dovrebbe essere stable attraverso la soa d quell su K e su. Dal oento però che non abbao errore su K rsulta che, anche consderando la soa n quadratura: z z

46 Se voglao consderare l'errore assoluto, basta che oltplchao per z = K e ottenao: z K Rassuendo possao enuncare la regola per l calcolo dell'errore del prodotto d una grandezza con una costante nel odo seguente: data una grandezza surata con la sua ncertezza ed utlzzata per calcolare l prodotto z = K, dove K non ha errore, allora l'errore relatvo n z è par a entre l'errore assoluto è dato da z z z K

47 Sano,,..., w surat con ncertezze ndpendent tra loro e casual,,..., w e tal valor vengano utlzzat per calcolare la funzone z(,,...,w), allora l'errore su z è dato da In ogn caso esso è ltato superorente dalla soa

48 Rassuendo: Espresson algebrche = a + b - c Error X = ca s = c(δa) = a * b/c = a b Base 10 = log10 a Base e = ln a

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50 La eda artetca La eda artetca seplce M d n valor è l rapporto fra la loro soa e l loro nuero n: = N =1 n 1... M 1,,..., n n Dat seguent valor: 5,8,5,6 M n

51 GLI SCARTI E LO SCARTO QUADRATICO MEDIO Supponao d aver rcavato N sure della stessa grandezza : da queste abbao po calcolato la glor sta attraverso la eda e voglao dare una valutazone dell'ncertezza da assocare a tale sta. La sta d gran lunga pù usata della tendenza centrale d un capone è la eda artetca de valor osservat, defnta attraverso la relazone: Inzao col consderare una pra quanttà chaata scarto o devazone. Tale grandezza è così defnta: d

52 Questa dfferenza c da una ndcazone d quanto la -esa sura dffersce dalla eda: n generale se tutt gl scart sono olto pccol allora le nostre sure saranno tutte vcne e qund presublente olto precse. Al d là del valore nuerco degl scart, snono d precsone o eno nelle sure, è nteressante notarne l segno: le devazon possono essere nfatt sa postve che negatve a seconda che l'-eso dato cada a destra o a snstra della eda. Cò coporta che se volesso provare a valutare l'ncertezza attraverso una eda de sngol scart c accorgereo subto che la eda degl scart è uguale a zero: la soa degl scart d un nsee d valor dalla loro eda artetca è dentcaente nulla. N 1 0

53 Propretà 1: la soa degl scart d un nsee d valor dalla loro eda artetca è dentcaente nulla. Propretà : la eda artetca d un nsee d dat nuerc 1,,..., N è quel valore d rspetto al quale rsulta na la soa de quadrat degl scart dalle ; coè quel nuero per l quale è verfcata la N 1 0 N N 1 1 n N N 1 1

54 Attenzone! Non sepre l calcolo della eda artetca rappresenta n odo sgnfcatvo l nsee de valor a cu s rfersce. Per esepo, assegnat valor: )1,,1,3,1,1,, ),3,3,,9,9,10, )5,6,7,6,5,6,7,6 M c M b M a

55 È opportuno allora defnre altr valor ed che non sano frutto d calcolo ateatco, a che sano ndvduat n base alla loro poszone nella sequenza de valor osservat. Tal ede s dcono ede d poszone le pù utlzzate sono: La oda La edana

56 La MODA Voto (odaltà) Allev (frequenza) Moda d un fenoeno è la odaltà con frequenza pù elevata. Mo = 6

57 La MEDIANA Medana: è l valore dvsoro n quanto bpartsce la successone de dat n due grupp ugualente nueros; è l valore che tagla n due part ugual la dstrbuzone de dat ordnat, coè l terne preceduto e seguto dallo stesso nuero d dat.

58 DEFINIZIONI Sa dato un nsee d sure 1,, N. Meda: Medana: avendo ordnato le sure n ordne crescente N par N N N 1 N dspar 1 N Nel caso delle sure: 10, 10, 1, 13, 13, 13, 15, 18, 5, 6 6, 7, 8, 8, 35 la eda è 19,93 e la edana è 18. La edana è defnta coe quel valore che dvde l stograa de dat n due part d uguale area; n tern eno precs, la edana lasca un uguale nuero d dat alla propra snstra ed alla propra destra.

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60 Medana Me d n valor ordnat n odo non decrescente è: Esepo: dat valor ordnat: 1,,, 3, 4, 5, 6 Me = 3 Se n è dspar la edana è l valore centrale Se n è par la edana è la eda de due valor central

61 La eda artetca ponderata Quando cascuna odaltà s presenta con una certa frequenza o peso, è pù vantaggoso calcolare la eda artetca consderando le frequenze (assolute o relatve): n tal caso s parla d eda artetca ponderata perché ogn valore entra nella eda con l suo peso, coè la sua frequenza. La eda artetca ponderata M d n valor è: M 1, dove n,..., n 1 n n 1 n... 1 n n n n... n n n

62 Calcolo della eda ponderata Voto (odaltà) Allev (frequenza) 4 3 M

63 MEDIA PESATA O PONDERATA Capta spesso che una grandezza fsca sa surata parecche volte, agar n laborator dfferent, e sorge l problea d coe cobnare queste sure per ottenere una sngola sta glore. La sta glore è la eda pesata: best N 1 N 1 w w con w 1 L ncertezza qund l errore su X best sarà: N w 1 1

64 Nella teora delle probabltà s usa la legge d dstrbuzone d Gauss che costtusce una legge lte, cu tende la aggor parte delle altre dstrbuzon sotto condzon che s verfcano abbastanza d frequente. Essa s anfesta ogn volta che la grandezza aleatora osservata è l rsultato della soa d un nuero suffcenteente grande d varabl ndpendent (o al lte debolente ndpendent) che obbedscono a legg d dstrbuzone dverse. La grandezza osservata s dstrbusce seguendo la legge d dstrbuzone norale n un odo tanto pù precso, quanto è aggore l nuero varabl da soare.

65 S parla d dstrbuzon lte nel oento n cu l nuero d event consderat s avvcna all'nfnto. Con la dctura "s avvcna all'nfnto" s ntende un nuero d event, o realzzazon d una varable aleatora, suffcenteente grande. Quello che s vuole dre, quando s parla d dstrbuzon lte, è che dopo un certo nuero d event, rsultat ottenut s dsporranno secondo una deternata dstrbuzone, ostreranno coè, al passare delle prove, una deternata dstrbuzone. Tale dstrbuzone dvene sepre pù evdente all'auentare degl event e, al lte per l nuero d realzzazon che tende all'nfnto, la dstrbuzone assue un carattere contnuo.

66 La dstrbuzone lte è una costruzone teorca, che non può a essere surata esattaente: pù sure faccao e pù l nostro stograa s avvcna alla dstrbuzone lte. Ma soltanto se no fosso n grado d effettuare un nuero nfnto d sure e d utlzzare ntervall nfntaente strett, allora otterreo realente la dstrbuzone lte stessa.

67 La legge d dstrbuzone norale d Gauss è caratterzzata da una denstà d probabltà della fora: p ( ) 1 ( ) e p La curva corrspondente ha una fora caratterstca "a capana centrata sul punto d ascssa = e n corrspondenza d esso ha l suo asso n ordnata par a 1 p Il paraetro è correlato alla larghezza della "capana" e, n partcolare, rappresenta la dstanza tra l'asse d setra e punt d flesso della dstrbuzone. Se è pccolo, la curva è stretta, se è grande, la curva è larga e pù "dspersa" rspetto al valor edo. In partcolare l paraetro non è altro che la devazone standard della dstrbuzone, così coe rappresenta l valor edo della funzone.

68 Molto spesso s usa anche la dstrbuzone standardzzata N(0,1) avente eda 0 (centrata sull'orgne degl ass) e devazone standard par ad 1.

69 La varanza La varanza è la eda artetca degl scart dalla eda al quadrato, (sga quadrato) allevo : 1 Es n M M M n 1^ prova ^ prova 3^ prova 4^ prova 5^ prova MEDIA Varanza Allevo Allevo Allevo ,5

70 Scarto quadratco edo Lo scarto quadratco edo o devazone standard è la radce quadrata (postva) della varanza. M M M 1... n n 1^ prova ^ prova 3^ prova 4^ prova 5^ prova MEDIA Varanza sq o Devazone standard Allevo ,83 Allevo ,00 Allevo ,5,9

71 La devazone standard, calcolata su un gruppo d N sure, assolve bene l copto d ncertezza da assocare alla sngola sura della grandezza n esae, entre per quello che rguarda l'ncertezza sulla eda s rcorre ad un'altra grandezza ancor pù donea allo scopo. Supponao d aver rcavato N sure della stessa grandezza : da queste abbao po calcolato la glor sta attraverso la eda e ora c apprestao a dare una valutazone dell'ncertezza da assocare a tale sta. S consdera una pra quanttà chaata scarto o devazone. Tale grandezza è così defnta: d Questa dfferenza c da una ndcazone d quanto la -esa sura dffersce dalla eda: n generale se tutt gl scart sono olto pccol allora le nostre sure saranno tutte vcne e qund presublente olto precse.

72 Il odo pù seplce è quello d elevare al quadrato le sngole devazon ottenendo tutte quanttà postve e qund n grado d essere soate tra loro senza ncorrere n un rsultato nullo. Dopodchè s può passare a calcolare la eda estraendone la radce quadrata per ottenere una grandezza copatble, a lvello d untà d sura, con quella d partenza: la grandezza così ottenute è detta devazone standard. N 1 N La devazone standard così ottenuta s rvela olto utle per quantfcare l'ntervallo entro l quale s dstrbuscono le vare sure: n partcolare, attraverso lo studo della dstrbuzone norale, s ha che l 68% delle nostre sure dovrebbe trovars all'nterno dell'ntervallo centrato sulla eda e d estre + e -. S può noltre assuere la devazone standard coe errore da assocare al valore edo della sura: così facendo sao scur al 68% d aver ndvduato l'ntervallo entro l quale l valore vero della grandezza dovrebbe cadere.

73 La grandezza da assocare alla eda della sure effettuate è la devazone standard della eda ed è defnta coe N Utlzzando questa nuova grandezza coe ncertezza da assocare alla eda d N sure,s assue che le sngole sure effettuate s sano dstrbute seguendo la dstrbuzone d Gauss e d conseguenza abbao consderato la devazone standard pù coe ncertezza sulle sngole sure che sulla eda d quest'ulte.

74 Coe leggere rsultat Nella tabella successva sono rportat dat relatv alla eda, alla devazone standard, al valore no e asso, alla edana e alla oda. Vedao coe leggere quest dat autandoc con le defnzon d tal valor statstc ed un esepo d rsultat ottenut da una scuola. I puntegg sono noralzzat a 100: la scala d rferento ha coe valore no 0 (le rsposte a tutt quest della prova sono errate) e coe valore asso 100 (le rsposte a tutt quest della prova sono corrette).

75 Dev. Meda Mn. Ma. Moda Medana standard scuola 59,3 16,9 0,0 98, 73,3 61,3 Meda (o punteggo edo) È la soa de puntegg ottenut dagl student dvso l nuero totale degl stess. Una eda elevata ndca la presenza nella scuola d elevate copetenze, al contraro una eda bassa ndca la presenza d scarse copetenze nella scuola. Nell'esepo la Meda (o punteggo edo) è 59,3; Moda È l punteggo ottenuto pù frequenteente dagl student, nell'esepo la scuola ha ottenuto coe valore odale 73,3. Ovvero tra tutt puntegg possbl tra 0 e 100, tale punteggo è quello ottenuto da pù student. Medana È l punteggo n corrspondenza del quale gl student vengono esattaente dvs n due part ugual. Nell'esepo la edana corrsponde a 61,3 e ndca che l 50% degl student ha ottenuto un punteggo nferore a 61,3% e che l restante 50% ha ottenuto un punteggo superore al 61,3;

76 Dev. Meda Mn. Ma. Moda Medana standard scuola 59,3 16,9 0,0 98, 73,3 61,3 Mno E' l punteggo pù basso ottenuto dagl student. Nell'esepo l punteggo no è 0,0; Masso E' l punteggo pù alto ottenuto dagl student. Nell'esepo l punteggo asso è 98,; Devazone standard È una sura della dspersone del punteggo ntorno al punteggo edo. Un basso valore della devazone standard ndca che puntegg sono concentrat ntorno alla eda e che le copetenze degl student sono oogenee; al contraro una devazone standard alta ndca che le copetenze degl student sono dsoogenee. Nel nostro esepo, aggungendo e sottraendo al punteggo edo (59,3) la devazone standard (16,9) s ottene un ntervallo (4,4-76,) n cu s trova l 68% degl student. Analogaente aggungendo e sottraendo volte la devazone standard s ottene un ntervallo (5,5-93,1) n cu s trova l 95% degl student.

77 Il etodo de n quadrat consente d approssare edante una sere d funzon una sere d dat con errore quadratco no; quando la sere d funzon utlzzata pega polno d grado non superore al pro s affera che la curva d regressone è lneare.

78 Perché propro la soa de quadrat degl scart? La soa degl scart non è adatta a quantfcare l'aderenza della retta agl n punt. Gl scart possono essere nfatt postv o negatv e la loro soa può essere pccola n valore assoluto anche per rette charaente nadatte a descrvere gl n punt. Per esepo, sano dat tre punt allneat (1,1), (,), (3,3). Ovvaente la glor retta è = ; la soa degl scart è nulla. Ma è nulla anche per qualunque retta pass per (,), con equazone = ( )+. Dunque servono scart che sano surat da valor postv. In quest ottca la soa de quadrat anzché de valor assolut s sposa n odo naturale con la eda artetca: la eda artetca d una sequenza d nuer gode della propretà d rendere na la soa de quadrat degl scart.

79 La glor retta" deve rendere l pu possble pccol valor assolut degl scart dvs per rspettv error. E charo che rendere pccolo uno scarto plca renderne grand altr, qund occorre un coproesso.

80 Qund avendo a dsposzone la sere d n punt:,,,,, 1 1 n n voglao deternare la retta =+q tale che la soa degl scart quadratc da punt della sere sa na. Lo scarto quadratco è defnto par a ( -( )), ovvero la dfferenza tra l valore reale della sere e quello stato dalla retta d regressone.

81 Il resduo è defnto coe la soa degl scart quadratc ed: n 1 q q 1 1 n n ed ( ) = +q è l valore stato dalla retta d regressone lneare nel punto. Applcando alcun rsultat not dell anals ateatca, s ottene che la retta per cu l resduo è no è data dal no locale della equazone d resduo rspetto alle due varabl e q. La tecnca d rcerca d un no locale plca la rsoluzone del sstea d equazon ottenuto uguaglando a zero le dervate parzal della: 0 0 q

82 La glor retta corrsponde a valor de paraetr a e b che rendono na la quanttà: dove e l'errore sulla sura. N N q z 1 1 N N q q z q z 1 1

83 Questo è un sstea d due equazon lnear n due ncognte, che aette una sola soluzone. N N N N N N q q Possao rscrvere le due equazon n questo odo:

84 La soluzone del sstea d equazon è qund: 1 1 N q N L errore su valor d è dato da: n n q n n

85 I paraetr e q (o a e b) rsultano ovvaente affett da errore pochè lo sono valor. Le equazon suddette perettono d calcolare edataente l'errore su e su q (dato che s tratta d error statstc!). L errore su paraetr deternat analtcaente è dato da:

86 Indcando con: N N 1 N 1 q N Abbao così deternato la glor lnea retta che approssa un certo nsee d punt sperental, rendendo na la soa de quadrat delle dstanze, surate nella drezone dell'asse, de punt dalla retta. La retta così deternata s dce retta d regressone d su.

87 A questo punto, c s chede: qual è la bontà dell approssazone? E accettable lo scostaento? La covaranza consente d verfcare se fra due varabl statstche X e Y esste un legae lneare. La covaranza è data da Essa è la eda de prodott degl scart delle osservazon delle varabl X e Y dalle loro ede.

88 La covaranza presenta alcune propretà: 1: Se le varabl X e Y sono ndpendent la covaranza è nulla: : La covaranza dpende dall untà d sura nella quale sono espresse le varabl, l suo valore vara se s altera la scala. Pertanto l valore della covaranza non è d per sé sgnfcatvo, esso può essere odfcato varando l untà d sura nella quale sono espresse le varabl.

89 Il coeffcente d correlazone lneare è un ndce n grado d fornre nforazon sulla bontà del legae lneare tra le varabl. Infatt l segno della covaranza, quando essa è dversa da zero, ndca se v è concordanza o dscordanza, a l suo valore dpende dall untà d sura e pertanto non dà nforazon sull ntenstà del legae lneare.

90 Propretà 1. Il coeffcente d correlazone assue valor nell ntervallo ( 1,1) Propretà. Il coeffcente d correlazone vale 1 n valore assoluto se fra le varabl v è perfetta dpendenza lneare Propretà 3. Se le varabl sono ndpendent l coeffcente d correlazone è nullo

91 Per esepo ettendo dat n un apposto software, ottenao un valore d r d 0.86; questo valore è >0, e qund la correlazone è postva; noltre, l coeffcente assue un valore abbastanza alto, e cò dostra che la correlazone è buona. In altr tern, le due varabl vanno d par passo, nel senso che quando auenta l valore dell'una auenta generalente (e proporzonalente) anche l valore dell'altra. Qund, dal valore della varable ndpendente può essere approssatvaente desunto quello della varable dpendente. Una volta ottenuto r, possao calcolare r (r-quadrato), seplceente elevando r al quadrato. r vene detto anche coeffcente d deternazone ed è un ndce rcco d sgnfcato, n quanto espre la varabltà nella varable dpendente spegata dalla varable ndpendente. In parole pù seplc, r rappresenta la varazone ne valor d che può essere gustfcata dalla varazone d.

92 John R. Talor Introduzone all anals degl error Zanchell