La Regressione lineare in presenza di errori su x e su y studiata mediante Excel. Pietro Romano Liceo Scientifico Statale Leonardo Giarre

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1 La Regressone lneare n presenza d error su e su studata edante Ecel. Petro Roano Lceo Scentfco Statale Leonardo Garre

2 1. Preessa In ueste pagne vene dscusso un approcco al problea della deternazone della retta d regressone uando sono present error su entrabe le varabl e, che fa uso del foglo elettronco Ecel... La teora della regressone lneare con error sulla e sulla. Indchao con, 1,..., n, n coppe d valor, rsultato d una rlevazone sperentale. Se le sure non fossero affette da errore e nell potes che relazone che lega dat sa d tpo lneare, uest s dsporranno su una retta. In realtà, la presenza nevtable d error fa sì che dat sperental non s trovno su una stessa retta e l problea della regressone lneare consste nella rcerca della retta d best ft, ossa d uella retta che eglo s adatta ad ess. X, gl potetc dat ver ossa valor che s otterrebbero nel caso, deale, n cu le sure delle due grandezze e non fossero affette da errore e con X,, Concao con l ndcare con Y per defnzone, v appartengono, ossa: l euazone della retta d best ft. I punt sano dstrbute noralente attorno a valor ver standard par a σ Y Y X,. Supponao che le sure X Y con devazon. La probabltà che s realzz l rsultato sperentale σ trovato, nell potes d ndpendenza delle sngole deternazon,, è par a: X Y 1 1 P e 1 σ 1 σ e e σ π σ π n π σ σ e rsulta assa uando è na l espressone: χ X Y [ X Y ] σ σ che rappresenta la soa de uadrat degl scart sulla e sulla da u la denonazone d etodo de n uadrat, I var tern d uesta soatora sono pesat attraverso le uanttà 1 o 1 σ, che per σ tale ragone prendono la denonazone d pes statstc assocat alle varabl. La non contene paraetr e della retta d best ft; sono nvece present le X,. S procederà ora alla elnazone d ueste ncognte a vantaggo de paraetr e della retta d best ft. A tale scopo, s fa uso del etodo de oltplcator d Lagrange, applcato alla funzone, f X, Y X Y λ X Y. uanttà ncognte Y [ ] dove è esplctaente presente l vncolo d appartenenza de punt Y. χ 1 X, alla retta 1

3 Dervando rspetto a X e Y e uguaglando a zero ueste dervate, s ottene 1 : 1 X Y Y Y f X X f λ λ 3 Rsolvendo l sstea costtuto dalla 3 e dalla X Y, s trovano le espresson per X e per Y : Y X 4 che, sosttute nella, c perettono d ottenere una espressone d χ n cu non sono pù present valor Y X, a paraetr e della retta d best ft: χ 5 avendo posto:. 5 L obettvo dventa ora la rcerca del no assoluto della funzone 5 al varare de paraetr e. Osservao che le dervate: χ χ 6 sono, assee alla 5, funzon contnue rspetto a e. Ne segue che tra gl estre relatv della 5 c è certaente l no assoluto. Da χ, segue: 1 Osservazone 1: la condzone espressa n 3 è legata ad un no delle funzone vncolata, coe s verfca faclente col etodo delle dervate seconde. Osservazone : Il sgnfcato della 3 rsulta pù ntutvo se s consdera l caso seplce n cu pes statstc sono tutt ugual oppure non sono not e vengono post ugual a 1. La 3 dventa: X Y 1 I da cu s deduce che la condzone d no per la, che n uesta stuazone partcolare rappresenta la soa de uadrat delle dstanze tra punt, e Y X,, s ha uando l punto Y X, è l pede della perpendcolare traccata dal punto, alla retta d regressone.

4 3 7 dove s è posto: e 7 Abbao und una espressone d n funzone del paraetro. Utlzzando uesta espressone nella 5, la funzone χ assue la fora: [ ] χ 8 che contene la condzone d no rspetto a ed è funzone solo d. Questa funzone presenta un asntoto orzzontale, rsultando: [ ] l χ. Utlzzando la 7 nella seconda delle 6 e ponendo uguale a zero, s trova la fora: A A A A F 9 dove: A A A A ; 4 ; La funzone F è contnua e rsulta l F. Dato che coeffcent A dpendono da, non è possble dedurre dalla 9 una espressone analtca per e le soluzon d uesta euazone possono essere ottenute solaente per va nuerca. Queste soluzon, coe gà detto, corrsponderanno agl estre relatv d χ e, tra esse, uella assocata al no assoluto è la soluzone del problea. Gl error su paraetr e sono conseguenza del fatto che le sure delle grandezze e sono affette da error e s valutano attraverso la forula d propagazone degl error nelle sure ndrette: σ σ σ σ σ σ 11 Quando s trascurano gl error sulla, l problea è d pù seplce trattazone e s dostra che la funzone Y χ ha un solo estreo relatvo, che è un no. E noltre possble deternare le espresson analtche d e d, senza rcorrere al calcolo nuerco.

5 Non essendo possble dedurre una espressone analtca per, le dervate parzal present n uesta espressone dovranno essere deternate anch esse per va nuerca. Pù avant verrà descrtto l etodo utlzzato. 3. Il problea delle regressone con error sulla e sulla affrontato con Ecel. Il foglo elettronco Ecel dspone d una olteplctà d struent d calcolo e d funzon per la rappresentazone grafca de dat che hanno peresso d affrontare uesta probleatca e d rsolverla, passando attraverso le vare fas che u d seguto vengono descrtte: a Studo grafco delle funzon χ e F e pra sta de valor d che sono estre per la funzone χ. Le funzon χ e F sono espresse rspettvaente dalla 8 e dalle 9-1. Queste contengono le uanttà rel. 5, ed rel. 7, a loro volta funzon d. Per rappresentare grafcaente ueste due funzon, è necessaro pra effettuarne l calcolo per un adeguato nuero d valor d. A tale scopo, è stata scrtta una routne n codce V.B.A. Vsual Basc for Applcatons, che vene rprodotta n tab. I Calcola_Funzon. Tenendo conto del fatto che le due funzon presentano entrabe un asntoto orzzontale, s fssa a pacere un ntervallo d valor d, [, n a ], suffcenteente apo da evdenzare uesto coportaento asntotco; la routne suddvde uesto ntervallo n 5 part e calcola valor d χ e d F, nserendo rsultat del calcolo nel foglo d lavoro. Quest dat vengono und rappresentat grafcaente. L osservazone del grafco consente, a uesto punto, d apportare eventual, per po rpetere la procedura d calcolo. odfche all ntervallo [ ] n, a La routne, noltre, deterna gl estre della funzone χ e se s tratta d ass o d n, l valore d χ ad ess assocato, ed relatv valor d e d. L approssazone n uesta fase è legata al valore d d, par a a n. 5 b Deternazone de paraetr e edante lo struento d anals Rsolutore. Lo studo precedente c perette d ndvduare una pra approssazone del valore d per cu χ presenta l no assoluto. Per una pù precsa deternazone d, s è fatto uso dello struento d anals Rsolutore. Per coprendere l funzonaento del rsolutore, supponao che un certo gruppo d celle d un foglo d lavoro ad es., le celle A1, A, A3 detern l rsultato che vene calcolato n un altra cella ad es., A4. Denotereo la cella A4 col noe cella obettvo. Il rsolutore consente d postare n un certo nuero d od la cella obettvo ad es., a zero, ad un deternato valore, ad un valore nore d., etc. varando entro lt defnbl dall utente una o pù delle celle da cu esso è deternato. Oltre a cò, è possble postare paraetr ual la precsone, la tolleranza, etc. Per nforazon pù dettaglate, s randa 4

6 all help n lnea d Ecel. In fg., è possble vedere una zona del foglo d lavoro predsposta per l calcolo delle funzon F cella L: e χ cella O5. La zona B8:G7 è rservata a dat; la zona H8:H7, al calcolo de contrbut rel. 5, la cu soa vene valutata n H5; la zona K8:K7 al calcolo de contrbut A 3 la pra delle 1; e così va. Le frecce, che puntano sulle celle contenent valor calcolat d F e d, ndcano ual sono le celle drettaente convolte nel calcolo delle suddette uanttà. Punto d partenza del calcolo è l valore d, che và nserto nella cella H. Il rsolutore vene utlzzato postando la cella L cella obettvo, che contene l valore d F, al valore, varando l valore d cella H. E opportuno nserre n H l valore d ndvduato nella fase precedente. La rcerca edante l Rsolutore vene resa autoatca edante una routne n codce V.B.A. tab. II: c Deternazone degl error su paraetr σ e σ. Dalle 11 segue che, per valutare uest error, è necessaro conoscere le varazon de paraetr e al varare d ogn sngolo e d ogn. Per valutare, ad esepo, la varazone d al varare d 1, s sosttusce uesta uanttà una volta con 1 1 ed una volta con 1 1. Utlzzando l rsolutore, s deternano due valor d ed assocat a ueste due stuazon, s calcola la uanttà, s calcola und 1 procedura s rpete per tutt valor e σ 1. La 1. La soa d tutt contrbut così deternat fornsce σ. Una procedura analoga và seguta per deternare σ. L utlzzo del Rsolutore per l calcolo degl error vene reso autoatco attraverso la routne V.B.A. Calcola_error_su_paraetr tab. III. 4. Dscussone d alcun esep. Esepo n. 1: Coe pro esepo, prendao n consderazone dat n tab. IV. In fg. 3 s rporta l andaento d F e d χ. Questa stuazone è la pù seplce possble, n uanto la funzone χ presenta un solo estreo relatvo, che è un no evdenzato n grafco con un cercho peno, a cu è assocato lo zero d F. Le due funzon ostrano po l loro coportaento asntotco. L euazone della retta d best ft è: [ ±.358] [.139 ±.18] E1 Il rsultato è pratcaente lo stesso d uello che s ottene effettuando un best ft pesato con error solo su, e cò derva dal fatto che gl error sulla sono pccol rspetto a uell sulla. In fg. 4, vengono rappresentat dat con le relatve barre d errore, la retta d best ft e le due rette lte. S è scelto d rappresentare solo una parte de dat 5

7 per consentre d apprezzare alcun dettagl ual le barre d errore su che, algrado cò, rsultano solo appena vsbl. Esepo n. : Prendao adesso n esae dat d tab. V. In fg. 5, le funzon F e d χ vengono rappresentate per varable n [ 5, 5]. In uesto ntervallo, la funzone χ presenta uattro estre relatv evdenzat n fgura con cerch pen. Per ±, s è verfcato che le funzon hanno l coportaento asntotco prevsto. La tab. VI rporta la tpologa degl estre e valor che la funzone χ assue n ess. Da u, s ndvdua l no assoluto per. 68. L anals pù approfondta condotta col rsolutore fornsce la seguente retta d best ft: [.6843 ±.835] [ ±.391] E Per confronto, s fornsce l euazone della retta d best ft che s ottene effettuando una regressone pesata con error solo su, und una regressone pesata con error solo su, ed nfne una eda pesata de paraetr che s ottengono da due passagg precedent 3 l calcolo degl error vene effettuato con le forule d propagazone: [.5378 ±.46] [ 1.63 ±.64] E3 In fg. 6, vengono rappresentat dat con le relatve barre d errore, la retta d best ft e le due rette lte. Esepo n. 3: Lascando nalterat dat, d tab. IV, odfchao le ncertezze assuendo ora F e d. La fg. 7 ostra coe l andaento delle funzon χ sa olto dverso rspetto alla stuazone precedente. In partcolare, la funzone χ ostra ora solo due estre relatv, contro uattro estre che presentava pra. Il calcolo edante l rsolutore della retta d best ft e degl error su paraetr fornsce fg. 8: [.7565 ±.51] [ ±.669] E4 Coe per l esepo precedente, s fornsce, per confronto, l euazone della retta d best ft che s ottene effettuando una regressone pesata con error solo su, und una regressone pesata con error solo su, ed nfne una eda pesata de paraetr che s ottengono da due passagg precedent: [.7875 ±.15] [ ±.1383] E5 3 l etodo ha però l dfetto concettuale che non consdera che paraetr della retta sono deternat dalla presenza conteporanea degl error sulla e sulla. 6

8 Bblografa [1]. G.L. Rghett, Deternazone della retta d regressone nel caso d ncertezze su entrabe le varabl, La fsca nella scuola, n. 4, ott.-dc []. J.R. Talor, Introduzone all anals degl error, Zanchell, Bologna, 198. [3]. B.C. Reed, Lnear least suares fts wth errors n both coordnates, A. J. Phs. 57, [4]. B.C. Reed, Lnear least suares fts wth errors n both coordnates II, A. J. Phs. 6, [5]. Cabrge Unverst Press, Nuercal recpes n C: the art of scentfc coputng

9 Fg.1: Deternazone della poszone sulla retta d best ft del punto vero X, Y rspetto al punto sperentale,, nel caso n cu pes statstc sono tutt ugual oppure non sono not.,1,1,16,3,1531,1,4,3,4,1,3,3,555,1,41,3,31,1,49,3,3593,1,57,3,46,1,65,3,45,1,73,3,51,1,81,3,559,1,89,3,611,1,98,3,6549,1 1,6,3,765,1 1,15,3,75,1 1,4,3,887,1 1,3,3 Tab. IV: dat relatv all esepo 1. 8

10 Sub Calcola_Funzon Range"D8:E58".ClearContents n_punt Sheets1.Range"A1" _n Range"C3" _a Range"C4" d Range"C4"-Range"C3 /5 For 1 To n_punt X Sheets1.Cells, Y Sheets1.Cells, 5 X Sheets1.Cells, 4 Y Sheets1.Cells, 7 Net scrv_alla_rga 7 For _n To _a Step d scrv_alla_rga scrv_alla_rga 1 I_tot For 1 To n_punt I X * Y / ^ * Y X I_tot I_tot I I * X I * Y Net / I_tot / I_tot Q _ - _ * A_3 : A_ : A_1 : A_ ch_uadro For 1 To n_punt I X * Y / ^ * Y X A_3 A_3 - * I ^ * X - _ ^ / X A_ A_ 4 * I ^ * X - _ * Y - _ / X A_1 A_1 - * I * I * Y - _ ^ / X - X - _ * X A_ A_ - * I * Y - _ * X ch_uadro ch_uadro I * Y - * X - Q ^ Net F A_3 * ^ 3 A_ * ^ A_1 * A_ Cellsscrv_alla_rga, 4 F Cellsscrv_alla_rga, 5 ch_uadro Net Range"H8:K14".ClearContents scrv_alla_rga 7 conta_estre For k 8 To 55 If Cellsk, 6 * Cellsk 1, 6 < Then If Cellsk, 6 < Then conta_estre conta_estre 1 Cellsscrv_alla_rga conta_estre, 8 "no" Else conta_estre conta_estre 1 Cellsscrv_alla_rga conta_estre, 8 "asso" End If Cellsscrv_alla_rga conta_estre, 9 Cellsk, 5 Cellsk 1, 5 / Cellsscrv_alla_rga conta_estre, 1 Cellsk, 3 Cellsk 1, 3 / Cellsscrv_alla_rga conta_estre, 11 _ - _ * Cellsk, 3 Cellsk 1, 3 / End If Net k End Sub Tab.I: Routne n codce V.B.A. per l calcolo de valor delle funzon F. χ ed 9

11 Sub avvo_autoatco_rsolutore * Lettura dat Sheets"Inserento dat".range"b3:g1".cop Sheets"Regressone con error su e ".Range"B8".PasteSpecal Paste:lValues, Operaton:lNone, SkpBlanks:False, Transpose:False * Opzon d calcolo del rsolutore SolverOptons ate:1, Iteratons:1, Precson:.1, _ AssueLnear:False, StepThru:False, Estates:1, Dervatves:1, _ SearchOpton:1, IntTolerance:5, Scalng:False, Convergence:.1, _ AssueNonNeg:False * Ipostazone ed esecuzone del rsolutore SolverOk SetCell:"L$", anval:3, ValueOf:".", BChange:"$H$" * Chusura rsolutore SolverSolve userfnsh:true End Sub Tab. II: Routne V.B.A. per l avvo autoatco del rsolutore. Sub Calcola_error_su_paraetr SolverOptons ate:1, Iteratons:1, Precson:.1, _ AssueLnear:False, StepThru:False, Estates:1, Dervatves:1, _ SearchOpton:1, IntTolerance:5, Scalng:False, Convergence:.1, _ AssueNonNeg:False Range"AG8:AR17".ClearContents rsolv n_punt Sheets1.Range"A1" dd.1 scrv_alla_rga 7 For 1 To n_punt X Sheets1.Cells, 4 Y Sheets1.Cells, 7 Net For k 1 To 4 * n_punt For 1 To n_punt X Sheets1.Cells, Y Sheets1.Cells, 5 Net If k < n_punt Then Xk Xk - dd / SrXk / Xk ElseIf k > n_punt And k < * n_punt Then Xk - n_punt Xk - n_punt dd / SrXk - n_punt / Xk - n_punt ElseIf k > * n_punt And k < 3 * n_punt Then Yk - * n_punt Yk - * n_punt - dd / SrYk - * n_punt / Xk - * n_punt Else Yk - 3 * n_punt Yk - 3 * n_punt dd / SrYk - 3 * n_punt / Xk - 3 * n_punt End If For 1 To n_punt Cells7, 18 X Cells7, 1 Y Net SolverOk SetCell:"L$", anval:3, ValueOf:"", BChange:"$H$" SolverSolve userfnsh:true If k < n_punt Then Cellsscrv_alla_rga k, 33 Xk Cellsscrv_alla_rga k, 34 Range"H" Cellsscrv_alla_rga k, 35 Range"J" ElseIf k > n_punt And k < * n_punt Then Cellsscrv_alla_rga k - n_punt, 36 Xk - n_punt Cellsscrv_alla_rga k - n_punt, 37 Range"H" Cellsscrv_alla_rga k - n_punt, 38 Range"J" ElseIf k > * n_punt And k < 3 * n_punt Then Cellsscrv_alla_rga k - * n_punt, 39 Yk - * n_punt Cellsscrv_alla_rga k - * n_punt, 4 Range"H" Cellsscrv_alla_rga k - * n_punt, 41 Range"J" Else Cellsscrv_alla_rga k - 3 * n_punt, 4 Yk - 3 * n_punt Cellsscrv_alla_rga k - 3 * n_punt, 43 Range"H" Cellsscrv_alla_rga k - 3 * n_punt, 44 Range"J" End If Net k End Sub Tab. III: Routne V.B.A. per l calcolo degl error su paraetr e. 1

12 Fg. : Calcolo edante l Rsolutore. 11

13 F χ Fg. 3: rappresentazone grafca delle funzon F e χ per dat d tab. IV. 1

14 Dat sperental Regressone pesata 1,5 1,95,9,85,8,75,5,55,6,65 Fg. 4: retta d best ft per dat dell esepo 1 tab. IV. Y,51 1,1558,9,4183, , ,4, ,8338,8386 1, ,3666-4,3, ,5, ,71 1, ,17 1, ,19,4316 3,98663, ,41651, ,883, ,1,3144 3,97, ,8393, ,3, ,116 1,943543,67,1367 -,66,171876,97774,58489,5865, ,519735, ,5679,75766,495, ,4, ,71 1, ,18,6758-1,75, ,8 1,884615,6 1, ,38, ,8, ,46936,63657,483576,7863,35 1,166 1,75,1736-5,14, ,9 1,99818 Tab. V: dat relatv all esepo. 13

15 F χ Fg. 5: Le funzon F e χ per dat d tab. V e per [ 5, 5]. 14

16 Tpo d estreo χ asso 68, , , no 44, ,495 4, asso 58, ,1674 3, no 11, ,68 1, Tab. VI: Caratterstche d Euazone dell asntoto orzzontale: χ dat d tab. V Dat sperental Regressone pesata Fg. 6: retta d best ft per dat dell esepo tab. V. 15

17 F χ Fg. 7: Le funzon F e χ per dat d tab. V con le ncertezze odfcate e per [ 1,1 ]. 16

18 Dat sperental Regressone pesata Fg. 8: retta d best ft per dat dell esepo 3. 17