Carla Seatzu, 18 Marzo Una coda è costituita da 3 componenti fondamentali: i serventi i clienti

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1 7. Teora delle Code Una coda è costtuta da 3 coponent fondaental: servent clent Carla Seatzu, 8 Marzo 8 uno spazo n cu clent attendono d essere servt (coda d attesa). clent n arrvo coda d attesa serv. serv. serv. clent n uscta

2 Esep: sste d councazone, d trasporto, sste nforatc, ecc. Funzonaento Un clente (o utente) entra nella rsorsa. Se v sono servent lber, entra n un sstea d servzo, altrent s ette n coda. Non appena un servente s lbera, se v sono clent n coda, uno d ess vene scelto ed entra nel sstea d servzo.

3 Le caratterstche pecular d un sstea a coda sono le seguent: Modaltà degl arrv. L ntervallo d tepo tra due arrv consecutv è detto tepo d nter-arrvo. Questo può essere deternstco stocastco con dstrbuzone esponenzale o eno 3

4 Modaltà d servzo. Il tepo per servre un utente vene detto tepo d servzo. Questo può essere deternstco stocastco con dstrbuzone esponenzale o eno 4

5 N.B. Un sstea a coda è detto arkovano quando l tepo d nter-arrvo e l tepo d servzo hanno una dstrbuzone esponenzale. Equvalenteente, possao dre che l sstea è arkovano se e solo se l processo degl arrv e l processo de servz sono Possonan. In generale questo non è vero. 5

6 Nuero d servent (). Può essere: - : servente sngolo, - > : servente ultplo, - : nfnt servent. S not che n ogn caso, ogn servente può servre un solo utente alla volta. 6

7 Capactà della coda. Indca l nuero asso d utent che possono stare nella coda d attesa. Può essere: - N + : capactà fnta, - : capactà nfnta. S not che nel caso n cu la coda abba una capactà fnta, se un utente arrva quando la coda è pena, tale utente vene respnto. 7

8 Densone della popolazone. Indca l nuero d potenzal clent. S assue quas sepre che tale nuero sa par ad. Dscplna d coda (o poltca d servzo). Indca la poltca con cu gl utent n coda vengono aess al sstea d servzo. Ad es., FIFO (frst n-frst out) LIFO (last n - frst out) SIRO (servce n rando order) GD (general dscplne, tutt gl altr cas). 8

9 Notazone d endall: descrve una coda n una rsorsa coe una strnga d 6 cap: dove: A / B / / / N / ω A ndca la odaltà degl arrv: A {D,M,G} (D: arrv deternstc, M: tep d nterarrvo con dstrbuzone esponenzale --> processo arkovano, G : tep d nterarrvo con dstrbuzone qualunque). B ndca la odaltà d servzo : B {D,M,G} ndca l nuero de servent: N + {+ } 9

10 ndca la capactà della coda d attesa : N + {+ } N ndca la densone della popolazone : N N + {+ } ω ndca la dscplna della coda : ω { FIFO, LIFO, SIRO, GD}. N.B. Soltaente gl ult 3 cap s oettono nel caso n cu sa N e ω FIFO.

11 Grandezze caratterstche: x(t) N : nuero d utent nella rsorsa all stante d tepo t. (t) [,] : probabltà che l nuero d utent nella rsorsa sa all stante t. x(t) R + : nuero atteso d utent nella rsorsa all stante t: x(t) (t) (z,t) : funzone generatrce d probabltà assocata a (t): (z, t) (t) z

12 x c (t) N : nuero d utent n coda all stante t. x x x c c c (t) (t) (t) x(t) se se x(t) x(t) > (t) [,] : probabltà d avere utent n coda all stante t. x c (t) R + : nuero atteso d utent n coda all stante t: x (t) ˆ (t) c (z,t) : funzone generatrce d probabltà assocata a (t): ˆ (z,t) ˆ (t) z

13 (t) R + : tasso d arrvo, ossa nuero edo d arrv nell untà d tepo all stante t. Charaente /(t) rappresenta l tepo edo d nter-arrvo all stante t. (t) R + : tasso d servzo, ossa nuero edo d servz nell untà d tepo all stante t. Charaente /(t) rappresenta l tepo edo d servzo all stante t. (t) (t)/(t) : ntenstà d traffco all stante t. ϑ c (t) : tepo edo speso n coda all stante t. ϑ(t) : tepo edo speso nella rsorsa all stante t. 3

14 Legge d Lttle Se un sstea a coda è ergodco, n condzon d rege valgono le seguent relazon: x ϑ x c ϑ c 4

15 Nel seguto esanereo l coportaento de seguent sste a rege: M/M/ M/M/ (rsorsa classca) con scoraggaento degl arrv M/M// (coda con capactà ltata) M/M/ M/M/ (coda con un nuero fnto d servent) (coda con un nuero d servent nfnto) In tutt cas potzzereo che process sano ergodc. 5

16 M/M/ η tasso d uscta Può essere descrtto coe un processo nascta-orte n cu: (tasso d nascta) non dpende dallo stato; (tasso d orte) non dpende dallo stato processo oogeneo e unfore 6

17 3 Lo stato è par ad x(t), ossa al nuero d utent nella rsorsa al tepo t. Poché l processo è lltato e per potes anche ergodco, deve avers che < Per defnzone nfne, tep d nter-arrvo e d servzo sono dstrbut esponenzalente. 7

18 Usando la teora vsta n precedenza, possao calcolare seguent paraetr sgnfcatv. Probabltà che v sano utent nella rsorsa a rege ( ) Fattore d utlzzo della rsorsa a rege υ ( ) 8

19 Tasso d uscta a rege (ossa produttvtà del servente a rege) η ( ) Nuero edo d utent nella rsorsa a rege x ( ) 9

20 Tepo edo d attraversaento della rsorsa a rege (ossa tepo edaente speso nella rsorsa a rege) ϑ x ( ) Tepo edo d servzo a rege ϑ s

21 Nuero edo d utent n coda a rege Essendo la coda a servente sngolo: ϑ ϑ c + /, per cu per la Legge d Lttle (ϑ x/, ϑ c x c /), x x c + / x c x x ( ) ( ) Nuero edo d servent occupat a rege xs x - xc - - -

22 Fattore d utlzzo del servente a rege x ~ s Tepo edo speso n coda a rege ϑ c x c ( ) ( ) È facle qund osservare che per, x, ϑ e ϑ c.

23 M/M/ con scoraggaento degl arrv ng η abb I tass d arrvo e d servzo hanno dstrbuzone esponenzale con paraetr caratterstc e rspettvaente. Ipotes: pù la coda è lunga, pù un utente s scoragga. ng decresce al crescere del nuero d utent nella rsorsa. 3

24 Per descrvere questa coda coe un processo nascta-orte faccao le seguent potes:. Il tasso delle nascte a partre dallo stato è: + ossa decresce secondo una legge perbolca all auentare del nuero d clent nella rsorsa.. Il tasso delle ort è par al tasso d servzo qualunque sa l nuero d utent nella rsorsa. 4

25 / /3 3 Il verfcars della condzone < è suffcente per l ergodctà del processo. Infatt se tale dseguaglanza è verfcata, a aggor ragone è vero che < per k (k + ) 5

26 6 Probabltà che a rege v sano utent nella rsorsa L,,, 3 3 3! 3 ) ( ) ( e!!!

27 e - e! - Fattore d utlzzo della rsorsa a rege ν - e Tasso d uscta a rege (ossa produttvtà del servente a rege) η ( ) ( e ) 7

28 Tasso d ngresso nella rsorsa a rege (ossa tasso d utent aess nel sstea a rege) A rege ng η η ng abb ng ( e ) Tasso d abbandono a rege abb - -( e ) ( - + ng e ) 8

29 Nuero edo d utent nella rsorsa a rege. Usao la funzone generatrce d probabltà a rege: (z) (z) z! z, e - e! e - - z! e - e /z e /z- x d dz (z) z -+ /z e z z x All auentare dell ntenstà del traffco, la condzone d rege s raggunge con un nuero d utent nella rsorsa crescente. 9

30 Nuero edo d utent n coda a rege Essendo la coda a servente sngolo: ϑ ϑ c + /, per cu per la Legge d Lttle (ϑ x/ ng, ϑ c x c / ng ), x x c + ng / x c x ng (- e - ) (- e - ) 3

31 Tepo d attraversaento della rsorsa a rege (ossa tepo edaente speso nella rsorsa a rege) x ϑ ( e ) ng Tepo edo speso n coda a rege ϑ c ϑ ( e - ) -( e ( e - ) ) 3

32 Nuero edo d servent occupat a rege - x s x - xc e - e - Fattore d utlzzo del servente a rege ~ xs e Tepo edo d servzo a rege ϑ s 3

33 M/M// (coda con capactà ltata) ng - η abb I tass d arrvo e d servzo hanno dstrbuzone esponenzale con paraetr caratterstc e rspettvaente. N.B. Nella notazone d endall, ndca l nuero d clent nella coda d attesa entre no ora stao ndcando con l nuero d clent nell ntera rsorsa. 33

34 Anche questo processo può essere studato coe un processo d nascta orte n cu:. Il tasso delle nascte dpende dallo stato: <. Il tasso delle ort è par al tasso d servzo qualunque sa l nuero d utent nella rsorsa. Il sstea è qund sepre ergodco anche nel caso n cu non sa verfcata la condzone < necessara nel caso d process con un nuero d stat nfnto. 34

35 35 - Probabltà d stato a rege > < M

36 > 36

37 Fattore d utlzzo della rsorsa a rege concdente con l fattore d utlzzo del servente a rege ν ( ~ + + ) > è, > è la probabltà che l servente lavor Tasso d uscta a rege (ossa produttvtà del servente a rege) η - ( ) ~

38 Tasso d ngresso nella rsorsa a rege (ossa tasso d utent aess nel sstea a rege) A rege ng η η ng abb ng Tasso d rfuto (o d abbandono) a rege abb ng

39 39 + abb - (- ) Nuero edo d utent nella rsorsa a rege. Usao la funzone generatrce d probabltà a rege: + + z z z (z) Per l tasso d abbandono.

40 4 /z /z) z (z) + + ( ) )( ( ) ) ( ( (z) dz d x z ( ) ( ) () x l x l x /

41 Tepo edo d attraversaento della rsorsa a rege (ossa tepo edaente speso nella rsorsa a rege) x ϑ ng -( + ) + ( )( ) + l ϑ l ϑ ( ) / ( ) / 4

42 Tepo edo speso n coda a rege ϑ c ϑ - (- + ( -) ( )( ) ) Nuero edo d utent n coda a rege x c ϑ c ng - (- + ( -) ( )( ) ) 4

43 Nuero edo d servent occupat a rege - x s ~ ~ + - Tepo edo d servzo a rege ϑ s 43

44 M/M/ I tass d arrvo e d servzo hanno dstrbuzone esponenzale con paraetr caratterstc e rspettvaente. Anche questo processo può essere studato coe un processo d nascta-orte n cu:. Il tasso delle nascte non dpende dallo stato:. Il tasso d orte dpende dal nuero d utent nella rsorsa, ossa > dove ndca l tasso d servzo d ogn servente. 44

45 Il sstea è ergodco se quando tutto servent lavorano conteporaneaente, ess sono n grado d saltre gl utent n arrvo, ossa se ng < Rappresentazone grafca: - + (-) 45

46 46 Probabltà d stato a rege per M M !!

47 M M 3 3! )! )! ) 3! )! ) ) ( ( ( ( ( ( >!! ) (

48 48 ) (! ) (! ) ( ) (! ) (! ) (! ) (! ) (!! ) (

49 Nuero edo d servent occupat a rege x s + Pr(x ) S dostra che x s Fattore d utlzzo d un sngolo servente a rege x ~ s 49

50 Tasso d uscta a rege η Nuero edo d utent nella rsorsa a rege + S dostra che x +! ( ) Tepo edo d attraversaento della rsorsa a rege x ϑ 5

51 Nuero edo d utent n coda a rege x c x - x s x - Tepo edo d attesa n coda a rege ϑ c x 5

52 M/M/ Questo tpo d rsorsa è partcolarente seplce da studare n quanto l nuero d utent nella coda d attesa è sepre par a essendov nfnt servent. Anche questo processo può essere studato coe un processo d nascta-orte n cu:. Il tasso delle nascte non dpende dallo stato:. Il tasso d orte dpende dal nuero d utent nella rsorsa, ossa dove ndca l tasso d servzo d ogn servente. 5

53 Il processo è ergodco, >. Rappresentazone grafca: Probabltà d stato a rege + + (+ ) (+ ) per 53

54 54 3 3! 3! 3! M e! e e! - -

55 Osservazone: La probabltà d stato a rege concde n questo caso con quella relatva ad una rsorsa M/M/ con scoraggaento degl arrv. Naturalente l coportaento della rsorsa è però copletaente dverso. Cò evdenza charaente coe la probabltà d stato a rege, vsta sngolarente, non sa rappresentatva. Fattore d utlzzo della rsorsa a rege υ - e 55

56 Tasso d uscta a rege η Nuero edo d utent nella rsorsa a rege S dostra che x N.B. È charaente lo stesso della rsorsa M/M/ con scoraggaento degl arrv n quanto sono le stesse le probabltà d stato a rege. 56

57 Tepo edo d attraversaento della rsorsa a rege x ϑ Tepo edo n coda a rege ϑ c Lunghezza eda della coda a rege x ϑ c c 57

58 Nuero edo d servent occupat a rege x s Tepo edo d servzo a rege ϑ s Fattore d utlzzo d un sngolo servente a rege ~ 58