MODELLI MULTISTATO. Introduzione ai modelli multistato. Esempio di modello multistato per descrivere la progressione di una malattia

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1 MODELLI MULTISTATO Introuzone a moell multstato Esempo moello multstato per escrvere la progressone una malatta I moell multstato Un moello multstato per l asscurazone malatta

2 Introuzone a moell multstato INTRODUZIONE AI MODELLI MULTISTATO Il moello per la urata aleatora fno al verfcars un etermnato evento può essere vsto come un partcolare moello multstato con ue stat soltanto: 2 l nvuo è n vta l nvuo è eceuto In tale moello è possble soltanto l passaggo allo stato allo stato 2 2 Un moello con ue cause uscta può nvece essere escrtto meante un moello multstato con tre stat: 2 l nvuo è uscto per altra causa 2

3 Introuzone a moell multstato In tal moell le probabltà passaggo tra gl stat possono essere escrtte meante le ntenstà ( mortaltà e uscta per altra causa). In stuazon pù general s parla ntenstà passaggo a uno stato all altro. Un altro esempo moello a tre stat è l asscurazone nvaltà permanente. 2 l nvuo è attvo 2 l nvuo è nvalo l nvuo è eceuto La probabltà passaggo allo stato allo stato 2 pene all ntenstà nvaltà; la probabltà passaggo allo stato 2 allo stato pene all ntenstà mortaltà per gl nval e la probabltà passaggo allo stato allo stato pene all ntenstà mortaltà per gl attv.

4 Esempo moello multstato per escrvere la progressone una malatta ESEMPIO DI MODELLO MULTISTATO PER DESCRIVERE LA PROGRESSIONE DI UNA MALATTIA Il moello Paner per escrvere la progressone ell AIDS è un moello a 6 stat a b l nvuo è non nfetto l nvuo è seropostvo ma non è ammalato I successv tre stat escrvono progressv sta ella malatta: 2a 2b L ultmo stato rguara l ecesso: 4 l nvuo è eceuto a b 2a 2b 4 Poché sono possbl solo passagg a uno stato a quello successvo, le urate permanenza ne sngol stat sono escrtte a moell a una sola causa uscta e le ntenstà uscta sono ette ntenstà progressone 4

5 Esempo moello multstato per escrvere la progressone una malatta Sa T urata aleatora permanenza nello stato, = a,b, 2a, 2b, Ipotes: T, = a,b, 2a, 2b, stocastcamente npenent ntenstà progressone costant: µ, = a,b, 2a, 2b, In tal potes, la urata permanenza n uno stato non pene alla urata permanenza negl altr stat. Sa P µ t µ t ( T > t) = e f T ( t) = e µ p, + ( t) probabltà che un nvuo presente nello stato, sa nello stato + opo t ann p, + ( t) = t e 0 µ r µ e µ + ( t r) r 5

6 Esempo moello multstato per escrvere la progressone una malatta Per la stma el moello, se s spone elle nformazon sulle urate esatte n cu s sono avut passagg tra var stat, le stme massma verosmglanza elle ntenstà progressone sono ate a rapport tra le numerostà e passagg, a uno stato all altro, e le esposzon total esatte. Spesso però nformazon questo tpo non sono sponbl; per esempo, nello stuo Paner at sponbl erano: - urata tempo n cu l nvuo è stato osservato, raggruppate n 4 grupp urate ( =, 2,, 4): -6 mes; 6-2 mes; 2-24 mes; 24-6 mes - stato n cu l nvuo s trovava all nzo ell osservazone - nformazone se urante l osservazone l nvuo è rmasto nello stesso stato oppure se ne è uscto I parametr le verosmglanze µ, = a,b, 2a, 2b,, possono essere stmat separatamente massmzzano ( ) L µ = a,b, 2a, 2b, 6

7 Esempo moello multstato per escrvere la progressone una malatta Con rfermento allo stato, = a,b, 2a, 2b,, sano n l numero nvu osservat appartenent all -esmo gruppo urate, =, 2,, 4 l numero nvu relatv all -esmo gruppo urate, =, 2,, 4, usct allo stato urante l osservazone r la urata mea osservazone per gl nvu relatv all -esmo gruppo urate, =, 2,, 4, e non usct allo stato urante l osservazone (per semplctà s assume r = 4, 5mes, r 2 = 9 mes, r = 8 mes, r 4 = 0 mes) p la probabltà che un nvuo appartenente all -esmo gruppo urate, =, 2,, 4, rmanga nello stato urante l osservazone 7

8 8 Esempo moello multstato per escrvere la progressone una malatta La verosmglanza n funzone el parametro µ è allora ( ) = = 4 ) ( n p p L µ esseno r p e µ = Dalla logverosmglanza ( ) + = = 4 ) )log( ( ) log( p n p l µ s ottene l equazone verosmglanza che s può rsolvere per va numerca. = = 4 0 p n p p µ

9 I moell multstato I MODELLI MULTISTATO Sa {, 2, K,N} S = l nseme egl stat F l nseme elle transzon {(, ) ;, } F S Se lo stato nca lo stato nzale all stante 0, s potzza che tutt gl stat raggungbl allo stato meante transzon rette o nrette. S efnsce moello multstato la coppa ( S, F ) S sano Con rfermento a un rscho (per esempo un nvuo) sa S (t) lo stato occupato al rscho al tempo t 0 S potzza S ( 0) = { ( t); t 0} S è un processo stocastco a parametro contnuo con valor n S s nca con (z) s lo stato occupato al processo nell stante z > 0 n una realzzazone { s (t)} el processo stocastco { S( t); t 0} 9

10 I moell multstato S rà che l processo { ( t); t 0} S è una catena markovana a parametro contnuo se per ogn 0 τ < u e per ogn,, s (z) con 0 z < τ,,, s( z) S tal che s ha (( S( z) = s( z)) ( S( ) = ) ( S( = ) ) > 0 P τ ( S( = ( S( z) = s( z)) ( S( τ ) = ) ) = P( S( = S( τ ) ) P = Le probabltà conzonate ( S( = S( t ) P ( t, = P ) = 0 t u sono ette probabltà transzone; esseno P ( t, t) = 0 per e P ( t, t) = per = Le probabltà transzone sosfano le seguent propretà: 0 P ( t, per ogn, ; 0 t u S P ( t, = per ogn ; 0 t u 0

11 I moell multstato S efnscono noltre le probabltà permanenza ( S( z) = per ogn z [ t, u] S( t ) P ( t, = P ) = Le probabltà transzone sosfano le equazon Chapman-Kolmogorov P ( t, = P ( t, w) P ( w, t w u k S k S efnscono le ntenstà transzone µ ( t) = lm S prova che u t P ( t, u t k t P ( z, t) = ep µ ( u z S prova noltre che sotto conzon general per le ntenstà transzone s possono etermnare, a partre a esse, le probabltà transzone. Transton ntensty approach: assegnate le ntenstà transzone, a queste s etermnano le probabltà transzone.

12 Un moello multstato per l asscurazone malatta UN MODELLO MULTISTATO PER L ASSICURAZIONE MALATTIA Un esempo mportante è l moello per l asscurazone malatta (Permanent Health Insurance PHI) 2 l nvuo è attvo 2 l nvuo è nvalo l nvuo è eceuto Supponamo che le ntenstà transzone sano costant, npenent all età raggunta: 2 ( t ) µ 2 µ ( t ) = µ µ 2 ( t ) = µ 2 µ 2 ( t ) = µ 2 µ = a esse s possono ottenere le probabltà permanenza nello stato attvo o nvalo e le probabltà ecesso, rspettvamente allo stato attvo e allo stato nvalo. Il moello può essere utlzzato per stmare le ntenstà transzone penent soltanto all età e costante a tratt su ogn ntervallo età (, + ) 2

13 Un moello multstato per l asscurazone malatta Sano a µ a µ a µ µ le ntenstà transzone relatve alla classe età (, + ) a Supponamo che s sponga osservazon su nvu nella classe età e che per ogn nvuo sano rlevat le urate tempo tra ue transzon successve numer transzon cascun tpo

14 Un moello multstato per l asscurazone malatta S prova che la verosmglanza elle osservazon è L ove a a a ( ) [ a a ( ) ] [ a ( ) ] a u a s a r µ, µ, µ, µ = ep µ + µ c ep µ + µ w ( µ ) ( µ ) ( µ ) ( µ ) c w u s r è l tempo totale osservato nello stato attvo è l tempo totale osservato nello stato nvalo è l numero totale transzon allo stato attvo allo stato eceuto è l numero totale transzon allo stato nvalo allo stato eceuto è l numero totale transzon allo stato attvo allo stato nvalo è l numero totale transzon allo stato nvalo allo stato attvo S ottengono le seguent stme massma verosmglanza: a u µˆ = µˆ = c w µˆ a s = c µˆ a r = w Anche per tale moello s pone l problema ella perequazone elle stme ottenute. In letteratura sono stat propost a tale scopo moell GLM. 4

15 Rferment bblografc RIFERIMENTI BIBLIOGRAFICI S. Haberman, E. Ptacco, Actuaral moels for sablty nsurance, Chapman & Hall, 999 (Par..,.,.4, 4., 4.2) D. Lonon, Survval moels an ther estmaton, Acte publcatons, 997 (Par. 0., 0.2) 5